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第一章          质点运动学1.1参照系坐标系质点  机械运动是人们最熟悉的一种运动。一个物体相对于另一个物体的位置，或者一个物体的某些部分相对于其他部分的位置随着时间而变化的过程，叫做机械运动。一．   参照系自然界中一切物体都在运动中，要描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考。被选作参考物的物体叫做参照系。Ø 选择参照系的原则选择不同的参照系，同一物体的运动描述就会不同，为了从最简单的研究开始，选择的参照系应使物体的运动在该参照系中最简单。Ø 运动描述的相对性相对于不同参照系，，同一运动物体表现出的运动规律是不一样的。早在我国战国后期的名家公孙龙就已经注意到了这点，他提出了“飞鸟之影，未尝动也”的论辩。飞鸟的影子对地面其他物体来说是运动着的，但对飞鸟本身来说，如影随形这个影子就是不动的。 二．   坐标系为了从数量上确定物体相对于参照系的位置，需要在参照系上选用一个固定的坐标系。一般在参照系上选定一点作为坐标系的原点，取通过原点标有长度的线作为坐标轴。常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系等。Ø在同一参照系选用不同坐标系，同一运动物体表现出的运动规律是一样的。 三．质点任何物体都有一定的大小和形状。当物体作转动或物体有形变时，物体的大小和形状对运动的影响是重要的。但是，如果在我们所研究的问题中，物体的大小和形状不起作用，或者所起的作用并不显著而可以忽略不计时，我们就可以近似地把该物体看作是一个具有质量而没有大小和形状的理想物体，即质点。例如当研究地球的公转时，就可把它当作质点；而当研究地球的自转时，就必须考虑它的大小和形状。          30\nØ质点是经过科学抽象而形成的物理模型，把物体当作质点是有条件的、相对的。Ø质点模型在实践上和理论上的重要意义几百年来，人们对天体运动的研究证明，把天体看成质点能正确地解决许多问题。当我们所研究的运动物体不能视为质点时，可把整个物体看成是由许多质点所组成，弄清这些质点的运动，就可了解整个物体的运动。四．空间和时间人们关于时间和空间概念的形成，首先起源于对自己周围物质世界和物质运动的直觉。空间反映了物质的广延性，它的概念与物体的体积和物体位置的变化联系在一起。时间所反映的则是物理事件的顺序性和持续性，与物理事件的变化发展过程联系在一起。早在我国春秋战国时代，由墨翟创立的墨家学派就对空间和时间的概念给予了深刻而明确的阐释。《墨经》中说：“宇，弥异所也；久，弥异时也”。此处，“宇”即空间，“久”即时间。目前的时空范围：从宇宙的尺度1026m（约20亿光年）到微观粒子尺度10-15m，从宇宙的年龄1018s（约20亿年）到微观粒子的最短寿命10-24s。1.2质点运动的描述一．位置矢量运动方程为了表示质点在时刻t的位置P，我们从原点向此点引一有向线段OP，记作矢径。在直角坐标系中,我们可把写成矢径的方向余弦是在运动过程中，质点的矢径随时间变化，是时间t的函数，即上式称为质点的运动方程，式中x(t)、y(t)和z(t)是运动方程的分量式，从中消去时间t便是质点运动的轨道方程。二．位移30\n质点在一段时间内位置的改变叫做它在这段时间内的位移。设质点沿某轨道运动，在时刻t，质点在轨道的A处，在时刻t+△t，质点在轨道的B处，则必须注意，位移是矢量，既有大小又有方向，它表示质点位置的变化，并不是质点所经历的路程。只有在时间趋近于零时，才可以把和看作相等，即。一．速度当质点在时间内，完成了位移时，为了表示运动在一段时间内的快慢程度，我们把质点的位移和相应的时间的比值叫做质点在这段时间内的平均速度当时的平均速度所趋向的极限称为质点在时刻t的瞬时速度，简称速度通常把速度的值，即，或v称为速率。因此，速度是矢量，而速率是个标量，恒取正值。二．加速度30\n一般，运动质点的速度大小和方向都随时间而变化。