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- 2022-08-16 发布
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第一章 质点运动学T1-4:BDDB1-9 质点的运动方程为式中x,y的单位为m,t的单位为s.试求:(1)初速度的矢量表达式和大小;(2)加速度的矢量表达式和大小解 (1)速度的分量式为当t=0时,vox=-10m·s-1,voy=15m·s-1,则初速度的矢量表达式为,初速度大小为(2)加速度的分量式为,则加速度的矢量表达式为,加速度的大小为1-13 质点沿直线运动,加速度a=4-t2,式中a的单位为m·s-2,t的单位为s.如果当t=3s时,x=9m,v=2m·s-1,求(1)质点的任意时刻速度表达式;(2)运动方程.解:(1) 由a=4-t2及,有,得到。又由题目条件,t=3s时v=2,代入上式中有,解得,则。(2)由及上面所求得的速度表达式,有得到又由题目条件,t=3s时x=9,代入上式中有,解得,15\n于是可得质点运动方程为1-22 一质点沿半径为R的圆周按规律运动,v0、b都是常量.(1)求t时刻质点的总加速度大小;(2)t为何值时总加速度在数值上等于b?(3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈?知识点:圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式.本题采用线量的方式来描述圆周运动的运动方程。解 (1)质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为,故加速度的大小为(2)要使,由可得(3)从t=0开始到t=v0/b时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1-23 一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比.在t=2.0s时测得轮缘一点的速度值为4.0m·s-1.求:(1)该轮在t′=0.5s的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度;(2)该点在2.0s内所转过的角度.分析--题目的另一种描述方法:一质点(即题目中轮缘一点)作半径为R=0.50m的圆周运动,且,其中k为未知常数。在t=2.0s时m·s-1 .求:(1)在t′=0.5s时质点的角速度,切向加速度和法向加速度;(2)取t=0s时,求t=2.0s时的。知识点:第一问--圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式;第二问--运动学积分问题:已知速度及初位置求某时刻质点位置解 (1)因ωR=v,且得,15\n将t=2.0s时m·s-1 代入上式解得,所以。则t′=0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为(2)在2.0s内该点所转过的角度或者:由,有,得到。又由题目条件,取t=0s时,解得C=0。则在2.0s内该点的角度为1-24 一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为,式中θ的单位为rad,t的单位为s.(1)求在t=2.0s时质点的法向加速度和切向加速度.(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ值为多少?(3)t为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等?知识点:圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式.解 (1)由于,则角速度.在t=2s时,法向加速度和切向加速度的数值分别为(2)当时,有,即得此时刻的角位置为(3)要使,则有t=0.55s15\n第二章 牛顿定律T1-4:DACB2-14 一质量为10kg的质点在力F的作用下沿x轴作直线运动,已知F=120t+40,式中F的单位为N,t的单位的s.在t=1时,质点位于x=5.0m处,其速度v=9m·s-1.求质点(1)在任意时刻的速度和(2)位置.知识点:牛顿第二定律应用:已知力及初速度(或某个时刻的速度)求任意时刻速度 解 (1)由牛顿第二定律有由,有,得到。又由题目条件,t=1s时v=9,代入上式中解得,则。(2)由及上面所求得的速度表达式,有得到又由题目条件,t=1s时x=5,代入上式中解得,于是可得质点运动方程为。2-20 质量为45.0kg的物体,由地面以初速60.0m·s-1竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr=kv,且k=0.03N/(m·s-1).