大学物理刚体力学 69页

2021/7/161第五章刚体力学基础动量矩研究对象：刚体有大小、形状而无形变的物体实际研究对象的简化理想模型研究内容：刚体运动学和动力学规律刚体运动类型：第五章刚体力学基础动量矩平动转动（定轴、定点）一般运动√√\n2021/7/162§5-1刚体和刚体的基本运动§5-2力矩刚体绕定轴转动微分方程§5-3绕定轴转动刚体的动能动能定理§5-4动量矩和动量矩守恒定律*§5-5进动第五章刚体力学基础动量矩第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/163§5-1刚体和刚体的基本运动在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行(1)刚体中各质点的运动情况相同一、刚体平动平动的特点：(2)刚体的平动可归结为质点运动第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/164二、刚体定轴转动刚体上各质点都绕同一固定转轴作圆周运动不同点转动半径不同转动平面垂直于转动轴所有质点在转动平面内的角速度相同三、描述刚体定轴转动的角量zMIIIPSυa定轴转动的特点：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/165例：一质点M绕z轴逆时针转动，每分60转，某时刻M点的位矢解：则M点速度？Myxz第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/166例杆AB绕O点在铅直平面内自由转动。当杆与水平方向夹角为θ时，杆的转动角加速度OBAθ已知t=0时，积分法（θ为变量）解:由定义：∴则第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/167§5-2力矩刚体绕定轴转动微分方程力改变刚体的转动状态刚体获得角加速度力F对o点的力矩：••质点获得加速度改变质点的运动状态？一、力矩力F对z轴的力矩：O点到力的作用点的矢径方向：右手螺旋法则单位:牛·米(N·m)Z轴与转动平面交点到力的作用点的矢径第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/168hA(2)在刚体的定轴转动中，讨论(1)若不在转动平面内，可将分解：——平行于z轴不产生对z轴的力矩——在转动平面内产生对z轴的力矩(3)力对任意点的力矩，在通力矩只有两个指向过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/169讨论(4)如果有多个力作用于刚体，则刚体所受合力矩等于各分力对同一转轴产生的力矩之矢量和。重力矩等于全部质量集中在重心时的重力矩第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1610讨论(5)滑轮加速转动时，二张力不同。取逆时针为正，则合力矩当滑轮加速时，∴(6)一对内力对同一转轴的力矩之和为零。h∴∵第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1611求摩擦力的力矩例1一小物体m在水平面上滑动，摩擦系数为μ，解受力例2一圆环(R,m)在水平面上绕圆心o点作圆周运动解在圆环上取一小段圆弧ds∴第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1612例3一细杆(l,m）在水平面上绕一端o作圆运动解求摩擦力的力矩沿杆建立如图坐标，在杆上x处取一小段元dx∵与方向垂直∵杆上任一小段元所受力矩方向一致第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1613例4一圆盘(R,m）在水平面上绕定轴转动解求摩擦力的力矩在圆盘上半径r处取dr宽的圆环则圆环质量：由例2，∴第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1614二、刚体定轴转动的微分方程O取一质量元切线方向对整个刚体合内力矩=0合外力矩M两边同乘（刚体对z轴的转动惯量）——刚体定轴转动定律第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1615刚体在总外力矩Mz的作用下，获得的角加速度β与总外力矩的大小成正比，与J成反比。讨论刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律(2)M、J、β必须对同一转轴定义(5)与牛顿定律比较：(3)M正比于，力矩越大，刚体的越大(4)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小。第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1616三、转动惯量定义式质量不连续分布质量连续分布三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置(1)J与刚体的总质量有关例两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM•第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1617(2)J与质量分布有关例圆环绕中心轴旋转的转动惯量例圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1618OLxdxMzLOxdxM四.平行轴定理及垂直轴定理zLCMz'z(3)J与转轴的位置有关1.平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离\n2021/7/1619例均匀细棒的转动惯量2.(薄板)垂直轴定理ML例求对圆盘的一条直径的转动惯量已知yxz圆盘RCmx,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1620五、转动定律的应用解题思路：确定研究对象分析运动状态隔离分析受力由牛顿定律列方程求解方程隔离分析力矩由转动定律列方程第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1621例求它由此下摆角时的OlmCx解取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dm一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1622例解若F＝2N，mg＝2N，相同的轮子，二轮的β相同吗？(1)分析受力mgTT(2)分析受力F第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1623例已知:定滑轮解:受力图轻绳不伸长无相对滑动求：1）物体加速度a2）绳子的张力T3)滑轮转动的角加速度>设得解第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1624例如图，轮轴绕o轴转动。轮（R，J2），轴（r，J1），通过绳分别挂着m1，m2，求转动时轮轴的角加速度β解m2m1规定正方向（顺时针为正）＋转动部分（轮＋轴）平动部分（m1、m2）①⑤②③角量与线量的关系④五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1625力的瞬时作用规律力矩的瞬时作用规律静止匀速直线静止匀角速转动m—平动时惯性大小的量度J—转动时惯性大小的量度总结力的持续作用规律：空间：时间：力矩的持续作用规律：空间：时间：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1626§5-3绕定轴转动刚体的动能动能定理一.