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第七章波动7.1机械波的产生和传播一．机械波的产生振动状态的传播叫做波动，简称波。机械振动在弹性介质中传播形成的波就是机械波。这是因为当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各部分之间的弹性相互作用，振动的质点就会对周围的介质施加弹性力，带动邻近的质点在平衡位置附近振动起来，这样振动就由近及远地传播开去，形成波动。因此，机械波的产生，一是有作机械振动的物体，即波源；二是要有能够传播这种机械振动的介质。应当注意，波动只是振动状态的传播，介质中各质点并不随波前进，各质点只以周期性变化的振动速度在各自的平衡位置附近振动。二．横波和纵波按照质点振动方向和波的传播方向的关系，波可分解为横波和纵波两种最基本的形式。如果质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波，如弹性绳上的波。如果质点的振动方向和波的传播方向平行，这种波称为纵波，如声波。一般地说，介质中质点的振动情况是很复杂的，由此产生的波动也很复杂。但任何复杂的波都可以分解为横波和纵波来进行研究。录象：纵波三．简谐波当波源作简谐振动时，介质中各质点也做简谐振动，这样形成的波称为简谐波，简谐波是一种最简单、最基本的波，任何一种复杂的波都是由简谐波合成的结果。波阵面是平面的简谐波称为平面简谐波。四．波阵面和波射线27\n在波动过程中，振动相位相同的点连成的面称为波阵面或波面。相应的，最前面的波面称为波前。由于波面上各点的相位相同，因此波面是同相面。波阵面是平面的波动称为平面波。波阵面是球面的的波称为球面波。波的传播方向称为波线或波射线。在各向同性的介质中，波线总是与波阵面垂直，平面波的波线是垂直于波阵面的平行直线，球面波的波线是以波源为中心从中心向外的径向直线。五．波的传播速度u在波动传播过程中，某振动状态（即振动相位）在单位时间内传播的距离叫做波速，也称为相速。波速的大小取决于介质的性质。具体地说，就是决定于介质的密度和弹性模量。理论证明，在流体内只能传播纵波，纵波波速为式中B是流体的体变弹性模量，是流体的密度。对于固体，固体中既能传播横波，又能传播纵波，波速分别为为，式中G、Y是固体的切变弹性模量和杨氏弹性模量。对于一根张紧的细绳，横波波速为式中T是细绳的张力，是细绳的线密度。六．波长、周期和频率同一波线上两个相邻的相位差为的质点间的距离，即一个完整波的长度称为波长，用表示。波前进一个波长所需的时间，或一个完整波形通过波线上某点所需的时间，称为波的周期，用表示。显然，波速、波长和周期三者之间有如下关系单位时间内波动传播的完整波的数目，或者周期的倒数称为波的频率，用表示。应当指出，波速虽由介质的性质决定，但波的频率是波源振动的频率，与介质无关。因此同一频率的波，其波长随介质的不同而不同。27\n7.2平面简谐波方程一．平面简谐波方程平面简谐波传播时，介质中各质点都做同一频率的简谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但在任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，离开各自的平衡位置有相同的位移。因此，我们可以用与波阵面垂直的任一波线上波的传播规律来表示整个平面波的传播规律。如图，设有一平面简谐波，在无吸收的均匀无限介质中沿x轴的正方向传播，波速为u。取任一波线为x轴，并取O作为x轴的原点。假定O点处质点的振动方程为式中是O点处质点在时刻t离开平衡位置的位移，A是振幅，是角频率，是初相位。现沿波线任取一点P，距原点的距离为x。