(1)求物体发射到最大高度所需的时间。知识点:牛顿第二定律应用:已知力及初速度(或某个时刻的速度)求任意时刻速度。在这个题目中,并不需要得到速度的表达式,只需要得到速度和时间之间的关系式。解 (1)物体在空中受重力mg和空气阻力Fr=kv作用而减速.由牛顿定律得(1)将上式改写成微元等式,有,积分得到。15\n由题意,将t=0时速度为代入上式,有,即,故有时间和速度的关系为。又当物体发射到最大高度时,速度,所以有此时所对应时间为。2-22 质量为m的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,并受到一定的阻力,使得它能达到的最大速率是vm.试计算以下情况从摩托车由静止加速到vm/2所需的时间:(1)阻力Fr=kv2;(2)阻力Fr=kv ,其中k为未知比例系数。知识点:牛顿第二定律应用:已知力及初速度(或某个时刻的速度)求任意时刻速度。和上题一样,在这个题目中,并不需要得到速度的表达式,只需要得到速度和时间之间的关系式。解 (1)设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有当加速度a=dv/dt=0时,摩托车的速率最大,此时牵引力和阻力相抵消,因此可得k=F/vm2代入上式中有,将上式改写成微元等式,并利用有,两边积分有。由t=0时,v=0,代入上式,有C=0。则当v=vm/2时,有(2)设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有当加速度a=dv/dt=0时,摩托车的速率最大,此时牵引力和阻力相抵消,因此可得15\nk=F/vm代入上式中有,将上式改写成微元等式,有,两边积分有。由t=0时,v=0,代入上式,有C=0。则当v=vm/2时,有。第三章 动量守恒定律和能量守恒定律T1,T3、4、5:CCDC3-6 一架以3.0×102m·s-1的速率水平飞行的飞机,与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰.设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略不计.试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算).知识点:质点动量定理的应用:已知速度变化求平均作用力解 以飞鸟为研究对象,取飞机运动方向为x轴正向.由动量定理得式中F′为飞机对鸟的平均冲力,等式右边的0指小鸟的初始动量忽略不计,而身长为20cm的飞鸟与飞机碰撞时间约为Δt=l/v,以此代入上式可得根据作用力和反作用力定律,则鸟对飞机的平均冲力为3-8 Fx=30+4t(式中Fx的单位为N,t的单位为s)的合外力作用在质量m=10kg的物体上,试求:(1)在开始2s内此力的冲量;(2)若冲量I=300N·s,此力作用的时间;(3)若物体的初速度v1=10m·s-1,方向与Fx相同,在t=6.86s时,此物体的速度v2.知识点:冲量的定义,质点动量定理的积分形式解 (1)由冲量定义,有(2)由I=300=30t+2t2,解此方程可得t=6.86s(另一解t<0不合题意已舍去)(3)由动量定理,,15\n又由可知t=6.86s时I=300N·s,将I、m及v1代入可得 3-17 质量为m的质点在外力F的作用下沿Ox轴运动,已知t=0时质点位于原点,且初始速度为零.设外力F随距离变化规律为.试求质点从x=0处运动到x=L处的过程中力F对质点所作功和质点在x=L处的速率.知识点:功的定义,动能定理解 由,又由功的定义,有由动能定理有其中,等式右边的0指质点的初始速度及动能为0,则有得x=L处的质点速率为 3-19 一物体在介质中按规律x=ct3作直线运动,c为一常量.设介质对物体的阻力F(v)=kv2,其中k为已知阻力系数。试求物体由x0=0运动到x=l时,阻力所作的功.知识点:功的定义解 由运动方程x=ct3,可得物体的速度代入F(v)=kv2,得到物体所受阻力的大小和时间关系为再由x=ct3即,代入上式有。由功的定义,则阻力做功为。3-20 一人从10.0m深的井中提水,起始桶中装有10.0kg的水,由于水桶漏水,每升高1.00m要漏去0.20kg的水.水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功.(取重力加速度g=10m·s-2)15\n知识点:功的定义解 水桶在匀速上提过程中,拉力F与水桶重力P平衡,有F+P=0(在图示所取坐标下,)(注:考试时括号文字不写)记初始时刻水桶内水的质量为,则水桶重力随位置的变化关系为其中y为水桶的高度,以井底为y=0。则由功的定义,有人对水桶的拉力的功为3-21 一质量为0.20kg的球,系在长为2.00m的细绳上,细绳的另一端系在天花板上.把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开.