设质点在期间，速度变化，则质点在这段时间内的平均加速度当时的平均加速度的极限称为质点在时刻t的瞬时加速度，简称加速度应当注意，的方向和它的极限方向一般不同于速度的方向，因此，加速度的方向一般与该时刻的速度方向不一致。例1．一质点的运动方程为，求质点的轨道方程。解：，在这两式中消去t，得轨道方程因此质点的轨道是一个以a与b为长、短半轴的椭圆。例2．在离水面高度为的岸边上，有人用绳子拉船靠岸，收绳的速率恒为，求船在离岸边的距离为时的速和加速度。解：由速度定义，得30\n1.3直线运动一．直线运动的运动方程当质点运动的轨道是一条直线时，质点的运动称直线运动。二．直线运动中的速度以速度v位纵轴，t位横轴，可画出速度时间曲线，图中与时刻间的曲线与轴所围的面积，就是在此时间间隔内质点的位移。三．直线运动中的加速度,四．匀变速直线运动30\n1.4圆周运动和抛物运动一．圆周运动的切向加速度和法向加速度圆周运动中，质点的速度是沿着轨迹的切向方向的。如图，若在A处圆的切向方向上取一单位矢量，则由加速度的定义由上图可见，的方向垂直于并指向圆心，所以它和的方向一致。因单位矢量的长度为1，所以即上式中第一项表示质点速度方向变化的快慢，称为切向加速度第二项表示质点速率变化的快慢，称为法向加速度二．圆周运动的角量描述1．角位置和角位移30\n设一质点以为圆心，R为半径做圆周运动。在时刻t，质点在A处，半径OA与x轴的夹角q，称为角位置。在时刻t+△t，质点位置在B处，半径OB与x轴夹角q+Dq，Dq称为质点在△t时间内的角位移。2．角速度角位移Dq与时间△t之比，叫做在△t这段时间内质点对O点的平均角速度当时的平均角速度的极限称为质点在时刻t对于点的瞬时角速度，简称角速度3．角加速度角速度的增量Dw与时间△t之比，叫做在△t这段时间内质点对O点的平均角加速度当时的平均角加速度的极限称为质点在时刻t对于点的瞬时角角速度，简称角加速度4．匀变速圆周运动的运动方程三．线量与角量之间的关系四．抛体运动速度位移轨道方程录象：圆周运动例3．一质点从静止出发沿半径为的圆周运动，切向加速度为。求：(1).经过多少时间它的总加速度恰好与半径成角；(2).在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？解：(1).当与半径成角时30\n(2).1.5相对运动运动描述的相对性，指出同一物体的运动，在不同参照系中有不同的描述，但在这种不同的描述之间存在着确定的变换关系。设有参照系和，相对于有一匀速，开始时，系和系重合。在时刻，考察质点，由图可知对上式求时间的一阶导数，有质点相对于系的速度等于质点相对于系的速度与系相对于系速度的矢量和。例4.汽车停止时，侧窗上雨点轨迹向前倾斜角。汽车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨点轨迹向后倾斜角，汽车加速以另一速度匀速前进时侧窗上雨点轨迹向后倾斜角，求汽车加速前后速度之比。解：雨点是研究对象，设地球为参考系，汽车为参照系。雨点相对于地球的速度为，雨点相对于汽车的速度为，汽车相对于地球的速度为，则30\n由图知第二章质点动力学2.1牛顿定律牛顿运动定律是经典力学的基础。虽然牛顿运动定律一般是对质点而言的，但这并不限制定律的广泛适用性，因为复杂的物体在原则上可看作质点的组合。一．牛顿第一定律1．牛顿第一定律任何物体都保持静止的或沿一直线做匀速运动的状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止，这就是牛顿第一定律。第一定律表明，任何物体都具有保持其原有运动状态不变的特性，这个特性就是惯性。惯性反映了改变物体运动状态的难易程度。第一定律还说明，其他物体的作用是物体改变运动状态的原因。这种使物体运动状态改变的相互作用，就是力。早在我国春秋末期《墨经》中写着：“力，形之所以奋也”。这句话指出力使物体（形）由静而动（奋）的原因。2．惯性系如果在某个参照系中一个不受力的物体保持静止或匀速直线运动，这个参照系就称为惯性参照系，简称惯性系。一般地说，凡是对一个惯性系做匀速直线运动的一切物体都是惯性系。