当振动从O点传播到P点时，P点落后于O点的时间是，也就是说，P点在t时刻的振动状态就是O点在时刻的振动状态。因此，任意时刻t，任意点P的振动方程为上式表示的是波线上任一点（距原点为x）处质点任一瞬间的位移，这就是沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程，又称波函数。二．波函数的物理意义1．如果x给定，则位移y就是时间t的函数，这时波函数表示距离原点为x处的质点在不同时刻的位移，即该质点在作周期为T的简谐振动的情形。2．如果t给定，则位移y就是位移x的函数，这时波函数表示在给定时刻波线上各个不同质点的位移，也就是在给定时刻的波形。27\n3．如果x和t都在变化，则波函数表示波线上各个不同质点在不同时刻的位移，或者说反映了波形的传播。一．简谐波方程的其他形式利用关系式，，平面简谐波方程也可以表示为如果波沿x轴负方向传播，则平面简谐波方程为四．波动方程把平面简谐波方程分别对t和x偏微分两次，得到27\n比较上两式可得这个方程称为平面波的波动方程。它反映了一切平面波的共同特征。任何物理量，只要它与时间和坐标的关系满足上式，这一物理量就以波的形式传播。应当指出，从沿x轴反方向传播的平面简谐波方程也可以得到相同的波动方程。例1．某波动可由下式表示（时间单位为s，长度单位为m）求振动周期T，波长和波速u。解：把波动方程改写成形式比较两式，可得波动沿x轴负方向传播。例2．有一平面简谐波沿ox轴正向传播，已知A=1.0m，T=2.0s，=2.0m。在t=0时，坐标原点处质点位于平衡位置沿oy轴正向运动，求（1）波动方程；（2）t=1.0s时的位移分布；（3）x=0.5m时的振动规律？解：（1）设简谐波方程为则离原点x处质点振动速度为因为，所以由于时，坐标原点处质点位于平衡位置沿oy轴正向运动，即解得所以简谐波方程为（2）把t=1.0s代入简谐波方程，得27\n（3）把x=0.5m代入简谐波方程，得例3．一平面简谐波以波速u=0.2m/s沿x轴正向传播。已知在传播路径上距离原点5cm处点A的简谐振动为求波动表达式。解；设简谐波方程为则A点的简谐振动方程为因为，所以因此简谐波的波动方程为7.3波的能量和能流密度一．波的能量当波在弹性介质中传到某处时，该处的质点开始振动，因而具有动能。同时该处的介质也发生了形变，因而具有弹性势能。下面以均匀细杆中纵波为例，来分析能量的传播。在棒中任取体积、质量为（，27\n为棒的体密度）的体积元。当波动传播到这个体积元时，这体积元将具有动能和弹性势能。如果棒中平面简谐波方程为则可以证明上式表明在任何时刻，体积元的动能和势能同相，而且相等。因此体积元的总机械能为上式指出体积元的总机械能随时间t作周期性变化，这说明体积元的总能量不守恒，它在不断地接收和放出能量。由此，波动传播时，能量由近及远地向外传播出来，这就是波动的重要特征。介质中单位体积中的波动总能量称为波的能流密度，即波的能量密度是随时间而变化的，通常取其在一个周期内的平均值上式表明，机械波的能量密度与振幅平方、频率的平方以及介质的密度都成正比。一．能流和能流密度根据以上分析，波的能量是随着波动的进行在介质中传播的。为此，我们引入能流的概念。单位时间内通过波面上某面积的能量称为通过该面积的能流。设在介质中垂直于波速u取面积S，则在单位时间内通过S面的能量等于体积uS中的能量。这能量是周期性变化的，通常取其一个周期的时间平均值，即得平均能流为能流的单位是W，波的能流也称为波的功率。单位时间内通过垂直于波线方向的单位面积上的平均能流，称为能流密度或波的强度，用I来表示能流密度的单位是W/m2，能流密度是矢量，与波速同向27\n一．声强与声强级频率在之间的能引起人的听觉的机械波，叫做声波；频率在之间的，称次声波；频率在之间的，称超声波。声波的能流密度称为声强。人耳对声音强弱的主观感觉称为响度。