求:(1)在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功;(2)物体在最低位置时的动能和速率;(3)在最低位置时的张力.知识点:势能定义,重力势能函数,机械能守恒:已知某一过程质点的初始及末位置,求功、动能变化、速度变化等;圆周运动和受力关系解 (1)张力由于和小球运动方向垂直,故做功为零。由保守力做功和势能的关系,则重力做功有。又若将小球最低点取为势能零点,重力势能函数为。15\n将,代入公式,有重力做功为(2)根据机械能守恒,,即又由初始时动能为零,故在最低位置时,亦即在时的动能为小球在最低位置的速率为(3)当小球在最低位置时,记张力为,则由牛顿定律可得,其中为圆周运动的法向力,则有第四章 刚体的转动T5:B4-28 我国1970年4月24日发射的第一颗人造卫星,其近地点为4.39×105m、远地点为2.38×106m.试计算卫星在近地点和远地点的速率.(设已知卫星绕地球运动过程角动量守恒。)知识点:角动量守恒,引力势能的函数,机械能守恒解 记近地点处卫星离地球距离为,速率为,远地点处则分别为、。由于卫星绕地球运动轨迹为以地球为焦点的椭圆,且在近地点和远地点处的速度方向与地球到卫星连线相垂直,则由角动量守恒定律有,即又因卫星与地球系统的机械能守恒,故有式中mE和m分别为地球和卫星的质量。将代入上式有15\n,进一步有4-30 如图所示,一质量为m的小球由一绳索系着,以角速度ω0在无摩擦的水平面上,作半径为r0的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力,使小球作半径为r0/2的圆周运动.试求:(1)小球新的角速度;(2)拉力所作的功.知识点:角动量守恒,质点动能定理解 (1)小球在转动的过程中,角动量保持守恒,且由圆周运动质点的角动量为,则有当小球做两种半径的圆周运动时角动量相等,故新的角速度为。(2)当小球作半径为r0的圆周运动时速度为,作半径为r0/2的圆周运动时速度为。由动能定理,有。第五章 静 电 场T1-3:BBD5-9 若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求在棒的延长线,且离棒中心为r>0处的P点上的(1)电场强度(2)电势,以无穷远处电势为0.知识点:连续带电体电场强度、电势求解:1)电荷元积分法解:(1)沿着带电细棒建立坐标轴x,以棒的中点为坐标原点。在棒上任取一个线微元dx,其电荷元为dq,由均匀带电有dq=Qdx/L。记该电荷元的坐标为x,离P点距离为,则有,该电荷元对P点所产生的电场强度大小为。15\n整个带电体在点P的电场强度为,(注意积分时r是常数)解得。(2)沿着带电细棒建立坐标轴x,以棒的中点为坐标原点。在棒上任取一个线微元dx,其电荷元为dq,由均匀带电有dq=Qdx/L。记该电荷元的坐标为x,离P点距离为,则有,该电荷元对P点所产生的电势大小为,则整个带电体在点P的电势大小为,(注意积分时r是常数)解得。5-21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2>R1),单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处的电场强度:(1)r<R1,(2)R1<r<R2,(3)r>R2.知识点:连续带电体电场强度求解:2)高斯定理法解 作带电体的同轴圆柱面(半径为r,高为L)为高斯面,则由电荷分布对称性,在圆柱面侧面上任意一点电场强度大小相等,方向垂直于高斯面,而在圆柱面底面上电场强度方向与面相平行,无电通量。因此,高斯面上的电通量和r处电场强度的关系为。又由高斯定理,则有,则对应于r为不同的位置:15\n(1)r<R1,高斯面所包围的带电体为0,故有 ,(2)R1<r<R2,高斯面所包围的带电体为电量为,则有。(3)r>R2,高斯面所包围的带电体正负相抵,净电荷为0故有 ,。5-22 如图所示,有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1=Q3=Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零,求在固定Q1、Q3的情况下,将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.知识点:点电荷的电势,电势定义:电势和电势能的关系,电势和电场强度的关系,电势差和静电力做功的关系解 由题意Q1所受的合力为零及库仑力的定义,有解得由于Q1、Q3都是点电荷,则由点电荷电势的公式及电势叠加原理得Q1、Q3在点O的电势则有Q2在点O的电势能为。将Q2从点O推到无穷远处()的过程中,由电场力作功与电势能差的关系有电场力做功为,而又由外力和电场力相抵消故外力做功为。补充例题:均匀带电球体的电场强度15\n设有一半径为R,均匀带电为Q的球体,求球体内部任意一点P(距离球心r