大学物理(赵近芳) 11页

习题11.1选择题(1)一运动质点在某瞬时位于矢径ry)的端点处，其速度人小为(C)d|门dt［答案：叨⑵一质点作直线运动,—•秒钟后质点的速度(A)等于零(C)等于2m/s［答案：D］dr~dt(B)某时刻的瞬时速度v=2mls,瞬时加速度a=-2m/s2,则(B)等于・2m/s(D)不能确定。(3)一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为2兀R2ttR(A)—,—(B)0邺(C)0,0(D)丝,0［答案：B］1.2填空题⑴一质点，以勿的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小是;经过的路程是.［答案：10m；5nm］⑵一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t(SI),如果初始时刻质点的速度％为5ms-1,则当t为3s时，质点的速度v=」［答案：23m・s"］(3)轮船在水上以相对于水的速度叼航行，水流速度为卩2,一人相对于甲板以速度％行走。如人相对于岸静止，则叼、必和匕的关系是O［答案：叼+必+必=0］\n1.3—个物体能否被看作质点，你认为主耍由以下三个因素中哪个因素决定：(1)物体的大小和形状；(2)物体的内部结构；(3)所研究问题的性质。解：只冇当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。1.4下面儿个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？(1)x=4t-3；(2)x="4t'+3*+6；(3)x=・2*+8t+4；(4)x=2/t2-4/to给出这个匀变速直线运动在t=3s吋的速度和加速度，并说明该吋刻运动是加速的还是减速的。(x单位为m,t单位为s)解：匀变速在线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得(3)为匀变速直线运动。其速度和加速度表达式分别为一竺*+8dtt=3s时的速度和加速度分别为v=20m/s,«=4m/s2o因加速度为正所以是加速的。1.5在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零?(1)匀速直线运动；(2)匀速曲线运动；(3)变速直线运动；(4)变速曲线运动。解：(1)质点作匀速直线运动时，具切向加速度、法向加速度及加速度均为零；(1)质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；(2)质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；(3)质点作变速曲线运动吋，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。1.61Ar1与Zb”有无不同？dr和dr有无不同？dv和関drdrdr|dt|有无不同?其不同在哪里?试举例说明.B|J|Ar|=\r2-rj,=|引一同；解：(1)|Ar|是位移的模，△厂是位矢的模的增量,dr=Vdrdr(2)—是速度的模,dr即dsdt二只是速度在径向上的分最.dr\ndrdrAr•••有r=rr(式中产叫做单位矢)，则—=—r+r—dtdtdt式小’就是速度在径向上的分量，dt\n竺与’不同如题1.6图所示.dtdt⑶—表示加速度的模,At不是加速度。在切向上的分量.•••有v=vf（f表轨道节线方向单位矢），所以dvdvdf——=——r+v——drdrdt式中空就是加速度的切向分量.dtAA（V—与竺的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）drdt1.7设质点的运动方程为兀二兀（/）,y二y（f），在计算质点的速度和加速度时，有人先求出Qx~+y~,然后根据vdt晋而求得结利乂有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果,即你认为两种方法哪一•种正确？为什么？两者差别何在?解：后一种方法正确•因为速度与加速度都是矢量，在平而直角坐标系中，有r=xi+yj,_drdx-rdy/.V=—=—IH1drdrdr一d2rd2%^d2y.d==7"IT"Jdr2dr2d/2故它们的模即为\n而前-•种方法的错谋可能有两点，具一是概念上的错谋，即课把速度.加速度定义作\ndrd2rv=a=.drdr2其二，可能是将巴与二■误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明?不是速度的模，drdr2drd2r而只是速度在径向上的分量，同样，•也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量屮（1广i2/in\2的一部分r—。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢F在径向（即_d厂I曲丿」量值）方血随时间的变化率，而没有考虑位矢戸及速度0的方向随时间的变化率対速度、加速度的贡献。