实验表明响度近似地与声强的对数成正比，声强级L用声强的对数来表示式中I0用是频率为时人耳能感觉到的最低声强，。声强级的单位是分贝，记作。7.4惠更斯原理与波的传播如图，当观察水面上的波时，如果遇到带有一小孔的障碍物，就可以看到在小孔的后面出现了原形的波，它好像是以小孔为波源产生的。惠更斯在研究波动现象时，于1690年提出，介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面，这就是惠更斯原理。根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面就可以用几何作图法确定下一时刻的波阵面。27\n利用惠更斯原理还可以导出波的反射定律和折射定律。应当指出，惠更斯原理没有说明子波的强度分布，它只解决了波的传播方向问题。对此，菲涅耳对惠更斯原理作了重要补充，形成惠更斯-菲涅耳原理。它在波动光学中有重要意义。7.5波的叠加原理波的干涉一．波的叠加原理几列波同时在介质中传播，不管它们是否相遇，都各自以原有的振幅、波长和频率独立传播，彼此互不影响。在相遇处质点的位移，等于各列波单独传播时在该处位移的矢量和，这就是波的叠加原理。例如，在欣赏管弦乐时，乐队中各种乐器发出的声波，并不相互干扰而使音乐旋律发生变化，我们照样能分辨出各种乐器的声音。录象：波的叠加二．波的干涉一般地说，振幅、频率、相位等都不相同的几列波在某一点叠加时，情形是很复杂的。但两列频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的简谐波，在空间任何一点相遇时，该点的两个分振动也有恒定的相位差。但对于空间不同的点，有着不同的恒定相位差，因而在空间某些点处，振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。这种现象称为波的干涉。能产生干涉现象的波称为相干波，相应的波源称为相干波源。干涉现象是波动所独有的现象。`27\n设有两列相干波在空间某点P相遇，两波在该点引起的分振动分别为式中和为两列波在P点引起振动的振幅，和为波源的初相位，和为P点离开两波源的距离。根据叠加原理，P点的合振动为式中因为两列相干波在空间任一点所引起的两个振动的相位差是一个恒量，因此两波相遇处的合振幅是个恒量。（1）．当，则合振幅最大；（2）．当，则合振幅最小。如果两相干波源的初相位相同，即，上述条件可简化为（1）．，时合振幅最大；（2）．，时合振幅最小。式中是两相干波源到相遇处P点的路程之差，称为波程差。27\n录象：波的干涉7.6驻波一．驻波方程27\n驻波是两列振幅相同，在同一直线上，沿相反方向传播的相干波相遇叠加的结果。设两列相干波的表达式分别为则两波相遇处的合位移为这就是驻波方程。由上式可看出，合成以后各点都在作同周期的简谐振动，但质点的振幅随其位置x作周期性变化。下面对驻波方程作进一步讨论。1．波腹与波节（1）．当或时，该处质点具有最大振幅，这些点称为波腹，相邻波腹间的距离为（2）．当或时，该处质点的振幅为零，这些点称为波节，相邻波节间的距离为27\n驻波中，波节不参加振动，因而没有振动状态或相位的传播，也没有能量的传播，所以才称之为驻波。2．各点的相位驻波中，两波节之间各点的振动是同相的；在波节的两侧，振动是反相的；波节质点静止，不作振动。因此，驻波实际就是分段振动现象。录象：驻波现象二．半波损失驻波可以由入射波和反射波叠加而成。入射波垂直入射时，在反射处是波腹还是波节，取决于发射处两侧介质的密度和波速的乘积。相对来说，较大的介质称为波密介质，较小的介质称为波疏介质。当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反射时，反射波与入射波反相，相当于损失了半个波长，形成波节。这种现象称为半波损失。