对一般力学现象来说，地面参照系是一个足够精确的惯性系。二．牛顿第二定律30\n运动的改变与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。定律中叙述的“运动”是指物体的质量m与其运动速度的乘积叫做物体的动量。动量是一个矢量，其方向与速度方向相同。与速度可表示物体运动状态一样，动量也是表示物体运动状态的量。当外力作用于物体时，其动量发生改变，牛顿第二定律阐明了作用于物体的外力与物体动量变化的关系。对运动速度与光速相比为很小的物体来说，它的质量是一个与其运动速度无关的常量。因此即，物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度的方向与外力的方向相同，这就是中学时所熟悉的牛顿第二定律的叙述。根据上式比较物体的质量。用同样的外力作用在两个质量分别是m1和m2的物体上，以a1和a2分别表示它们由此产生的加速度的数值，则即在相同的外力的作用下，物体的质量和加速度成反比，质量大的物体产生的加速度小。这意味着质量大的物体抵抗运动变化的性质强，也就是它的惯性大。因此可以说，质量是物体惯性大小的量度。我们把出现在牛顿第二定律中的质量叫做惯性质量。三．牛顿第三定律两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等而方向相反。或者说，当物体A以力作用在物体B上时，物体B必定同时以力作用在物体A上，和在一条直线上，大小相等而方向相反。即第三定律表明，作用力与反作用力是同时出现、同时消失、分别作用在两个物体上的属于同种性质的力。第三定律表明，系统的内力之和总是为零，所以内力对系统的整体运动不发生影响。早在我国东汉时期，王充就在《论衡》中指出：“古之多力者，身能负荷千钧，手能决角伸钩，使之自举，不能离地”。这自举之力就是人体的内力，它无法把人体举起来。例1．一质点质量为m，在力的作用下沿一直线运动。已知在时刻时，，。求质点在任意时刻的速度和位置表达式。解：根据牛顿第二定律有因为，所以对上式积分，并应用时，，可得由于，因此30\n对上式积分，并应用时，，可得例2．球形物体在空气中的阻力与其速度成正比，求球形物体在空气中下落过程中的速度。解：如图建立坐标系，取物体开始下落时的位置为原点。根据题意，物体在下落过程受的阻力为，b为比例系数。根据牛顿第二定律有上式可改写成对此式积分，并应用初始条件，可得当时，速度收敛于，称为收尾速度。例3．有一长为L,质量为M的均匀分布的铁链成直线状放在光滑的水平桌面上.链子的一端有极小的一段被推出桌子边缘,在重力作用下从静止开始下落,求:(1).链条刚离开桌面时的速度?(2).若链条与桌面间有摩擦,并设摩擦系数为u,问链条必须下垂多长才能开始下滑.30\n解：(1).设在t时刻，桌上和桌下铁链的受力情况如图所示由牛顿第二定律,得AB段:BC段:两边同乘以dx,得(2).设当下垂长度为x时,链条开始下滑由牛顿第二定律,得30\nAB段:BC段:，要使链条开始下滑,则2.2几种常见力和基本力在日常生活和工程技术中经常遇到一些力，有重力、弹力和摩擦力等。为此，在下面我们就介绍一些常见力和基本力。一．重力地球表面附近的物体都受到地球的吸引作用，这种因地球的吸引而使物体受到的力叫做重力。在重力作用下，任何物体产生的加速度都是重力加速度g。重力的方向和重力加速度的方向相同，都是竖直向下。当地球内部某处存在大型矿藏，会破坏地球质量的对称分布，从而使该处的重力加速度值表现出异常，因此可通过重力加速度的测定来探矿。这种方法叫做重力探矿法。二．弹性力当两个物体相互接触而相互挤压时，它们要发生形变。发生形变的物体，由于要恢复原状，物体间会有作用力产生。这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性力。常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被拉紧时所产生的拉力；重物放在支承面上产生的压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）等。