大学物理17章答案 22页

第17章量子物理基础17.1根据玻尔理论，计算氢原子在斤=5的轨道上的动量矩与其在第一激发态轨道上的动量矩之比.［解答］玻尔的轨道角动量量子化假设认为电子绕核动转的轨道角动量为L=mvr=n—n2tc,对于第一激发态，n=2,所以厶仏2=5/2・17.2设有原子核外的3p态电子，试列出其可能性的四个量子数.［解答］对于3p态电子,主量子数为n=3,角量子数为/=1,磁量子数为mi=-1),I-1,自旋量子数为ms=±1/2.3p态电子的四个可能的量子数(斤丿,叫叫)为(3，1丄1/2),(3,1,1,・1/2),(3丄0，1/2),(3,1,0,-1/2)，(3,1,・1，1/2),(3,1,-1,-1⑵.17.3实验表明，黑体辐射实验曲线的峰值波长九和黑体温度的乘积为一常数，即入』=b=2.897xl(y3m・K・实验测得太阳辐射波谱的峰值波长九=510nm,设太阳可近似看作黑体，试估算太阳表面的温度.\n［解答］太阳表面的温度大约为T_b_2.897X10-3~510x10—9=5680(K)・17.4实验表明，黑体辐射曲线和水平坐标轴所围成的面积M(即单位时间内从黑体单位表面上辐射出去的电磁波总能量，称总辐射度)与温度的4次方成正比，即必=〃,其中^=5.67xl0-8Wm_2K-4.试由此估算太阳单位表面积的辐射功率(太阳表面温度可参见上题).［解答］太阳单位表面积的辐射功率大约为A/=5.67xl0-8x(5680)4=5.9xl07(W-m-2)・17.5宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K黑体辐射.求：(1)此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？(2)地球表面接收此辐射的功率是多少？［解答］(1)根据公式UT=b,可得辐射的极值波长为九=b/T=2.897x10_3/3=9.66x104(m).(2)地球的半径约为7?=6.371x10%,表面积为5=47tT?2.根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为M=al4,因此地球表面接收此辐射的功率是P=MS=5.67x1(T8x34x4兀(6.371x106)2\n=2.34x109(W).17.6铝表面电子的逸出功为6.72x1049J,今有波长为久=2.0x10_7m的光投射到铝表面上•试求：(1)由此产生的光电子的最大初动能；(2)遏止电势差；(3)铝的红限波长.［解答］(1)光子的能量为E=hv=hc/L根据爱因斯坦光电效应方程hv=Ek+A,产生的光电子的最大初动能为=hv-A=6.63x10_34x3x108/2.0x10'7-6.72xIO-19=3.23x10_,9(J)・(2)遏止电势差的公式为eUs=Ek,遏止电势差为=£^=3.23x1019/1.6x1019=2.0(V).(3)铝的红限频率为w=A/h,红限波长为Zo=c/vo=hc/A=6.63x10-34x3x108/6.72x10-19=2.96x10"(m)・\n17.7康普顿散射中入射X射线的波长是久=0.70x1Olom,散射的X射线与入射的X射线垂直.求：\n(1)反冲电子的动能Ek；(2)散射X射线的波长；(3)反冲电子的运动方向与入射X射线间的夹角&・［解答］(1)(2)根据康普顿散射公式得波长变化为△2=2力sit?纟=2x2.426xl0-12sin2-24=2.426xl0_12(m),散射线的波长为厂=2+AA=0.72426x10_lo(m).反冲电子的动能为6.63x10~34x3x1086.63x1034x3x108一0.7x10」。0.72426x10"10=9.52x1017(J)・卜、\(3)由于\S%,\h/X_heheA■-A久'tan—泄出he/A久、，\nEg所以夹角为0=44。1'・17.8求波长分别为21=7.0x10-7m的红光;A2=0.25x1010的能量、动量和质量.［解答］X射线的能量为E=hv=hc/L动量为p=h/X；的X射线\n由E=hc/X=me2,得其质量为m=h/c^.对于红光来说，能量为_6.63x10^x3x10",=頑肓=2.84x10%),动量为Pi=6.63xl0~347xl0-7=9.47x10_25(kgms_1),质量为_6.63x10心"-3x108x7x10-7=3.16x10小(kg)・对于X射线来说，能量为6.63x10心x3xl0*2_O.25X1O-10=7.956x10_I5(J),动量为二6.63x1074P~一0.25x10」。