大学物理下 课后答案 48页

第13章静电场中的导体和电介质13.1一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得E4πr2=q/ε0，可得P点的电场强度为．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为．13.2同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r\n的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？DS1S2S0rR2R1εrl[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即Φd=q=λl．设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，可得电位移为D=λ/2πr，其方向垂直中心轴向外．电场强度为E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr，方向也垂直中心轴向外．qobar图13.313.3金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为\n13.4三块平行金属板A、B和C，面积都是S=100cm2，A、B相距d1=2mm，A、C相距d2=4mm，B、C接地，A板带有正电荷q=3×10-8C，忽略边缘效应．求qABC图13.4（1）B、C板上的电荷为多少？（2）A板电势为多少？[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1=σ1S和q2=σ2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S．①A、B间的场强为E1=σ1/ε0，A、C间的场强为E2=σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU=E1d1=E2d2，②即σ1d1=σ2d2．③解联立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2)，所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C)；q2=q-q1=1×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为\nqB=-q1=-2×10-8(C)；qC=-q2=-1×10-8(C)．(2)两板电势差为ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k=9×109=1/4πε0，所以ε0=10-9/36π，因此ΔU=144π=452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以UA=ΔU=452.4(V)．Pq1q2ABq图13.5513.5一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1+q2=0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S，它们产生的场强大小分别为E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0．在B板内部任取一点P\n，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1-E2–E=0，即　σ1-σ2–σ=0，或者说　q1-q2+q=0．②解得电量分别为q2=q/2，q1=-q2=-q/2．σ2σ1σ4σ3图13.613.6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1=0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4=0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2=-σ3．两板之间的场强为E=σ3/ε0，而　E=U/d，所以面电荷密度分别为σ3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m-2)，σ2=-σ3=-8.84×10-7(C·m-2)．\n13.7一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）oR2R1R3[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2=4πε0R2．并联电容为．方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为，因此感应电荷为\n．根据高斯定理可得两球壳之间的场强为，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为球面间的电容为．oR2R1εr图13.813.8球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？[解答]球形电容器的电容为．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：．当电容器中充满介质时，电容为：\n．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：．13.9设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．d2ε1ε2d1图13.9[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2．总电容的倒数为，总电容为．13.10圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？\nDS1S2S0rR2R1εl[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，高斯面包围的自由电荷为q=λl，根据介质中的高斯定理Φd=q，可得电位为D=λ/2πr，方向垂直中心轴向外．电场强度为E=D/ε=λ/2πεr，方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为．电容为．在真空时的电容为，所以倍数为C/C0=ε/ε0．