弹簧的弹性力在弹性限度内，其大小和形变成正比。30\n这就是胡克定律。一．摩擦力两个相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或者有相对运动的趋势时，在接触面之间产生一对阻止相对运动的力，叫做摩擦力。若相互接触的两个物体在外力作用下，虽有相对运动的趋势，但并不产生相对运动，这时的摩擦力叫做静摩擦力。一般静摩擦力与外力大小相等，方向相反。物体相对平面即将滑动时，静摩擦力达到最大值。当物体在平面上滑动时，物体受到的摩擦力叫做滑动摩擦力。二．万有引力存在于任何两个物体之间的吸引力，叫做万有引力。重力是由地球对它表面附近的物体的引力引起的，忽略地球自转的影响，物体所手的重力就等于它所受的万有引力。三．电磁力存在于静电荷之间的电性力以及存在于运动电荷之间的电性力和磁性力，总称为电磁力。电磁力和万有引力一样都是长程力，但与万有引力不同，它既由表现为引力也有表现为斥力。四．强力亚微观领域中，在核子、介子和超子之间存在一种强力，这种力把原子内的一些质子以及中子紧紧地束缚在一起，形成原子核。强力是一种短程力，其作用范围很短。粒子之间距离超过10-15m时，强力小的可以忽略；小于10-15m时，强力占主要支配地位；而距离缩小到大约0.4×10-15m时，它都表现为引力；距离再减小，强力就表现为斥力。五．弱力在亚微观领域中，人们还发现一种短程力，叫做弱力。弱力在导致b衰变放出电子和中微子时，显示出它的重要性。两个相邻质子之间的弱力只有10-2N左右。2.3动量定理一．质点的动量定理由牛顿第二定律，得。上式积分为左侧积分表示外力在这段时间内的累积值，叫做力的冲量，记做30\n即上式说明，物体在运动过程中所受合外力的冲量，等于该物体动量的增量。这个结论称做动量定理。动量定理在研究冲击和碰撞等问题时特别有用。两物体在碰撞的瞬时的相互作用力称为冲击力。冲击力是个变力，在冲击过程中，它的变化比较复杂，但由于作用时间很短，常用平均冲击力来反映冲击过程中的相互作用情况。录象：冲击力。二．质点系的动量定理如图，两个质点1和2组成系统，两质点的质量分别为m1和m2。设作用在质点上的外力分别为和，而两个质点间的相互作用内力分别为和。根据质点的动量定理，有两式相加，并考虑牛顿第三定律，得将上述结论推广到n个质点组成的系统30\n上式表明，作用于系统的合外力的冲量等于系统总动量的增量。这就是质点系的动量定理。质点系的动量定理说明，只有外力才对系统总动量的变化有贡献，而系统的内力不能改变整个系统的总动量。录象：动量定理的应用。2.4动量守恒定律一．动量守恒定律在动量定理中，当系统所受的合外力时，系统的总动量的增量也为零。这时系统的总动量保持不变，即这就是动量守恒定律：当系统所受的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。二．应用动量守恒定律时的几个注意点1．在动量守恒定律中，各物体的动量必须是相对于同一惯性参考系；2．系统的动量守恒的条件是系统所受的合外力必须为零。然而，有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力相比较，外力远小于内力，这时可以略去外力对系统的作用，认为系统的动量是守恒的。像碰撞、打击、爆炸等这类问题，一般都可以这样来处理；3．如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，此时，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的；4．动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。动量守恒定律虽然是从表述宏观物体运动规律的牛顿运动定律导出的，但近代的科学实验和理论分析都表明:在自然界中，大到天体间的相互作用，小到质子、中子、电子等微观粒子间的相互作用都遵守动量守恒定律;而在原子、原子核等微观领域中，牛顿运动定律却是不适用的。