转动动能zO设系统包括有N个质量元,其动能为刚体的总动能P•绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1627二.力矩的功O由功的定义——力矩作功的微分形式若刚体在外力F作用下，角坐标从θ1→θ2若M=CP——力矩作功的积分形式第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1628讨论(3)合力矩的功(1)力矩对刚体的功就是力对刚体的功(2)一对内力矩对刚体作功之和为零（平动中，一对内力作功之和一般不为零）(4)力矩的瞬时功率力的瞬时功率(5)功的正负M与同向，A>0M与反向，A<0第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1629三.定轴转动的动能定理对于整个运动过程在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩所作功的总和，等于在该过程中刚体动能的增量。——绕定轴转动刚体的动能定理——力矩的持续作用规律设刚体在外力矩M作用下，角坐标由θ1→θ2，角速度ω1→ω2，由刚体转动定理：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1630四.刚体的重力势能刚体的机械能质心的势能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立结论：刚体的重力势能即刚体的全部质量集中在质心上相对于势能零点具有的势能。第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1631一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，棒在水平位置由静止释放，解二：动能定理OlmCx例求细棒下摆至θ时的ω合外力矩+第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1632OlmCx+解三：功能原理研究对象：细棒＋轴＋地球∴系统机械能E守恒取O点所在位置为重力势能零点状态1：状态2：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1633解二：动能定理研究对象：M＋m（转动＋平动）（并非匀速）均质圆盘（M，R）系一质量为m的物体，在重力矩作用下加速运动。开始时系统处于静止。求物体下降距离为s时，滑轮的ω和β。例RMm+MgTmgT’T1第五章刚体力学基础动量矩\nm2021/7/1634解三：RMm功能原理+MgTmgT’T1研究对象：M＋m＋地球∴系统机械能守恒取m下落s处为重力势能零点sEP＝0状态1：状态2：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1635图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离h，所用时间为t，例解分析（机械能）：求物体A对Z轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1636机械能守恒解分析（机械能）：两边对t求导：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1637§5-4动量矩和动量矩守恒定律质点力学：刚体力学：能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态？例ω静止时，转动时，结论：无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态，必须引入新的物理量——角动量（动量矩）第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1638一.质点的角动量（动量矩）其大小特例：质点绕O点作圆周运动OS1.定点：2.定轴：质点对z轴的角动量，就是质点对z轴与转动平面的交点O点的角动量z第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1639质点对圆心的角动量。例质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态行星在椭圆轨道上的角动量。直线运动的物体对O点的角动量。抛出物体对O点的角动量。第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1640当时，当时，(质点角动量定理的积分形式)二.质点的角动量定理和角动量守恒定律(质点角动量定理的微分形式)质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量——角动量守恒定律第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1641(3)对有心力：例如由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观低速领域，也适用于微观高速领域。讨论行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积质点对力心的角动量守恒m(2)角动量守恒的条件：合外力矩为零。第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1642(3)对有心力：角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观低速领域，也适用于微观高速领域。讨论质点对力心的角动量守恒(2)角动量守恒的条件：合外力矩为零。盘状星系螺旋星云第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1643(3)对有心力：角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观低速领域，也适用于微观高速领域。讨论质点对力心的角动量守恒(2)角动量守恒的条件：合外力矩为零。例如用绳系一小物块使之在光滑水平面上作圆周运动。思考物块运动如何变化？若缓慢向下拉绳，使圆半径逐渐减小。绳中拉力是否做功？为什么？第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1644三.刚体作定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体各质点对Z轴的角动量方向相同O(所有质元的角动量之和)1.刚体定轴转动的角动量2.刚体定轴转动的角动量定理（角动量定理积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量（角动量定理微分形式）第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/16453.刚体定轴转动的角动量守恒定律若定轴转动刚体所受合外力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。1）J，ω均不变回转仪2）J，ω均变，但L＝Jω不变茹可夫斯基凳花样滑冰跳水mmω旋转刚体第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1646第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1647均质细杆(l,m)，一端悬挂，可在竖直面内自由转动。开始时处于静止，在杆的中心作一冲量I，方向垂直于杆。