录象：半波损失7.7多普勒效应如果波源或者观察者相对于介质运动，那么观察者接收到的频率与波源的频率不一致，这种现象称为多普勒效应。设静止的波源在各向同性介质中传播时，波源频率为，波长为，波相对于静止介质的波速为。一．波源静止而观察者运动若观察者以速率向波源运动，则观察者感受的频率为即观察者向波源运动时，感觉到的频率会升高。若观察者以速率离开波源运动，则观察者感受的频率为即观察者离开波源运动时，感觉到的频率会下降。二．观察者静止而波源运动若波源以速率向观察者运动，则观察者感受的频率为即波源向观察者运动时，感觉到的频率会升高。若波源以速率离开观察者运动，则观察者感受的频率为27\n即波源离开观察者运动时，感觉到的频率会下降。一．观察者和波源在一条直线上运动当波源和观察者相向运动时，观察者感受的频率为当波源和观察者背向运动时，观察者感受的频率为若波源和观察者的速度不在两者的连线上，上式中的和应取它们在连线上的投影。录象：多普勒效应例4．（1）一辆汽车的喇叭声频率为400Hz，以34m/s的速度在一笔直的公路上行驶。站在公路边的观察者测得这辆汽车的喇叭声的频率是多少？声音在空气中传播的速度为340m/s。（2）如果上述的汽车停在公路旁，观察者乘坐的汽车的速度是34m/s，那么，观察者测得这辆汽车喇叭声的频率是多少？解：（1）如果汽车驶向观察者，观察者测得的频率为如果汽车驶离观察者，测得的频率为（2）如果观察者驶向停在路边的汽车，观察者测得的频率为如果观察者驶过停在路边的汽车，观察者测得的频率为27\n第八章狭义相对论基础8.1经典力学的相对性原理和时空观一．经典力学的相对性原理为了描述物体的机械运动，我们需要选择适当的参照系。牛顿运动定律适用的参照系称做惯性系，相对于某惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系。力学定律对所有的惯性系都适用，也就是说，力学现象对于不同的惯性系，都遵循同样的规律，在研究力学规律时，所有的惯性系都是等价的，没有一个参照系比别的参照系具有绝对的或优越的地位，这就是经典力学的相对性原理二．伽利略变换1．伽利略坐标变换式如图，设两个惯性系和，它们对应的坐标轴相互平行，系相对于以速度沿x轴正向运动，开始时，两惯性系的原点重合。则由经典力学可知，在任一时刻t，点P在两个参照系中的位置坐标有以下对应关系或上式称为伽利略坐标变换式。其矢量形式为2．伽利略速度变换式把伽利略坐标变换式对时间求导，即可得到伽利略速度变换式其矢量形式为上式表明，自不同惯性系观察同一质点的运动，其速度是不同的。如果有两个质点质量分别为和，在S系中速度分别为和，若没有外力作用，则动量守恒，有27\n在系两质点的动量和为上式说明，动量守恒定律在不同的惯性系中都是成立的。或者说，动量守恒定律在伽利略变换下保持不变。3．伽利略变换下的加速度对伽利略速度变换式进行时间求导，可得到两个惯性系中加速度的关系为即物体的加速度在伽利略变换下是不变的。或者说，在不同的惯性系中观察同一质点的加速度是相同的。根据牛顿第二运动定律，在两个参照系中质点所受的力这说明，在不同的惯性参照系中测得作用在质点上的力以及牛顿第二运动定律的形式完全相同，牛顿第二运动定律在伽利略变换下保持不变。由于所有的牛顿动力学定律都是从动量守恒定律和力的定义推导出来的，所以动力学定律在伽利略变换下保持不变。二．经典力学的时空观伽利略坐标变换的核心思想是经典力学中的绝对时空观。经典力学认为物体的运动虽在时间和空间中进行，但是时间和空间的性质与物质的运动彼此没有任何联系。牛顿说：“绝对的、真正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地、与任一外界对象无关的流逝着。”“绝对空间，就其本性而言，与外界任何事物无关，而永是相同的和不动的。”