大学物理上作业3 28页

23、如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的半径为R，转动惯量J。（1）证明物体作简谐振动；（2）求物体振动周期；（3）设t=0时，弹簧无伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。(23)\n解：（1）各物体受力，分别列受力方程，有mgkx002dxmgTm12dt(TT)RJ122dxTk(xx)R202dt\n2联立上五式得dxkx022dtmJ/R令2k2mJ/R2所以：dx2x02dt所以，系统振动的角频率为k/(mmm/2)12（2）则22mJRT2k\n（3）mg0Ak所以，mgkxcostkmJR2\n24、一物体作简谐振动,其速度最大值Vm=3cm/s,其振幅A=2cm.若t=0时,物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动。求：（1）振动周期;（2）加速度的最大值;（3）振动方程的表达式。\n解:(1)v=A∴=v/A=1.5s-1mm∴T=2/4.19s(2)a=2A=v=4.5×10-2m/s2mm(3)1π21x0.02cos(1.5tπ)2\n25、一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m，如弹簧的倔强系数k=2.0N/m，所系物体的质量m=0.50kg，试求：（1）当动能和势能相等时，物体的位移；（2）设t=0时，物体在正最大位移处，达到动能和势能相等时所需时间是多少？（在一个周期内）\n（1）1kx21kA224A2∴x210（2）由题意的得：002T∴x0.2cos2t\n2把x代入1027当x时t.()1088265当x时t.()1088\n26、两个同方向的简谐振动的振动方程分别为x1=0.04cos2π(t+1/8)(SI)x2=0.03cos2π(t+1/4)(SI)求：合振动方程。\n-2πx410cos(2πt)14-2πx310cos(2πt)22按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为222-2A4324cos(π/2π/4)106.4810m4sin(π/4)3sin(π/2)arctg4cos(π/4)3cos(π/2)1.12rad合振动方程为x=6.48×10-2cos(2t+1.12)(SI)\n27、一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为，P处质点的振动规律如图所示．(1)求P处质点的振动方程；(2)求此波的波动表达式；1(3)若图中d2求坐标原点O处质点的振动方程．yP(m)d01t(s)OPx-A\n解：(1)由振动曲线可知，P处质点振动方程为1yAcos[(2t/4)]Acos(t)P2(2)波动表达式为txdyAcos[2()]4(3)O处质点的振动方程1yAcos(t)02\n28、一振幅为10cm，波长为200cm的一维余弦波。沿x轴正方向传播，波速为100cm/s，在t=0时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动。求：（1）原点处质点的振动方程；（2）在x=150cm处质点的振动方程。\n解：(1)振动方程：yAcos(t)0A=10cm，=2=s-1，=u/=0.5Hz初始条件：y(0,0)=0v01得02故得原点振动方程：1y0.10cos(t)23x=150cm处相位比原点落后213所以y0.10cos(t)220.10cos(t2)\n29.一弹性波在介质中以速度u=103m/s传播，振幅A=1.010-4m，频率=103Hz，若介质的密度为800kg/m3。求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S=410-4m2的总能量。12212242IAuA(2)u1.610224242ISt1.61041060386\n30.如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的P点相遇.频率γ=100Hz，振幅A=A=1.00×10–3m，12S的位相比S的位相超前/2，在媒质1中波速u=400m/s，在媒质2121中的波速u=500m/s，SP=r=4.00m,SP=r=3.75m,求：P点21122的合振幅。22003.754.0021()cos()021uu2500400213AAA2.001012\n31.一平面简谐波沿x正向传播。振幅为A，频率为，传播速度为u。（1）t=0时，在原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运动，试写出该波的波动方程；（2）若经界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求出在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。\n解：（1）对O点yAcos(2t)0030023yAcos(2t)232yAcos(2tx)2u\n（2）反射波动方程为32323yAcos[2t(x)]2u4412Acos(2tx)2驻波方程为：32yyyAcos(2tx)122u12Acos(2tx)2122Acos(2t)cos(x)2\n2波节cos(x)02x(2k1)2x(2k1)4k0,1,2\n32.在绳上传播的入射波方程为y=Acos(ωt+2πx/λ),入射波在1x=0处绳端反射，反射端为固定端，设反射波不衰减，求：驻波方程。\n解：入射波在O点的震动方程为yAcos(t)2x∴反射波为yAcos(t)驻波为：22yyyAcos(t)Acos(tx)12122Acos(t)cos(x)22\n33倔强系数分别为k1、k2的两根弹簧和质量为m的物体相连（如图），求该系统的振动周期。k1mk2x1x2\n解：设在平衡状态下，两弹簧的伸长量分别为x1和x2，则k1x1=k2x2。以平衡位置为原点，向右为x轴正方向，得k1mk2x1xx2Ox2dxk(xx)k(xx)mam11222dt\n2dxkk化简得12x02dtm则该系统的固有角频率为kk120m2m振动周期为T2kk012\n34．一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿着x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm，当t=0时，在x=0处质元的位移为零并向x轴正向运动。试写出该波的波动方程。\n解：A=0.03250.24u6Tt=0，y=00则302325y0.03cos(50tx)23