大学物理2习题14 9页

习题1414-1．如图所示的弓形线框中通有电流，求圆心处的磁感应强度。解：圆弧在O点的磁感应强度：，方向：；直导线在O点的磁感应强度：，方向：；∴总场强：，方向。14-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；（2）试证明：当时，O点处的磁场最为均匀。解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：。（1）左线圈在x处点产生的磁感应强度：，右线圈在x处点产生的磁感应强度：，和方向一致，均沿轴线水平向右，∴点磁感应强度：；（2）因为随变化，变化率为，若此变化率在处的变化最缓慢，则O点处的磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随变化情况，即对的各阶导数进行讨论。对求一阶导数：当时，，可见在O点，磁感应强度有极值。对求二阶导数：\n当时，，可见，当时，，O点的磁感应强度有极小值，当时，，O点的磁感应强度有极大值，当时，，说明磁感应强度在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中部分是在平面内半径为的半圆，试求通以电流时点的磁感应强度。解：∵a段对O点的磁感应强度可用求得，有：，∴b段的延长线过点，，c段产生的磁感应强度为：，∴则：O点的总场强：，方向如图。14-4．如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球心O的磁感强度。解：从O点引出一根半径线，与水平方向呈角，则有水平投影：，圆环半径：，取微元，有环形电流：，利用：，有：，\n∴。14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线平行，间距为，若导体内的电流密度均匀为，的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁感应强度。解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了的电流，那么，以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用，有：，∴，同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：，有：，由图示可知：那么，。14-6．在半径的无限长半圆柱形金属片中，有电流自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点处的磁感应强度的大小。解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为的长直电流，有：，利用。在P点处的磁感应强度为：，∴，而因为对称性，那么，。14-7．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（）。解：利用安培环路定理分段讨论。（1）当时，有：∴；\n（2）当时，有：，∴；（3）当时，有：，∴；（4）当时，有：，∴。则：14-8．一橡皮传输带以速度匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为。（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度的大小；（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度及它所产生的磁场和电场之间满足下述关系：（式中）。解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路，考虑到橡皮带上等效电流密度为：，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：，∴磁感应强度的大小：；（2）非相对论情形下：匀速运动的点电荷产生的磁场为：，点电荷产生的电场为：，∴，即为结论：（式中）。\n14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为，半径为。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为，求：（1）圆柱体内距轴线处的磁感应强度的大小；（2）两端面中心的磁感应强度的大小。解：（1）考察圆柱体内距轴线处到半径的圆环等效电流。∵，∴，选环路如图所示，由安培环路定理：，有：∴（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：。14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为，两圆柱轴线间的距离，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。解：因为一个阴影的横截面积为，那么面电流密度为：，利用补偿法，将真空部分看成通有电流，设其中一个阴影在真空部分某点处产生的磁场为，距离为，另一个为、，有：。利用安培环路定理可得：，，则：，，∴。即空腔处磁感应强度大小为，方向向上。14-11．无限长直线电流与直线电流共面，几何位置如图所示，试求直线电流受到电流磁场的作用力。解：在直线电流上任意取一个小电流元，此电流元到长直线的距离为，无限长直线电流\n在小电流元处产生的磁感应强度为：，再利用，考虑到，有：，∴。14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过时将偏转多远？解：（1）根据可判断出电子束将偏向东。（2）利用，有：，而，∴（3）。14-13．一半径为的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线的电流等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。解：设半圆柱面导体的线电流分布为，如图，由安培环路定理，电流在点处产生的磁感应强度为：，可求得：；又∵，故，有：，而，所以：。14-14．如图14-55所示，一个带有电荷()的粒子，\n以速度平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为（），并载有传导电流。试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为的平行线上？解：由安培环路定律知：电流在处产生的磁感应强度为：，方向；运动电荷受到的洛仑兹力方向向左，大小：，同时由于导线带有线电荷密度为，在处产生的电场强度可用高斯定律求得为：，受到的静电场力方向向右，大小：；欲使粒子保持在一条与导线距离为的平行线，需，即：，可得。14-15．截面积为、密度为的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴转动，如图14-53所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度而平衡，求磁感应强度。解：设正方形的边长为，质量为，。平衡时重力矩等于磁力矩：由，磁力矩的大小：；重力矩为：平衡时：，∴。14-16．有一个形导线，质量为，两端浸没在水银槽中，导线水平部分的长度为，处在磁感应强度大小为的均匀磁场中，如图所示。当接通电源时，导线就会从水银槽中跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略，试由导线跳起所达到的高度计算电流脉冲的电荷量。解：接通电流时有，而，则：，积分有：；又由机械能守恒：，有：，∴。\n14-17．半径为的半圆形闭合线圈，载有电流，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？解：（1）线圈的磁矩为：，由，此时线圈所受力矩的大小为：；磁力矩的方向由确定，为垂直于B的方向向上，如图；（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：。【或：】思考题14-1．在图（）和（）中各有一半径相同的圆形回路、，圆周内有电流、，其分布相同，且均在真空中，但在（）图中回路外有电流，、为两圆形回路上的对应点，则：；；；。答：的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的随的变化关系？（坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心）\n答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度∴时，（），。根据上述两式可判断（C）图对。14-3．取一闭合积分回路，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：(A)回路内的不变，上各点的不变；(B)回路内的不变，上各点的改变；(C)回路内的改变，上各点的不变；(D)回路内的改变，上各点的改变.答：（B）对。14-4．一载有电流的细导线分别均匀密绕在半径为和的长直圆筒上形成两个螺线管()，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小和应满足：；；；.答：对于长直螺线管：，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B）对。14-5．均匀磁场的磁感应强度垂直于半径为的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面，则通过面的磁通量的大小为多少？答：。14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？答：受力方向垂直纸面向里，受力外，在力偶矩的作用下，垂直纸面向里运动，垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋转。14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则（A）两粒子的电荷必然同号；（B）粒子的电荷可以同号也可以异号；（C）两粒子的动量大小必然不同；（D）两粒子的运动周期必然不同。答：选（B）