=2.652xl0-23(kgm-s_1),质量为6.63x10亠m2=_3xlOsxO.25xlO-10=&84xW32(kg).\n17.9处于第四激发态上的大量氢原子，最多可发射几个线系，共几条谱线？那一条波长最长.［解答］第四激发态的氢原子处于第5个能级，最多可发射四个线系.(1)能级5到4,1条谱线；(2)能级5和4到3,2条谱线；(3)能级5、4和3到2,3条谱线;(1)能级5、4、3和2至lj1,4条谱线.共10条谱线.从能级5跃迁到4发射的光谱频率最小，波长最长.17.10设氢原子中电子从n=2的状态被电离出去，需要多少能量.［解答］氢原子能级公式为41_me1当斤=1时，基态能级的能量为_心41一一硕~-2.18xlO“8(J)=・13.6(eV),E丄因此「2.当电子从〃能级跃迁到加能级时放出(正)或吸收(负)光子的能量为\n(：2\)m电离时，加趋于无穷大.当电子从77=2的能级电离时要吸收能量—3.6(芥占-3.4(eV),因此需要3.4eV的能量.17.11质量为加的卫星，在半径为厂的轨道上环绕地球运动，线速度为几(1)假定玻尔氢原子理论中关于轨道角动量的条件对于地球卫星同样成立•证明地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比，即r=Kn2,(式中K是比例常数)；(2)应用(1)的结果求卫星轨道和下一个“容许”轨道间的距离，由此进一步说明在宏观问题中轨道半径实验上可认为是连续变化的(利用以下数据作估算：普朗克常数/7=6.63x10-34Js,地球质量M=6xl024kg,地球半径7?=6.4xl03km,万有引力常数G=6.7xlO-HN-m2-kg2・［解答］(1)卫星绕地球运动的向心力是万有引力根据玻尔理论，角动量为mvr=nh/lTi.将前式乘以加/得\n0•V.OGMm~r-_(nh)24^2所以4;r2GMm2~U,即：卫星的轨道半径与量子数的平方成正比.(2)假设卫星质量m=100kg,比例系数为4;r2GMm2=(6.63xl(T")2-4^2x6.7x10_11x6x1024x(100)2=2.77x10旳.可见：比例系数很小.当r=R吋，地球表面的量子数为仏二如K=4.8x10".可见：地球表面处的量子数很大.地面以上的量子数设为(〃、=1,2,3,・・.)，则总量子数可表示为两个量子数之和：n=n^n・轨道间的距离为Ar=K[(〃o+72'+1)2・So+72')2]=K[2(〃o+〃')+1].rh于n()»l,所以心=2Kn()+2Kn'・设n、=g即：取地面以上的量子数为地球表面量子数的倍数,有〃=伙+I)%’贝!Ir=(k+l)2,Ar=2KnQ(k+1)=2.66x10-40^+1).\n这说明：当地面以上的量子数按k+1成倍地增加时，半径将按k+1的平方的规律增加，而轨道之间的距离只按丘+1的一次方的规律增加；由于△厂的系数很小，所以轨道间距是非常非常小的，因此可认为轨道半径是连续变化的.17.12电子和光子各具有波长2.0xW10m,它们的动量和总能量各是多少？［解劄它们的动量都为h6.63xl0~34P〒2X10」。=3.315xW24(kgm-s-1).根据公式E2=p2c2+m^c,电子的总能量为=3x108x[(3.315x10-24)2+(9.1x10_31x3x108)2]1/2=8.19x10小(J)・光子的静止质量为零，总能量为E=cp=3x108x3.315x10-24=9.945x10-16(J).17.13室温下的中子称为热中子r=300K,试计算热中子的平均德布\n罗意波长.其中k为玻尔兹曼常数k=USxlO^JK1,竹是电子的质量mp=1.675xl0-27kg,可得平均速度为v=2.509xl04(m-s_1),平均动量为P=^v=4.2xl0'27(kg-m-s_1).平均德布罗意波长为A=h/p=1.58X10-1°(m)=0」58(nm).17.14—束动量是p的电子，通过缝宽为Q的狭缝，在距离狭缝为7?处放置一屏，屏上电子衍射图样中央最大的宽度是多少？［解答］根据动量和位置的不确定关系A^v*Ax=/7,其中位置不确定量为心=a,动量的不确定量为=psin3.设电子衍射图样的中央最大半宽度为w,贝ijsinO=w/R,wo、2hR可得吆Q",宽度为百.［注意］如果将力改为方/2,则宽度为2w^hR/pa.两者相差很小.\n17.15一宽度为Q的一维无限深势阱，试用不确定关系估算阱中质量为m的粒了最低能量为多少？