\n13.11在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为q=Q0，根据介质中的高斯定理Φd=q，可得电位为D=Q0/4πr2，方向沿着径向．用矢量表示为D=Q0r/4πr3．电场强度为E=D/ε0εr=Q0r/4πε0εrr3，方向沿着径向．由于　　D=ε0E+P，所以P=D-ε0E=．在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr=1的介质处理，所以D=Q0r/4πr3，E=Q0r/4πε0r3，P=0．（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为\nE0=Q0r/4πε0r3；极化电荷q1`产生的场强为E`=q1`r/4πε0r3；总场强为E=Q0r/4πε0εrr3．由于E=E0+E`，解得极化电荷为，介质层内表面的极化电荷面密度为．在介质层外表面，极化电荷为，面密度为．13.12两个电容器电容之比C1:C2=1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W=Q2/2C，得静电能之比为W1:W2=C2:C1=2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W=CU2/2，得静电能之比为\nW1:W2=C1:C2=1:2．13.13一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为C=ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C1=ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2=ε0εrS/2d．两个电容器并联，总电容为C=C1+C2=(1+εr)ε0S/2d，静电能为W=CU2/2=(1+εr)ε0SU2/4d．13.14一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C=(1+εr)ε0S/2d．\n（2）电容器充电前的电容为C0=ε0S/d，充电后所带电量为Q=C0U．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W=Q2/2C=C02U2/2C=ε0SU2/(1+εr)d．（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C1=ε0S/2d；介质中的一半的电容为C2=ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则Q1+Q2=Q．①由于C=Q/U，所以U=Q1/C1=Q2/C2．②解联立方程得，真空中一半电容器的自由电荷面密度为．同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为．13.15平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr\n=5)．将电容器与300V的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为C0=ε0εrS/d，静电能为W0=C0U2/2．玻璃板抽出之后的电容为C=ε0S/d．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为W=CU2/2，电能器能量变化为ΔW=W-W0=(C-C0)U2/2=(1-εr)ε0SU2/2d=-3.18×10-5(J)．（2）充电后所带电量为Q=C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W=Q2/2C，电能器能量变化为=1.59×10-4(J)．13.16设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b\n．试证明电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为E=λ/2πε0r，能量密度为w=ε0E2/2，体积元为dV=2πrldr，能量元为dW=wdV．在半径a到R的圆柱体储存的能量为．当R=b时，能量为；当时，能量为，所以W2=W1/2，即电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．13.17两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：（1）在半径为r(aR2)．（2）在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l=1、宽为dr的矩形，其面积为dS=ldr=dr，方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为dΦ=BdS=Bdr，总磁通量为．\n14.18一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b=R–a，导体截有均匀分布的电流I．baRO1O`1图14.18（1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值；（2）若要获得与载流为I，单位长度匝数n的长螺线管内部磁场相等的均匀磁场，a应满足什么条件？（1）[证明]导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为．baRO1O`1rr`BrBBr`θφP长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为δ，这样，长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的．如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为S=πr2，包围的电流为ΣI=δS=πr2δ，根据安培环路定理可得方程2πrBr=μ0ΣI，磁感应强度为，\n方向与矢径r垂直．同理，密度为-δ的电流在P点产生的磁感应强度为，方向与矢径r`垂直．设两个磁感应强度之间的夹角为θ，则合场强的平方为．根据余弦定理，如图可知：，由于φ=π-θ，所以，由于b和δ都是常量，可见：长孔中是均匀磁场．将δ和b代入公式得磁感应强度大小为，可以证明磁场的方向向上．（2）[解答]长螺线管内部的场为B=μ0nI，与上式联立得，这就是a所满足的条件．\n[注意]此题中的长孔中的磁场与习题13．10．中空腔中的电场情况非常类似．