因此，动量守恒定律比牛顿运动定律更加基本，它与能量守恒定律一样，是自然界中最普遍、最基本的定律之一。录象：动量守恒例4.一质量为M的板车在光滑的水平面上,车长L,车上一质量为m的人从车右端走到车左端,求对于地面,人,车分别前进了多少?30\n解：设人在车上走时对地的速度为v1，车对地速度为v2。对车、人系统，由动量守恒定律，得人相对于车的速度为设人从车右端走到左端的时间为T，则人相对于地面前进的距离为车相对于地面前进的距离为2.4动量守恒定律一．动量守恒定律在动量定理中，当系统所受的合外力时，系统的总动量的增量也为零。这时系统的总动量保持不变，即30\n这就是动量守恒定律：当系统所受的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。二．应用动量守恒定律时的几个注意点1．在动量守恒定律中，各物体的动量必须是相对于同一惯性参考系；2．系统的动量守恒的条件是系统所受的合外力必须为零。然而，有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力相比较，外力远小于内力，这时可以略去外力对系统的作用，认为系统的动量是守恒的。像碰撞、打击、爆炸等这类问题，一般都可以这样来处理；3．如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，此时，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的；4．动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。动量守恒定律虽然是从表述宏观物体运动规律的牛顿运动定律导出的，但近代的科学实验和理论分析都表明:在自然界中，大到天体间的相互作用，小到质子、中子、电子等微观粒子间的相互作用都遵守动量守恒定律;而在原子、原子核等微观领域中，牛顿运动定律却是不适用的。因此，动量守恒定律比牛顿运动定律更加基本，它与能量守恒定律一样，是自然界中最普遍、最基本的定律之一。录象：动量守恒例4.一质量为M的板车在光滑的水平面上,车长L,车上一质量为m的人从车右端走到车左端,求对于地面,人,车分别前进了多少?解：设人在车上走时对地的速度为v1，车对地速度为v2。对车、人系统，由动量守恒定律，得人相对于车的速度为设人从车右端走到左端的时间为T，则人相对于地面前进的距离为30\n车相对于地面前进的距离为2.5力学单位制量纲一．力学单位制物理学中的物理量，通常包括数值和单位两个部分。由于物理量之间存在着规律性的联系，我们可以选取一些物理量作为基本量，并对每个基本量规定一个基本单位，其他物理量的单位可以按照它们与基本量的关系推导出来，这些物理量称导出单位。力学中，选取长度、质量和时间作为基本量，规定米（m）、千克（kg）和秒（s）作为基本单位，其他力学量的单位就可以由这三个基本单位推导出。二．量纲在SI制中，力学的物理量都可写成以下形式的关系式这个关系式就叫做量纲式，式中的指数p，q，r称为Q的量纲。2.6非惯性系惯性力一．非惯性系如果在某个参照系中一个不受力的物体或处于受力平衡状态下的物体，将保持静止或匀速直线运动的状态不变，这个参照系就称为惯性系。一般地说，凡是对一个惯性系做匀速直线运动的一切物体都是惯性系。而相对于惯性系做加速运动的物体，就是非惯性系。牛顿定律对非惯性系是不成立的。二．惯性力30\n在非惯性系中，牛顿运动定律是不适用的。但在实际问题中，往往需要在非惯性系中观察和处理物体的运动。这时，我们要引入惯性力的概念，以便在形式上利用牛顿定律去分析问题。惯性力是个虚拟的力，它是在非惯性系中来自参照系本身加速效应的力。和真实力不同，惯性力找不到相应的施力物体。它的大小等于物体的质量m和非惯性系加速度的乘积，但方向和相反。在非惯性系中，如物体受的真实力为，另外加上惯性力，则物体对于此非惯性系的加速度就可在形式上和牛顿定律一样。录象：惯性力1，惯性力2第三章机械能守恒3.1功功率一．功考虑一质点在力作用下，沿如图所示的路径AB运动。