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数学、哲学与数学哲学苏华山东大学经济学院250014脱秋菊山东财经大学数学与数量经济学院250002摘要木文探讨了数学和哲学之间的关系，数学对哲学的影响，以及当代数学哲学发展的困境，并指出了数学哲学发展的新途径。关键词数学哲学数学哲学一、早期的数学家为什么都是哲学家？在古希腊，哲学家都格外重视数学。最早的唯物主义哲学家泰勒斯，提出了原子唯物论的德谟克利特，最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都曾到埃及学习几何。毕达哥拉斯学派认为世界的木源是数：“万物皆数”，虽然这个看法现在看来可笑，但毕达哥拉斯学派是第一次抽象的处理数学概念的人，使得数学理论从大地测量、计算等活动中抽象出来，他们在研究中发现了毕达哥拉斯（九章算术称勾股定理）定理，发现了不能表示为分数的数的无理性。虽然这个发现令他们恐慌不己。比毕达哥拉斯学派更广为人知的是柏拉图学院，该院学生以亚里士多德最为出名。这些学生大多是那个时代最出名的数学家、哲学家和天文学家。他们的研究偏重纯数学，忽视应用，但是他们的研究极大地丰富了各种知识体系。后来这许多学派和个人的工作，被欧几里得总结在《几何原木》中，在《几何原木》中，欧几里得从几条公理出发，演绎了500多条希腊大师的定理、结论。欧几里得的《几何原木》，给哲学家们提供了一条认识真理的方法：从少数几条公理的前提出发，用逻辑推理的方法证明结论。这一思想对哲学家们产生了重要影响。唯理论的两位大家-----笛卡尔和莱布尼茨正是两位数学大家。勒奈·笛卡尔（1596〜1650），伟大的哲学家、物理学家、数学家。解析几何的创始人。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”1628年，他从巴黎\n移居荷兰，开始了长达20年的潜心研究和写作生涯，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。1634年写了《论世界》，书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的看法。1641年出版了《行而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等。1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系,使几何曲线与代数方程相结合。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，冇了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了”。笛卡尔的这些成就，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。莱布尼茨，德国著名的数学家、哲学家、科学家，微积分的创始人之一，并发明了优越的微积分符号，一直沿用到今。莱布尼茨的哲学体系是“单子论”，它认为单子是构成万事万物的基础，世界是由单子构成的一个预定和谐体系。他的学说，极人地影响了德国哲学的发展，尤其是影响了康德的哲学思想。他开创的德国自然哲学经过沃尔夫、康德、歌德到黑格尔得到了长足的发展。著名的哲学家罗素、布劳威尔等也都研究数学，而著名的数学家希尔扪特也研究哲学，这样的例子无法一一列举。这些著名的学者都同吋精通数学和哲学，一方面原因是因为早期的学科分类没有像今天这样分得如此详细，那吋哲学家将整个世界作为研究对象，另一方面也说明，数学和哲学有着不可分割的内在联系。“没有数学我们无法看穿哲学的深度，没有哲学，人们也无法看穿数学的深度，而没有这两者，人们就什么也看不透。”德莫林思(B.Demofhns)这句格言深刻地表明了数学与哲学的深厚关系。在我们看来它至少包含三层意思：“一是认识数学必须依靠哲学的沉思，而认识哲学也必须依靠数学的分析；二是哲学走向纵深离不开数学的滋养，数学走向纵深离不开哲学的关怀；三是哲学和数学是人们看透一切事物所不可缺少的左眼和右眼。”自从有哲学以来，数学就成为哲学问题的一个重要来源，为哲学的思考与发展提供了丰富的实践环境。二、数学对哲学的影响数学始终影响着哲学。在数学的发展史上，有过三次“危机”。哲学家芝诺在公元前五世纪提\n出了几个著名的悖论，加之无理数出现造成的危机，是第一次数学危机；由于初期的微积分逻辑上的缺陷，围绕微积分基础展开了论战，特别是英国的主观唯心主义经验哲学家贝克莱主教攻击得最厉害，这是第二次数学危机；哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论”，震动了整个数学界，动摇了把集合论作为整个数学的基础的思想，这就是所谓的第三次数学危机。第一次危机的结果，是严格的实数理论的建立。数学家冋答了“什么是连续性”这个古老的哲学问题，。第二次危机的结果，是微积分的严密基础极限理论的建立。数学家掌握了描述运动与变化的有效方法，彻底驳斥了飞矢不动的悖论，冋答了“运动是怎么冋事”这个古老的哲学问题。第三次数学危机，涉及到了“数学自身的基础是什么”。危机的结果，产生了“数学基础”这个至今尚在蓬勃发展的数学领域。矛盾是事物发展的动力，这个原理在数学发展过程中不断得到证明。三、哲学对数学的影响数学也受哲学的影响，但是不如数学对哲学的影响明显。即使数学家本身是哲学家，他的数学活动并不一定打上哲学观点的烙印，他的哲学观点往往被后人否定，而数学成果却与世长存。如康托尔，他认为无穷集是客观存在的，表现出唯心主义倾向，不过这可能更加激发了他的研宄热情。