这就是经典力学的时空观。这种把物质和运动完全脱离的“绝对时间”和“绝对空间”的观点是把低速范围内总结出来的结论绝对化的结果。8.2迈克耳孙-莫雷实验一．以太参照系19世纪末，在光的电磁理论的发展过程中，有人认为宇宙间充满一种叫做“以太”的介质，光是靠以太来传播的，而且把这种“以太”选作绝对静止的参照系，凡是相对于这个绝对参照系的运动叫做绝对运动，以区别于对其他参照系的相对运动。根据这个观点，当时物理学家设计了各种实验去寻找以太参照系。其中，1887年迈克耳孙和莫雷的实验特别有名。二．迈克耳孙—莫雷实验迈克耳孙—莫雷实验装置原理图，如下左图所示。27\n现把固定在地球上的整个实验装置作为运动参照系（亦叫实验室参照系），设想它相对于绝对参照系（即以太参照系）以速度运动[方向如图（上右图）所示]。而从实验室参照系来看，以太则以-的速度相对实验室参照系运动，光在以太中不论沿哪个方向的速度均为。我们如取以太参照系为S系，实验室参照系为，从系来看，光自G到M1的速度为，而光自M1到G的速度为。于是，从系来看，光从G到M1，然后再由M1回到G所需的时间为         另外，如右图所示，从系来看，光自G到M2和自M2到G速度均为。所以，从系来看，光从G到M2，然后再由M2回到G所需的时间为          　由以上两式可以看出，从系来看，G点发出的两束光到达望远镜的时间差应为=　由于，上式可写成　于是，两光束的光程差为　若把整个仪器旋转90o，则前后两次的光程差为。在此过程中，望远镜的视场内应看到干涉条纹移动条，有27\n只要测出条纹的移动数目，即可算出地球相对于以太的绝对速度，从而就可以把以太作为绝对参考系。但是他们却始终未观察到预期的条纹移动。8.3狭义相对论基本假设洛伦兹变换一．狭义相对论基本假设1905年，爱因斯坦扬弃了以太假说和绝对参照系的想法，在前人各种实验的基础上，另辟蹊径，提出下述两条假设，作为狭义相对论的两条基本原理：（1）．相对性原理物理定律在一切惯性参照系中都具有相同的数学表达形式，即所有的惯性系对于描述物理现象都是等价的。换句话说，不存在任何特殊的惯性系。（2）．光速不变原理在任何惯性系中，光在真空中的速度都相等。换句话说，真空中的光速c对任何惯性系都是普适常数。二．洛伦兹变换在狭义相对论中，爱因斯坦根据狭义相对论的两条基本原理，建立了新的坐标变换公式，这就是洛伦兹变换。如图假设坐标系相对于惯性坐标系以匀速沿彼此重合的和轴运动，和轴、和轴保持平行，且两坐标原点在时重合，则时空坐标的洛伦兹变换为27\n，，洛伦兹变换的逆变换为，，由上式可以看出，当时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换。三．相对论速度变换式考虑从系和系观测同一质点在某一时刻的运动速度。在系和系分别测得的速度为和。应用洛伦兹坐标变换，可以证明两参照系中速度之间的相对论变换为，，逆变换为，，同样，当时，相对论速度变换式就转化为伽利略速度变换式。例1．一短跑运动员，在地球上以10s时间跑完100m，在飞行0.98c的飞船中的观察者看来，这短跑选手跑了多长时间？多长距离？27\n解：设人在S系（地球）中起跑点和到达终点的时空坐标分别为和，在系（飞船）中对应的时空坐标为和，根据洛伦兹变换，有，，，因此，在飞船中观察时，选手跑的距离为例2．设两可控光子火箭A，B相向运动，在地面测得A，B速度沿x轴正向分别为，求两火箭的相对速度是多少？解：设地球为系，火箭A为系，则由题意可知根据相对论的速度变换式，有27\n8.4狭义性对论的时空观一．同时的相对性设系相对于系以速度u沿x轴正向运动。在系中，不同地点同时发生两个事件和，由洛伦兹变换可知，在系中，这两个事件发生的时间分别为，则上式说明，在某个惯性系中同时发生的两个事件，在另一相对它运动的惯性系中，并不一定同时发生。