大学物理5 刚体new 39页

第五章刚体力学§5-1、刚体和刚体的基本运动§5-2、力矩刚体绕定轴的转动定律§5-3、定轴刚体的动能动能定理§5-4、角动量定理及守恒律\n§5-1、刚体和刚体的基本运动一、刚体的概念对所研究的物体只考虑它的形状和大小，不考虑它的形变，即受力后不形变的物体称为刚体。即：物体上任两点的距离始终保持不变。刚体，如同质点一样，是理想化的模型.1，自由度确定物体的空间位置所需的独立坐标数。如：确定质点需（x,y,z）,自由度i=3；确定刚体,自由度i=6上一张下一张返回\n2，刚体的运动平动转动定轴转动非定轴转动平动：刚体内任一条给定的直线，在运动中，始终保持它的方向不变.转动：刚体上的直线，运动中方向改变.在运动中的某一瞬时，刚体上的所有质点都绕某一直线作瞬时的圆周运动。这一直线称为瞬时转轴。如果转轴固定不动，称定轴转动；否则就是非定轴运动。上一张下一张返回\n二、刚体的平动1，平动的特征:刚体平动时，在任意一段时间内，刚体上所有质点的位移都是相等的；而且在任一时刻，各个质点的速度、加速度也都是相同的。2，平动的描述：任意一点的运动都可代替刚体的运动。常以质心作为代表点。因此，平动的刚体，我们将其视为质点来处理.上一张下一张返回\n刚体运动平动转动定轴转动非定轴转动视为质点（不作研究）三、刚体的定轴转动与定轴垂直的任一平面称为“转动平面”.刚体上任一点的运动，位于转动平面内，是以轴为中心的圆。在该转动平面内建一极坐标系，则定轴转动刚体位置的确定只需要一个变量（角位置）就可以了。上一张下一张返回\n角位置随时间的变化关系即为定轴转动刚体运动学方程：描写定轴转动刚体，所用的物理量：角位置1，角位置2，角位移=2-13，角速度4，角加速度上一张下一张返回\n四、定轴转动刚体的有关规律1，匀速转动与匀变速转动：匀变速变化匀速变化微分式物理量一维直线运动定轴转动刚体x、v、a、、上一张下一张返回\n2，定轴转动刚体上各点的速度与加速度：刚体上任一点的运动，位于转动平面内，是以轴为中心的圆。速度的方向：在该圆的切线方向PQr大小为加速度：与径向夹角：大小上一张下一张返回\n上一张下一张返回§5-2、力矩刚体绕定轴的转动定律一、力矩描述转动物体运动状态改变原因的物理量，其地位类似于质点动力学中描述物体运动状态改变原因的力.1，对点之矩：PO定义：大小：方向：右螺旋方向.\n定轴转动刚体中对轴的力矩，等于相对于轴上任一点的力矩矢量沿轴方向的投影.2，对轴之矩：作用在刚体上的力为。将在转动平面内投影为,另一投影到轴上的分力为.将对转轴产生力矩,而不产生力矩.大小：上一张下一张返回力与轴平行则该力对轴无矩.\n(1)力矩单位：牛顿·米(N.m)(2)对轴合力矩：几个力同时作用时，合力矩等于几个外力力矩的代数和（内力矩为零）。例如：求和的力矩和(与在转动平面内)解：转轴方向如图示.说明：方向：由的正负决定。大小：上一张下一张返回\n二、转动定律设在刚体内的任取一质元,质量为mi,到转轴的距离为ri,所受外力为,内力为,由牛顿第二定律可得质点的动力学方程：沿圆运动的切向分量式：两边同乘以ri,并对所有质元求和：上一张下一张返回\n因内力(即作用力与反作用力)成对出现，且等值反向，沿着同一直线.故上述第二项为零.第一项即为作用在刚体上的所有外力产生的对轴的总力矩，即合外力矩Mz.定义：（转动惯量）则：——转动定律上一张下一张返回\n三、转动惯量1，定义：（质点系）（连续分布体）转动惯量J是描述刚体转动惯性大小的物理量，其地位相当于平动时的质量m.例1，等边三角形，边长a，三顶点放三质点m1、m2、m3，转轴过中心且垂直三角形平面，求J.解：上一张下一张返回\n例2.求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量:转轴通过(1)棒的中心;(2)棒的一端,并且与棒垂直.解：设棒的质量线密度为,在离转轴为x处取一长度微元dx,质量为dm=dx.由转动惯量定义J=r2dm得（棒的质量m=l）(1)轴过中心(2)轴过端点可见：上一张下一张返回\n2，影响转动惯量的因素：刚体转轴的位置、3，平行轴定理刚体对某轴的转动惯量J，等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量JC，加上刚体的质量m乘以两平行轴之间的距离d的平方，即J=JC+md2刚体的总质量、质量对轴的分布情况.上一张下一张返回\n轴通过中心细圆棒轴通过端点细圆棒圆盘薄壁圆筒4，一些质量均匀分布的刚体的转动惯量：圆环上一张下一张返回\n四、转动定律的应用1.解题步骤：选取研究对象；隔离物体，受力分析，并画出所有力；选取惯性系，建立坐标系；分析物体的运动：若物体作平动，视为质点，列牛顿运动方程；若物体作定轴转动，列转动定律方程.