他对实无穷的研究，最终得到线段上的点要多于自然数，解决了两千多年哲学家们都没冇解决的问题。一些卓越的哲学家如亚里士多德、康德、莱布尼茨都坚持没有实在的无穷，实际上认为人不可能认识实无穷，像自然数一样。而康托尔的集合论，使数学思维进人了无穷的王国。所以我们可以这样说：许多数学家是自觉的唯心主义与不自觉的唯物主义的结合。四、当代数学哲学的困惑数学哲学（关于数学基本问题的讨论）在当代所面临的困境促成其向数学\n文化哲学的过渡。由于罗素提出的集合悖论使原本脆弱的数学大厦危机四伏，罗素、怀特海、希尔伯特、布劳威尔等人以力挽狂澜之雄心，试图为数学建立一劳永逸的牢固基础，逻辑主义、直觉主义、形式主义因而相继出现，一场大论战把数学哲学推向了一个新的阶段。但是，哥德尔证明的不完全定理将他们的计划击得粉碎。从此以后，形式主义一撅不振，直觉主义也销声匿迹，数学哲学领域内没有了真正的哲学活动，剩下的只是对以前工作的总结与评述。结果，数学界不再关心哲学问题，而且他们也丝毫没奋感觉到因为数学基础的缺陷而对数学研究产生什么影响。相反，数学却以一日千里的速度飞速发展。许多以前对数学哲学感兴趣的数学大师如冯·诺伊曼（j.L.von.Nuemnan｝、外尔（H.weyl）等，后来也很少涉足。一些新成长起来的数学家，更认为数学哲学不知所云，无关痛痒。布尔巴基学派的领袖丢东涅（j.Diuedorwe）就公开讲，数学哲学家讨论的是“前天的数学”而不是“今天的数学”。的确，20世纪30年代以后，讨论数学哲学的数学家己寥寥无几，即便有，要么是对那场数学哲学大辩论做点分析，要么就是对哥德尔的工作展开讨论，有的干脆一头扎在数学史的研究与整理中去。所以，很多人认为，“自1931年以来，数学哲学已是毫无进展，停滞不前，失去了它在数学发展中的主导地位，甚至几乎数学文化完全消失了。”这种观点看似极端，却从一个侧面反映出数学哲学发展的现状。五、数学哲学的新启示数学哲学面临闲境的症结宄竟在哪里?如何摆脱现有的闲境呢？传统数学哲学过于狭隘的学科定位和框架使其道路越走越窄，以致无法应对和解决数学作为一种文化或文化活动所固有的深层矛盾和问题。也许，数学文化哲学给我们以启示，它提供了一个新的视角一抛弃寻求一劳永逸基础的幻想，研究数学活动本身运行的内、外机制，这无疑会使陷人闲境的数学哲学“柳暗花明”。美国数学家威尔德就是从这一角度研究数学文化的。他的两部著作《数学概念演化的初步研究》和《数学，一种文化体系》中所表达的观点深受人们赞冋，认为他关于数学是一种文化体系的观点是人们在迷失了数学方向多年后出现的\n第一个比较成熟的数学哲学观。公众对数学的无法理解的质疑是数学文化哲学引人注意的又一个重要原因。从数学内部来说，存在着脱离社会文化的孤立主义倾向。数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学发展无须社会推动，其真理性无须实践检验，当然，数学进步也无须人类文化的哺育。现在，每年发表的数学论文多达数万篇，产生几十万条定理，令人S不暇接。数学内部各个领域越分越细，使得不M领域的数学家根本无法交流，更不用说再出现象庞加莱、外尔那样统揽数学全局的大家了。无怪乎许多数学家发出感叹:数学象失控的野马，不知将奔向何处。从数学外部，数学与社会的关系来看，情况更不容乐观。近代数学分析严密化的进程使数学界崇尚逻辑的严格推导，忽视直觉，更不管数学的结果是否有用，对现实世界及苏他学科是否有意义。英国数学家哈代在其《一个数学家的辩闩》中就曾宣称：“我从未做过冇用的事，在我的发现中，从未冇过或可能冇过，直接或间接地、好的或不好的，对现实世界稍微有益的东西。”稍后的布尔巴基学派把数学带进更抽象、更严密、更公理化的方向，这种影响一直到现在还是数学研究的一种时尚。数学的这种孤立主义倾向，使其孤芳自赏而祀人于千里之外，公众对数学望而生畏，更不用说理解数学了。上世纪70年代的“新数学运动”试图改变这种局面，但最后以失败而告终。“社会中的大多数人不知道现代数学究竟有何用，于是，数学不能再吸引天资聪颖的学生，也不能得到更多的研宄资助，更不能从人类文化中汲取发展所需的养分。”数学作为科学技术的理论基础和工具，是推动社会进步和人类思想解放的原动力。将其孤立于人类文化之外使其成为无源之水，这将是人类的巨大损失。数学文化哲学把数学放在社会、文化大背景下，以哲学的眼光来审视数学发展的内在线索和社会文化渊源，力图将数学带冋到人类文化中来，让大众认识到数学作为一种多边的人类文化活动，是为所冇人服务的。在电子计算机等数学成果对人类文化产生巨大影响的今天，人们理解数学的需求日趋高涨，数学文化哲学关于数学与文化的关系、数学发展的文化模式等方面的研究或许是人类真正理解数\n学的一把钥匙。由此可见，随着科学哲学研究主题的重大转变，在拯救传统数学哲学的努力和公众理解数学需求的推动下，数学哲学研究在方向上的调整己经势在必行。那就是冲破传统本体论、认识论的藩篱，从数学哲学走向数学文化哲学，还数学以本来面0，从而从根本上解开使数学哲学陷人困境的症结，推动数学哲学进一步向前发展。参考文献【1】孟建伟.从科学哲学到科学文化哲学.自然辩证法研究，2003(6.)18【2】C.Smonyrski著.数学一种文化体系.数学译林，1988(3)【3】张景中，数学与哲学，中国少年儿童出版社，2003.8【4】M.克莱茵.数学:确定性的丧失.李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社，2002.【5】林夏水.数学哲学.北京:商务印书馆，2003.【6】黄泰安.数学哲学与数学文化.西安:陕西师范大学，1999.【7】张祖贵.数学与文化.自然辩证法通讯，1991，6