这就是同时的相对性。录象：同时的相对性。二．长度收缩27\n在惯性系和中测量一细杆的长度。系相对于系以速度u沿x轴正向运动，细杆静止在系中并沿轴放置，如图所示。相对于杆静止时测得的杆的长度称为杆的固有长度，记为。若中的观察者测得杆两端的坐标为和，则杆的固有长度为对于系中的观察者，同一时刻测得其两端的坐标为和，则在系中测得杆的长度为由洛伦兹变换式有，两式相减，得即上式表明，从系测得运动细杆的长度要比从相对细杆静止的系测得的长度短。这种物体沿运动方向发生的长度变短的效应称为长度收缩。同理，可以证明在运动着的系中的观察者测量静止在系中的细杆，其长度也是缩短的。应当注意，当细杆垂直于运动方向时，其长度在系和系是相同的。如果，则，这就是牛顿的绝对空间概念。需要指出的是，长度的收缩是相对运动的效应，并不是物体材料真的收缩了。三．时间延缓设在惯性系中测得发生在同一地点（指同一坐标）的两个事件的时刻分别为和，于是系中的两事件发生的时间间隔为这种在某一惯性系中同一地点（指同一坐标）发生的两个事件的时间间隔称为杆的固有时。对于系中的观察者测得上述两事件发生的时刻分别为和，则系中两事件发生的时间间隔为由洛伦兹变换式有，两式相减，得27\n即上式说明，在某一惯性系中同一地点（指同一坐标）发生的两个事件的时间间隔，在运动的参照系中观测，事物变化过程的时间间隔变长了。换句话说，系中的观察者发现系中的钟（即运动的钟）变慢了。这就是时间延缓，又叫时间膨胀。同理，可以证明在系中也观测到系中的钟变慢了。应当注意，时间延缓是相对运动的效应，并不是事物内部机制或钟的内部结构有什么变化。如果，则，这就是牛顿的绝对时间概念，它是相对论时间概念的低速近似。例3．一米尺静止在系中与轴成角。如果在系中测得该米尺与轴成角，则系相对与系的速度是多少？在系中测得该米尺的长度是多少？解：由于长度收缩只发生在物体相对于观察者的运动方向上，与运动方向垂直的方向上没有长度收缩效应。因此有由题意可知27\n所以8.5相对论动力学一．相对论动量与质量经典力学中，质点的质量m是一个与质点的运动速度无关的常量。因此根据牛顿第二定律，一个质点在恒力作用下，具有恒定的加速度，速度将不断地增加直至超过光速，这与狭义相对论相矛盾。在狭义相对论中，根据自然界的普遍规律之一的动量守恒定律，以及运用相对论速度变换的关系，从理论上证明物体的质量是随着速度而改变的，两者的关系为式中的是物体在相对静止的惯性系中测出的质量，叫做静止质量；m是物体对观察者有相对速度v时的相对论质量，也称动质量，简称质量。因此，在相对论中，动量的表达式为而相对论力学的基本方程应为当时，上式可表达成这就是牛顿第二定律。这说明，牛顿第二定律是相对论动力学方程的低速近似。27\n二．相对论动能当外力作用在静止质量为的自由质点上时，质点每经历位移，其动能增量为考虑及，则即由于，对其微分求出代入前式得对其两边积分这就是相对论中的动能表达式。当时，有，代入上式，得这就是经典力学中动能的表达式。三．质量和能量的关系在相对论动能公式中，等号右端两项都具有能量的量纲。爱因斯坦把解释为粒子因静质量而具有的能量，称为静能，即是粒子的总能量E，即这就是著名的质能关系式。它表明，只要物体有质量，必有的能量；反之，只要物体有能量，必有质量。对上式取其增量，有这是质能关系的另一种表达式。它表明，物体吸收或放出能量时，必伴随着质量的增加或减少。核武器和核能技术都是相对论质能关系的应用。四．动量和能量的关系在相对论中，静质量为、运动速度为v的质点的动量和总能量分别为27\n，比较两式，整理后有或这就是相对论动量和能量关系式。当时，上式可转化为即这就是经典力学中动能与动量的表达式。例4．设有一电子，在电势差中加速，求电子被加速后的动量、质量和速率。解：电子被加速后具有动能因为，所以由于，所以27\n27