1.8一质点在兀Oy平而上运动，运动方程为1兀二3/+5,y=—t+3L4.2式中r以s计，小丿以皿计.（1）以时间f为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出21s时刻和t=2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算t=0s时刻到f=4s时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢最表示式，计算r=4s时质点的速度；⑸计算f=Os至Ijr=4s内质点的平均加速度；（6）求岀质点加速度矢量的表示式，计算/=4s时质点的加速度（诘把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成宜角坐标系中的矢量式）.解：（1）F二⑶+5）亍+（丄+3f_4）jm2（2）将/=1,t=2代入上式即有r{=8F-0.5Jm?;=1if+4jm△戸=庁一斤=37+4.5jm帀=5i-4j9r4=m+16)Ar4-0127+20$4=3i+5jm-s"1(1)v=—=3/+(r+3)ym•s_1dr则v4=3F+7jms-1⑸・・・%=3F+3j,v4=37+1j\n-Ava=——二△rV4-Vo4/-：_2=———=—=1jm-s44(6)-du--2a=——=1/m-sdr这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1.9质点沿兀轴运动，其加速度和位置的关系为a=2+6，，q的单位为m・s一彳，x的单位为m.质点在兀=0处，速度为10m-s'1,试求质点在任何坐标处的速度值.解：・・・dvdvdxdva=——==v——drdrdrck分离变量：avdv=adx=(2+6x)dx两边积分得—v2=2x+2x3+c2由题知，兀=0时"，v0■••=10,・°・c=50v=2a/^3+x+25m-s"11.10已知一质点作直线运动，其加速度为a=4+3rm•s'2,开始运动时，x=5m,v二0,求该质点在f=10s时的速度和位置.dvd74+3f分离变最，得dv=(4+3r)dr3积分，得v=4r+-r2+2山题知，f=0,v0=0,/.Cj=0故討乂因为dx32v=一=4/+—厂dr2分离变量，3dx=(4t+-t2)dt积分得r213x=2t+-r+c?2一由题知r=0,x0=5,Ac2=5\n故所以r=10s时“M+y+5=4xl0+-xl02=1902-im-sxio6山+”+51.11-质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为0二2+3厂，式屮&以弧度计，『以秒计，求：(1)r=2s时，质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少？\nW：A0co=—dr9凡0dcodr=18r(l)/=2s时,ar=R/3=1x18x2=36m-s~2an=Rco2=lx(9x22)2=1296ms-2(2)当加速度方向与半径成45°角时，冇tan45。=幺=1an即亦即则解得于是角位移为Rco2=Rp(9r2)2=18r32t=-92夕=2+3尸=2+3x—=2.67rad91r1.12质点沿半径为的圆周按s=vQt--ht2的规律运动，式中$为质点离圆周上某点的2弧长，心，b都是常量，求：(1)/时刻质点的加速度；(2)/为何值时，加速度在数值上等于b.ds解:(1)v=—=v0-btdr0\nV2_(Vp-^)2R~R仇-仞rR2加速度与半径的夹角为ci—Rbcp=arctan—=仇(v0-^)2(2)由题意应有b~=b2,=>(v0-bt)4=0・••当心牛时，"b1.13飞轮半径为0.4m,自静止启动，其角加速度为0二0.2rad・s-2,求r=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：当r=2s时，e==0.2x2=0.4rads'1则卩=Ro)=0.4x0.4=0.16m-s_1an=R(o2=0.4x(0.4)2=0.064m•s-2ar=R/3=0.4x0.2=0.08m-s~2a=Jo：+£=J(0.064)2+(0.08)2二0102m.s-21.14-船以速率v,=30km・h"沿肓线向东行驶，另一小艇在其前方以速率冬=40km・hH沿肓线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少？解：(1)大船看小艇，则有「21=02-亓，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)\n(b)题1.14图由图可知方向北偏西v21=Jv；+必=50km•h-10-arctan—=arctan—=36.87°V24(2)小艇看大船,则有可2=%依题意作出速度矢量图如题1・14图(b),同上法,得v12=50km-h1方向南偏东36.87°.