数学的哲学思维 10页

数学的哲学思考学习这个既熟悉乂难以冋答的问题，从字而上讲，学是指获得知识或行为经验，习是指温习、实习或练习。2.数学是一种思维模式用数学知识去解决问题目的的意识就促使我们的分析一开始接触到问题的要害信息，围绕目标思考，观察目标的结构特征，诱发类比、联想，依目标的要求，凭借感知对问题解决作出猜想和设想，把问题设计在某种数学模型上，制定解题的途径，得到解决的方案。现实牛活中许许多多类型的问题的解决都运用到数学方法或数学模型。即用数学知识或方法研究某类问题而构造的数学结构。也就是解决问题所具有的共同数学规律性，它所用的定理、公式、法则、性质、数学方法程序基本相同。要想获得解决模式，应以思维为主线，把握问题结构的整体性。必须通过相关问题中或明或隐约的有用信息的刺激，以数学思维方法、一些常川数学方法（如：形数结合、换元法、反演法、放缩法、配方法、待定系数法、引入辅助量等）为依据，•固有知识相结合促使已有知识经验再现，采用广泛联想、执因索果或执果索因、凭借感知对问题解决作出猜想和设想等，先抽彖概括出某些问题的共同本质特征，总结出一些行之有效的探索方法，然后抽象概括出这类问题的--般解法一一解决模式。数学思想是指现实世界的数量关系和空间形式反映到人的意识之屮，经过思维活动而产生的结果，是对数学爭实与理论的木质认识。包插：形数结合的思想；转化的思想，分类的思想；特殊与一般的思想；观察、实验的思想等。逻辑思维是指人脑借助于概念、判断、推理及英它逻辑方法反映客观现实的认识过程。逻辑思维能力是指正确的、合理的进行思考的能力。而数学思维在客观上，是策略创造。其屮包括直觉归纳、类比联想、观念更新和顿悟技巧等；微观上是步步为营，言必有据地进行逻辑推理，这两方而的有机结合才能反映数学思维的本质。发展学牛的逻辑思维能力主要是逐步培养学牛会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎类比进行推理;会准确地阐述口己的思想和观念；形成良好的思维品质。数学思维常用的方法：分析与综合；比较与分类；抽象与概括。数学方法是指人们在数学活动中为达到预期目的而采用的手段、途径和行为方式。采用的方式是观察、实验、归纳、抽象分析和公理化等等。数学思想方法：是思维的产物，是从事数学活动的思维方式和手段。即对数学对象属性分析、综合、类比、联想、逻辑推理所采川的方式、手段。是在数学活动屮产生的，是人类智慧的结晶，是数学的内在形式，它通过知识的载体得以实现，是获取知识和能力的工具。有观察、实验的思想方法（数学这门科学，需要观察，还需要实验，如数的性质几乎都是山观察所发现）；朴素的方法（即把“从最简单的做起”当做座右铭）；类比和归纳的方法；极限的方法（即数学分析研究函数性质所用的工具就是极限）；近似的方法（如近似计算、估计、预测等）；抽象的方法（如何把一个实际问题抽象成数学问题）；变量思想方法；整体的思想方法等。4」.观察是掌握数学学习方法的先导观察是人们用视觉直接从被研究对象获得各种信息，并经过思维加工，揭示研究对象的某些数学规律的方法。观察虽然是最原始的方法，但也是数学研究中使川最普遍的方法，是迓行数为思维不可缺少的第—•步，是解题时开拓思路，运用技巧的先导。观察时，若不仔细，有时连最简单的问题的解决也难己发现,虽\n然有些类型的问题冇通法可循，但做到H的明确，必须认真观察进行积极思维，发现町能的规律性，并用类比的方法，猜想一般的规律性，并把所发现的规律性推广，可走捷径。例求证0+创二问+冏\+a+b\1+|a|+\b\证明：问题可类比到增函数上去，设/(%)=_^“(0芒)因于⑴为增函数，而0+*问+问所1+X以f(\a^b)1•总是协同进行的。