在质点发生位移的过程中，力对质点所做的功被定义为用表示的大小，表示与的夹角，则对上两式积分，可以得到质点从位置A到位置B力做的功或应当注意，功是标量，它没有方向，但有正负。当时，功为正值，即力对质点做正功；当时，功的值为零，即力对质点不做功；当时，功为负值，即力对质点做负功，或者说质点在运动中克服力做功。功也常用图示法来算30\n图中，力所做的功就是整个曲线下的面积。二．功率力在单位时间内所做的功称为功率。如果在时间内做功，则在这段时间内的平均功率为当时的平均功率所趋向的极限称为某时刻t的瞬时功率，简称功率通过功率可以求得力在时间内做得功例1．一质量为m的小球,通过轻质细绳悬挂在天花板上,将小球沿圆弧从O点运动到A点,细绳与竖直方向夹角为q0.求在此过程中重力作的功?已知绳长为l.解：如图建立坐标系，则30\n例2.力F=6t，作用在一质量为2kg的物体上，物体从静止开始运动。试求此作用力的瞬时功率及前2s内作的功？解：物体的加速度大小为因为，所以F的瞬时功率为因此，F在开始2s内作的功为3.2动能质点动能定理如图，一质量为m的质点在合外力作用下，从A点沿曲线运动到B点，质点在起点A和终点B的速度分别为和，则由功的定义式可得，合外力在这过程中所做的功为根据牛顿第二定律，有故可得代入上式，式中叫做质点的动能，用表示，即30\n式（3-5a）可写成上式说明，作用在质点上的合外力做的功等于质点动能的增量，这一结论称为质点的动能定理。应当注意动能和功的单位是一样的，但是意义不同。功反映力的空间累积，其大小取决于过程，是个过程量；动能表示物体的运动状态，是个状态量。由于位移和速度的相对性，功和动能也都有相对性，它们的大小都依赖于参照系的选择。但是动能定理的形式与参照系的选择无关。3.3势能保守力一．重力﹑弹力和万有引力作功的特点1．重力作功如图，设有一质量为m的质点，在重力G的作用下，沿任意形状的路径从位置A运动到位置B。在这过程中，重力做的功为在直角坐标系中因此，重力做的功为把物体的高度用h表示，则上式表明，重力做的功与路径形状无关，只与路径的始末位置有关。2．弹性力作功30\n如图，设一质量为m的质点受弹簧的弹力作用，从x0处运动到x处。在这过程中，弹力做的功为上式表明弹力作功，只与质点的始末位置有关。3．万有引力作功质量为m的质点P在质量为M的质点Q（固定不动）的引力场中运动。取Q所在处为坐标原点O，P点的位置用矢径表示。当质点P沿任一曲线从A点运动B点过程中，引力做的功为上式表明，万有引力做的功，只与运动物体的始末位置有关，与所经历的路径形状无关。二．保守力重力做的功﹑弹簧弹力做的功和万有引力做的功。都只与始末两点的位置有关，与质点运动的路径形状无关。具有这种性质的力，称为保守力。如果质点运动的路径是一闭合回路，则始末位置相同，保守力做的功为零。即因此，保守力也可以定义为沿任意闭合回路做的功为零的力，否则就是非保守力。三．势能1．势能由于保守力做的功与路径的形状无关，只与始末位置有关，因此，可以引入势能的概念。我们把与物体位置有关的能量称为物体的势能，用表示。重力势能30\n弹性势能引力势能相应的保守力做的功可写成即保守力对物体做的功，等于物体势能增量的负值。2．引力势能与重力势能的关系物体在地球表面的引力势能为物体在地球表面上方h高度的引力势能为以上两式之差为物体相对于地球表面的重力势能当R>>h时式中。3.4机械能守恒定律一．功能原理设一系统内有n个质点，则根据质点的动能定理，有…………以上各式相加30\n上式表明，作用于系统内各质点上所有的力做的功等于系统的动能增量。对作用在系统内质点上的力来说，有来自系统外的力和系统内各质点间相互作用的内力，而系统内力又可以分成保守内力和非保守内力两种，因此由于保守内力做功等于系统势能增量的负值所以在力学中，动能和势能统称为机械能，即上式表明系统机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和，这就是系统的功能原理。二．