⑤解方程，讨论。上一张下一张返回\n例1，在如图所示的阿特伍德机中，两物体的质量分别为和定滑轮的质量半径为。假定绳子的形变可忽略，且在滑轮上没有滑动。（1）试求物体的加速度和定滑轮的角加速度，以及两边绳子中的张力。（2）当物体从静止开始落下一段距离时，试求两物体的速度。上一张下一张返回\n解：（1）分别隔离和滑轮如图所示。对和(平动）有：对滑轮(定轴转动)有：由于绳子不可伸长，滑轮不打滑，所以a1a2T1T2MgN上一张下一张返回\n上述方程联立求解可得，物体的加速度为：滑轮的角加速度为：两边绳子中的张力分别为：注意：（2）当物体由静止下落h距离时，速度为上一张下一张返回\n例2，为了测量物体的转动惯量，可将待测物体装在如图所示装置的转动架上，并使其轴与转动架的轴重合。转动架的轮轴半径为r，拉线与轴垂直。拉线的另一端通过一个小滑轮并悬挂一重物m。若转动架对轴的转动惯量为J0，并测得重物m从静止开始下降高度h时所用的时间t，试求出待测物体对转轴的转动惯量J.假定小滑轮的质量以及轮轴的摩擦都可忽略。上一张下一张返回\n隔离物体m，由牛顿第二定律得：解：以待测物体和转动架为整体由定轴转动的转动定理得：由拉线不可伸长及重物m自静止下落，可得：联立求解，可得：上一张下一张返回\n§5-3、定轴刚体的动能动能定理一、绕定轴转动刚体的动能质元mi的动能为所有质元（整个刚体）的总动能为上一张下一张返回\n二、力矩的功设刚体的转轴为z轴，在力F的作用下，在xoy平面内转过角度注意：力的功与力矩的功，本质上是一回事。上一张下一张返回\n三、刚体定轴转动中的动能定理一刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时间内,角速度由,求外力矩的功？考虑到转动定律有:上一张下一张返回\n动能定理小结：对于单个质点，，为合力，对于质点系，A为所有力的功，为总动能对于刚体，A为所有外力的功，亦即合外力矩M的功动能为转动动能：上一张下一张返回\n例1，质量为m、长为l的均匀细棒，其一端有一固定的光滑水平轴。设细棒静止在水平位置，试求：细棒由此下摆角时的角速度；解：（1）由转动定律求解.mgNl而：上一张下一张返回\n（2）由动能定理求解：故细棒摆下角时的角速度为：mgNl外力做功为：上一张下一张返回(3)由机械能守恒来求.\n例2，如图示，匀质圆盘质量为m1，半径为R，重锤质量为m2，最初静止.现将重锤释放下落，并带动圆盘转动，求重锤下落h高度时的速度？解:在m2的下落过程中,只有m2的重力对圆盘和质点组成的系统作功,由动能定理得：考虑到有解得:上一张下一张返回\n§5-4、角动量定理及守恒律一、角动量（动量矩）1，对点之角动量：QO定义：大小：方向：右螺旋方向.单位：kg.m2/s（动量矩）,N.m.s（冲量矩）pLro上一张下一张返回\n定轴转动刚体中对轴的角动量，等于相对于轴上任一点的角动量矢量沿轴方向的投影.2，对轴之角动量：任一质元mi的角动量为沿z轴投影所有质元（整个刚体）的总角动量为：上一张下一张返回\n二、质点的角动量定理及其守恒定律即：在惯性系中，质点对O点的角动量LO，对时间的微分，等于作用在质点上的合力F产生的力矩MO.这就是角动量定理.上一张下一张返回\n微分式：积分式：力矩的冲量（冲量矩），等于角动量的增量.rLv若MO=0，则LO=const,即角动量守恒.如在有心力作用下，行星的运动.上一张下一张返回\n三、定轴转动刚体的角动量定理及其守恒律即：（微分式）（积分式）若Mz=0，则Lz=const,即角动量守恒.上一张下一张返回推广:质点系所受合力对轴之矩为零,则质点系对轴之角动量守恒.\n质点运动、刚体定轴转动对照表(1)刚体定轴转动质点运动速度角速度加速度角加速度力力矩质量转动惯量动量角动量动能转动动能牛顿运动定律转动定律上一张下一张返回\n质点运动、刚体定轴转动对照表(2)刚体定轴转动质点运动动量定理角动量定理动量守恒定律角动量守恒定律力的功力矩的功动能定理转动动能定理上一张下一张返回\n例1、一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：,其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。解：已知上一张下一张返回\n例2，有一长为l、质量为M的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动.若以质量为m、速度为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入棒的另一端，设击穿后子弹的速度减为v/2，试求棒由此旋转角速度.解：因系统受的合外力为零，所以角动量守恒。故棒的旋转角速度为：上一张下一张返回