dcθbIaXRo1αBY图14.1914.19在XOY平面内有一载流线圈abcda，通有电流I=20A，半径R=20cm，电流方向如图所示．线圈处于磁感应强度B=8.0×10-2T的均强磁场中，B沿着X轴正方向．求：直线段ab和cd以及圆弧段和在外磁场中所受安培力的大小和方向．[解答]根据右手螺旋法则，弧和cd边受力方向垂直纸面向外，弧和ab边受力方向垂直纸面向里．由于对称的关系，ab边和cd边所受安培力的大小是相同的，弧和弧所受安培力的大小也是相同的．ab边与磁场方向的夹角是α=45°，长度为l=R/sinα，所受安培力为Fab=|Il×B|=IlBsinα=IRB=0.32(N)=Fcd．在圆弧上取一电流元Idl，其矢径R与X轴方向的夹角为θ，所受力的大小为dFbc=|Idl×B|=IdlBsinθ，由于线元为dl=Rdθ，所以dFbc=IRBsinθdθ，因此安培力为\n=IRB=0.32(N)=Fda．14.20载有电流I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载有电流I2，一边与直导线平等且与直导线相距为b，直导线与线圈共面，如图所示，求I1作用在这三角形线圈上的力．CI2ybAxao1αBI1图14.20[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，在AB边处产生的磁感应强度大小为B=μ0I1/2πb，作用力大小为FAB=I2aB=μ0I1I2a/2πb，方向向左．三角形的三个内角α=60°，在AC边上的电流元I2dl所受磁场力为dF=I2dlB，两个分量分别为dFx=dFcosα和dFy=dFsinα，与BC边相比，两个x分量大小相等，方向相同；两个y分量大小相等，方向相反．由于dl=dr/sinα，所以dFx=I2drBcotα，积分得\n．作用在三角形线圈上的力的大小为F=FAB–2Fx，方向向左．θrI1oRI2图14.2114.21载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．电流元所受的力的大小为dF=I2dlB，其中dl=Rdθ，B=μ0I1/2πr，而r=Rcosθ，所以向右的分别为\ndFx=dFcosθ=μ0I1I2dθ/2π，积分得，电流I2所受的合力大小为F=4Fx=μ0I1I2，方向向右．θBθoG图14.2214.22如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量m=0.5kg，半径为R，长为l=0.10m，圆柱上绕有10匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内．斜面倾角为θ，处于均匀磁场B=0.5T中，B的方向竖直向上．如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？[解答]线圈面积为S=2Rl，磁矩大小为pm=NIS，方向与B成θ角，所以磁力矩大小为Mm=|pm×B|=pmBsinθ=NI2RlBsinθ，方向垂直纸面向外．重力大小为G=mg，力臂为L=Rsinθ，重力矩为Mg=GL=mgRsinθ，方向垂直纸面向里．\n圆柱不滚动时，两力矩平衡，即NI2RlBsinθ=mgRsinθ，解得电流强度为I=mg/2NlB=5(A)．BAbωoa图14.2314.23均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：（1）O点的磁感应强度B；（2）磁矩pm；（3）若a>>b，求B0与pm．[解答]（1）直线转动的周期为T=2π/ω，在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为dq=λdr，形成的圆电流元为dI=dq/T=ωλdr/2π，在圆心O点产生的磁感应强度为dB=μ0dI/2r=μ0ωλdr/4πr，整个直线在O点产生磁感应强度为，如果λ>0，B的方向垂直纸面向外．（2）圆电流元包含的面积为S=πr2，形成的磁矩为dpm=SdI=ωλr2dr/2，\n积分得．如果λ>0，pm的方向垂直纸面向外．（3）当a>>b时，因为，所以．．14.24一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．[解答]（1）线圈半径为R=0.04m，面积为S=πR2，磁矩为pm=NIS=πR2NI，磁力矩为M=pmBsinθ．当θ=π/2时，磁力矩最大Mm=pmB=πR2NIB=0.18(N·m)．（2）由于M=Mmsinθ，当M=Mm/2时，可得\nsinθ=0.5，θ=30°或150°．I2ROI1图14.2514.25在半径为R，通以电流I2的圆电流的圆周上，有一无限长通以电流I1的直导线（I1，I2相互绝缘，且I1与圆电流I2所在平面垂直），如图所示，求I2所受的力矩．若I1置于圆电流圆心处（仍垂直），I2所受力矩又如何？I2ROI1BI2dlxθφφr[解答]在x轴上方的圆周上取一电流元I2dl，其大小为I2dl=I2Rdθ，所受的安培力为dF=I2dl×B，其大小为dF=|I2dl×B|=I2RdθBsinφ，其中φ=θ/2，B是电流I1在电流元I2dl处产生的磁感应强度，因此安培力的大小可化为，力的方向垂直纸面向里．如果在x轴下方取一电流元，其受力方向垂直纸面向外，因此，圆周所受的安培力使其绕x轴旋转．电流元所受的力矩为\n电流所受的力矩为I2ROI1B．如果电流I1置于圆电流圆心处，那么I2就与I1产生的磁力线重合，所受的力为零，力矩也为零．Rh图14.2614.26一个电子在B=20×10-4T的磁场中，沿半径R=2cm的螺旋线运动，螺距h=5cm，如图所示，求：（1）电子的速度为多少？（2）B的方向如何？[解答]电子带负电，设速度v的方向与磁力线的负方向成θ角，则沿着磁力线方向的速度为v1=vcosθ，垂直速度为v2=vsinθ．由R=mv2/eB，得v2=eBR/m．由h=v1T，得v1=h/T=heB/2πm，因此速度为\n=7.75×106(m·s-1)；由=2.51，得θ=68.3°=68°18′．图14.27YXy1oBIZz114.27一银质条带，z1=2cm，y1=1mm．银条置于Y方向的均匀磁场中B=1.5T，如图所示．设电流强度I=200A，自由电子数n=7.4×1028个·m-3，试求：（1）电子的漂移速度；（2）霍尔电压为多少？[解答]（1）电流密度为δ=ρv，其中电荷的体密度为ρ=ne.电流通过的横截面为S=y1z1，电流强度为I=δS=neSv，得电子的漂移速度为=8.45×10-4(m·s-1)．（2）霍尔系数为=8.44×10-11(m3·C-1)，霍尔电压为\n=2.53×10-5(V)