机械能守恒定律从功能原理定理中可以看出，如果外力和非保守内力都不做功，或所做的总功为零，或者根本没有外力和非保守内力的作用，或者只有保守内力作功，则亦即系统的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。例3．如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，，另一端系一质量为m的小球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于点A，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径R；当小球运动到圆环的底端点B时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解：取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力，小球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和点P对弹簧的拉力虽都为外力，但都不作功。所以，小球从A运动到B的过程中，系统的机械能是不变量，机械能应守恒。因小球在点A时弹簧为自然状态，故取点A的弹性势能为零；另取点B30\n时小球的重力势能为零。那么，由机械能守恒定律可得其中是小球在点的速率。又小球在点时的牛顿第二定律方程为解上两式，得弹簧的劲度系数为例4．质量为mA的物体A由高度为h处自由下落，与一质量为mB的物体B作完全非弹性碰撞。物体B由一倔强系数为k的轻弹簧和地面上另一质量为mC的物体C联接着。现要使物体A与B碰撞从而压缩弹簧后又反弹时，恰好能将下端的物体C提离地面，试问物体A自由下落的高度为多少?解：设O点为弹簧的自然长度的上端，x0为B物静止时的弹簧压缩的长度，a为mA与mB反弹后恰能提起C时的弹簧伸长的长度，则A物自由下落末速度为A与B碰撞过程中动量守恒，则取A、B、C物体、弹簧和地球为一系统。由于物体与地球间的重力，物体与弹簧间的作用力均为保守内力。所以，碰撞结束后的运动过程中，机械能不变。取O为弹性零势能面，B位置为重力零势能面。则由机械能守恒定律，可得联立以上几式，得30\n3.5碰撞当两个物体发生碰撞时，由于碰撞中相互作用的时间极短，外力的影响可以忽略，因此碰撞系统的总动量守恒。如果碰撞中物体的动能完全没有损失，这种碰撞称为弹性碰撞，否则就称为非弹性碰撞；如果碰撞后两物体以相同速度运动，即合为一体，这种碰撞称为完全非弹性碰撞。下面以两球碰撞为例进行讨论。如果两球在碰撞前后速度都在两球心的连线上，这种碰撞称为对心碰撞或正碰。在对心碰撞中，动量守恒可用标量形式表示。一．弹性碰撞弹性碰撞中，碰撞前后两球的动能之和不变，即由上两式可解得两球碰撞后的速度由此可得即对心弹性碰撞中，两球碰撞后相互分离的速度等于碰撞前相互趋近的速度。Ø两种特例(1).设两球质量相等，则即质量相等的两球在对心弹性碰撞中，彼此交换速度。如果弹性碰撞中，被撞小球是静止的，则当运动的小球于它相撞时，运动的小球就停下来，并把速度传递给它。在原子核反应堆中，常用石墨或重水作为中子的减速剂，就是考虑到中子和这些轻原子核碰撞时易于减速的缘故。(2).，且质量为m2的物体在碰撞前静止不动，则即质量极大且静止的物体，经碰撞后几乎仍静止不动；质量极小的物体，在碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变。皮球和地面的碰撞就是这种情况。二．完全非弹性碰撞两球发生完全非弹性碰撞后，两球合为一体，速度相同，即30\n由上式可解得两球碰撞后的速度两球在碰撞前的动能为在碰撞后的动能为碰撞过程中动能的损失为三．非弹性碰撞一般的碰撞，既不是弹性的，又不是完全非弹性的，碰撞后两球具有不同的速度，但系统的动能不再守恒。牛顿从各种碰撞实验结果中总结出一个碰撞定律：碰撞后两球的分离速度，与碰撞前两球的接近速度成正比，比值由两球的材料性质决定，即通常把e叫做恢复系数。可以看出，在弹性碰撞中，e=1；在完全非弹性碰撞中，e=0；一般的非弹性碰撞，0