\x=a,动量的不确定范围是A/2=A/Ax=/z/(7-这也就是动量P的范围.因此能量为E=『12m=方2/2加最低能量可估计为Emin=A2/2；776Z2・17.16设有一宽度为Q的一维无限深势阱，粒子处于第一激发态，求在x=0至x=<7/3之间找到粒子的几率？［解答］粒了在一维无限深势阱中的定态波函数为rurx(0a).当粒子处于第一激发态时,/?=2,在x=0至x=q/3之间被发现的几率为27TXdr2_V|3~2^=0.391.\n17.17设粒子在宽度为q的一维无限深势阱运动时，其德布罗意波在阱内形成驻波，试利用这一关系导出粒子在阱中的能量计算式.\n的整数倍，即刃(2/2)=a,(n=1,2,3,・・・)・根据德布罗意假设X=h/p,可得粒子的动量为h2mnh2a能量为17.18假定对某个粒子动量的测定可精确到千分之一，试确定这个粒子位置的最小不确定量.(1)该粒子质量为5xW3kg,以2m"的速度运动;(2)该粒子是速度为1.8x10%"的电子.［解答］粒子的动量为p=mv,动量的不确定量为^p=/?/1000,根据动量和位置的不确定关系A/rArM方/2,位置的不确定量为Ax=方/2切・a、h1000〃Ax>=(1)2A/747rmv_1000x6.63xl0~3447tx5xl03x2=5.276x10_30(m).人、h1000力(2)2A/747rmv1000x6.63x1O'34\n17.19设有某线性谐振子处于第一激发态，其波函数为mk式中X忖,k为常数,则该谐振子在何处出现的概率最大?［解答］第一激发态的概率为对兀求导得令dw/df=O,得概率最大的位置为X=±1/(7.17.20—维运动的粒子，处于如下的波函数所描述的状态%）屮K＞。）；［0,（兀＜0）.式中z＞0,A为常数.（1）将此波函数归一化；（2）求粒了位置的概率分布函数；\n（3）粒子在在何处出现的概率最大？\n［解答］(1)归一化得1A2x2e^2Axdx=A28=A2-2Jxe~Uxdx}o0A^所以A=2^/2・归一化波函数为j2/l3/WA\(x>0);0,(x<0).(［注］利用r函数的性质可简化积分过程.OOr(n)=Jxn-{e-xdx0当〃为整数时，r(71)=(Z7-!)!•设尹=2zx,则dx=dy/2X,可得]x2e^dx=(^-)3]y3-'e->dy0丄儿0可以得出同一结果.)(2)粒子坐标的儿率分布函数为皿)=|%)|2=4A3x2e~Ux9(x>0);0,(x<0).\n(1)利用上一题的方法求导可得几率最大的位置为x=ML17.21设有某一维势场如下：VJ0,(0厶).该势场可称为有限高势阱，设粒子能量EV%,求E所满足的关系式.［解答］粒子运动的薛定铐方程为2/>7沪0+_^(£-7)妙=0在三个区域的方程为眇詈n,(5薯+欝妙2=0,(0vxv厶);cbrh“警+箒一555).设心=J2毗_E)/h,k2=y/2mE/h则得將-饱=0,("0);(1)j+^2^2=0,(0v兀vL);(2)2晋—鈕=0,(5).(3)方程的通解为S(兀)=/iexp%x)+B1exp(-k[X),(x<0);(4)妙2（兀）=/cosgx）+Bzsin（他x）,（0厶）・（6）\n当X^-°°时，S有限，所以5=0；当时，卩3有限，所以力3=0.当兀=0时，01(0)=妙2(0)，可得Ay=A2；(7)同时S(0)=02(0)，可得k[A1=他B2・(8)当兀=厶时，02(厶)=肖3(厶)，02(厶)=03(厶)，可得〃2CosZ；2厶+伤sinZ；2厶=53exp(^i£)；(9)厶+k2B2COsk2L=/]B3Cxp(/i厶)(10)将(9)乘以伍加(10)得kiA2COsk2L+kxB^mk^L・危％2sin(2L+局32COS局厶=0・即伙M2+kzBJcosk^L=伙2/2-k&2)sinZ：2厶，tan£厶=h仏+心色亦2k2A2-k.B2.(11)由(7)和(8)得kxA2=k2B2f即B?=k\A»k2,(12)(12)代入(11)式得\n厶2jE%_E)tan=———即h2E-V..(13)这就是总能量满足的关系式.17.22原子内电子的量子态由〃、/>ms四个量子数表征，当〃、/、也一定时，不同的量子态数目为多少？当刃、/一定时，不同量子态数目为多少？当〃一定时，不同量子态数目为多少？［解劄当乃、I、如一定时，他只取两个值，所以量子态数目为2・当〃、/一定时，如有(2/+1)种不同取值，所以量了态数冃为2(2/+1)・当〃一定时，/从0到⑺・1)共有〃种不同取值，量子态数目为打一1〃一1斤一1\n工2(2/+1)=4工/+2工1/=0/=0/=0=4x也二