求冲量作用结束时，杆获得的角速度。（假定冲量作用时间极短，在冲量作用的整个过程中杆不发生位移）例解OI已知：（杆中心受的冲量）重力不产生力矩，F对O点产生力矩M，该段时间内，力矩的冲量矩为：由刚体角动量定理：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1648测子弹速度例1、子弹击中沙摆，沙摆平动。已知m，M，l，θθ（完全非弹性碰撞）碰撞在原静止处完成，水平方向P守恒摆上升过程中，E守恒2、子弹击中木杆，木杆作定轴转动。已知m，M，l，θθ碰撞在原静止处完成，M＝0，L守恒杆向上摆过程中，E守恒第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1649相对运动例1、一人m静止在船M上，M＋m以υ0向右前进，当m相对于船M以υ向左运动时，M的速度V＝？研究对象：人m＋船M水平方向：动量P守恒惯性参考系中2、一人m静止在船于圆盘(R,M)边缘，以共同的速度ω0转动，当人相对于盘以υ反向作圆运动时，M的ω＝？研究对象：人m＋盘MM＝0，角动量L守恒惯性参考系中第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1650圆形平板R，平板与水平桌面间摩擦系数μ，圆板绕过中心且垂直于板面的固定轴以ω0旋转，去掉外力后，圆板将旋转多少圈后停止？需用多少时间？例解一：Mf→β→θ→n设圆盘总质量为m，总的力矩：（恒力矩）转动定理：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1651解二：由转动动能定理：由角动量定理：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1652§5-5进动陀螺的自旋角动量为当时则只改变方向，不改变大小（进动）高速自转的刚体在外力矩作用下自转轴绕另一轴转动的现象称为进动角动量定理第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1653进动角速度Ω而且所以以上只是近似讨论，只适用高速自转，即角动量定理第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1654刚体力学小结一、运动学描写刚体转动的物理量1、角量：线量：微积分关系2、角量与线量的关系3、方向：右手螺旋法与的关系：4、匀角加速转动公式第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1655二、动力学1、基本概念：力矩：转动惯量：转动动能：转动角动量：定轴转动：（定点、定轴）（定点）2、基本定理：转动定律：（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1656转动动能定理：角动量定理：力矩的持续作用规律功能原理：守恒定律：时，守恒时，守恒3、解题思路：平动部分：分析外力转动部分：分析力矩平动与转动的联系：角量和线量的关系（隔离分析方法）第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1657如图所示例解析：（平动＋转动）隔离分析受力（矩）规定正方向：逆时针平动：分析受力转动：分析力矩线量与角量关系：六个未知数，六个方程，可求解T1，T2，T3，a，β1，β2第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/16584、力矩的瞬时作用规律力矩的持续作用规律守恒定律（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）（分析过程特点，选取始末状态）（判断守恒条件）例如此衔接，角动量守恒吗？——转动定律微积分法——动能和角动量定理——角动量守恒定理第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1659例如图所示，细杆（l，m）可绕端点O的水平轴转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物体与地面摩擦系数为μ，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s后停止，求：碰后杆质心C离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件解（1）自由下落过程（E守恒）（2）杆物相碰（L守恒）①②第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1660①②（3）碰后物体滑动（动能定理）③④杆向右摆杆向左摆（4）碰后杆摆动（E守恒）第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1661例如图所示，细杆（l，m1）可绕端点O转动，与水平桌面摩擦系数为μ。有一运动的滑块m2，以速度υ1与静止杆的另一端点垂直相碰，△t极短，碰后速度υ2与υ1反向，求：细杆从碰后到停下来经历的时间t解：m1与m2相碰，动量不守恒，但角动量守恒——碰后的角速度细杆在平面内移动时受到阻力（摩擦力）矩：第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1662方法一：转动定理（匀角加速）方法二：角动量定理第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1663例如图所示，质量为m的物体挂在匀质圆盘（M，R）边缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使物体以υ0匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘开始作反向转动？解法一：转动定理M转动：m平动：恒定加速度第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1664解法二：功能原理研究对象：M＋m＋地球∴E守恒取初态位置为重力势能零点解法三：角动量定理第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1665例如图所示分析：小球重力忽略，水平面内受有心力作用，角动量L守恒F作功：m作的不是圆周运动，而是螺旋线运动。m受的力F可分解为切向Fτ和法向Fn第6章结束第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1666一长为l的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度v0垂直落到距点Ol/4处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动Or昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒例解求昆虫沿杆爬行的速度。第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1667使杆以匀角速度转动代入得转动定律其中第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1668进动演示第五章刚体力学基础动量矩\n2021/7/1669例如图所示，弹簧（l0，k）一端固定在一光滑水平面的O点，另一端系一质量为m的小球。开始时，弹簧被拉长x，即l＝l0＋x，此时给小球一个与弹簧垂直的初速度υ0，求：当弹簧恢复原长l0时，小球的速度解小球绕O点转动，但并非圆周运动小球＋弹簧：机械能E守恒小球运动过程中受有心力作用，角动量L守恒第五章刚体力学基础动量矩