分析是把事物的整体分解成各个部分或从整体中区分出个别特性、个别方血。综合是把事物的各个部分或不同特性，不同方血联合成一个整体，值得注意的是，不要把思维方法中的分析与综合跟解题思路的分析法与综合法相混淆。解题思路的分析法是指由问题出发推想到已知条件，而综合法是指从已知条件出发推想到问题的方法。例试求不定方程x+y+z=6的止整数解的个数解：-•般思路是采用列表枚举法进行X1111222334y1234123121Z4321321211由此可见，不定方程x+y+z=6的正整数解有1()个，但不定方程屮的6改为其它正整数”(“>3)那么列表法就显得繁了。新颖解法：把6(正整数)看成6个元素VI>,用符号“0”表示，排成一行000000求x+y+z=6的正整数解的个数等价于在这六个元素Z间五个空档中(不包括首末两个空档)不重复地放入两个加号“+”，每一种放法就对应兀，y,Z的唯一一组解，如“0+00+000”对应的一组解是x=l,y=2,z=3,而五个空档不重复地放两个加号“+”的放法共有=10种，故不定方程x+y+?=6止整数解的个数是10个。一般地，不定方程是x+y+z=n(neN,n>3)正整数解的个数是C二，显然的抓住了问题的本质，对解决同类问题就得心应手了。5.良好解题习惯是掌握数学方法的重要认识过程如何解决数学问题是一个非常复杂的心理过程。思考与解决问题是一个整体的两个侧而,是思考屮有解决，解决中有思考。思考指导解决，解决检验思考的一个动态平衡的发展过程。思考是一种手段，是为了培养解决\n的能力。即学习能力，培养良好解题习惯对开拓创新思想和探讨进取精神的学习方式具有协调性，是拿握学习方法的重要过程。如何养成良好解题习惯呢？5.1.理解问题：首先必须搞清问题的求解H标是什么，并将其H标在脑海中留下深刻的卬象，其次弄清已知条件又是什么，明确任务，必须在已知和未知间架起桥梁。5.2.设让求解计划：先观察能否在已知条件为未知解答中直接架起桥梁，倘若不能，就得采取迂回的策略设计辅助问题，以求达到口标。通过辅助问题的解决，在已知与未知之间建立联系，形成一条通道。5.3.实现求解计划：将探索到的解题方案进行逻辑整理，并HJIJ语言将其表达出来。5.4.检査和回顾：检查所得的结果是否符合实际，回顾解题过程中的关键，探索更好的方法等。总Z,培养良好解题习惯是掌握数学学习方法的重耍手段，是加强问题的变通性，培养多种能力，提高质疑水平。是认真观察、仔细理解、积极探索、精练表述、深入透彻掌握数学方法的过程。\n二、数学语言的培养是学好数学的基础1.语言的逻辑性2.语言的准确性3・语言的直观性六、大学高等数学学习方法的策略当我们巳经直观地弄懂了几个简单的龙理时侯，如果能通过连续的不间断的思考活动，把几个;t理贯穿起来，捂出它们之间的相互关糸，并能同对尽可能多地、朗确地怨象出其中的几个，即将是很有益的。照这样我们的知识无硬地会增加，理鮮能力会有显著的提需。-------笛卡儿2.《高等数学》的特点高等数学是变量的数学，它是研究运动、研究无限过程、研究高维空间、研究多因素的作用。从观点到方法都和初等数学有着木质的差异。要想学习好《高等数学》，必须搞清《髙等数学》的特点。2.1常量与变量高等数学能深刻体现“常”和“变”互相转化的观点。例如在求曲线的弧长，先视“常”为“变”（把弧长看成折线长的极限），再通过“变”（极限过程）达到“常”（求得弧的确定长度）。这是初等数学办不到的。\n2.2直与曲高等数学把直线和平而作为曲线和曲而的特例，并认为在一定条件卜“立”与“曲”可以互相转化。例如，利用弧微分“以直代曲”，通过积分又把“直转化为曲”。2.3有限与无限运用分析运算（无限运算）——极限，这是高等数学的重要特点，而初等数学只能进行有限次运算,有限为无限通过极限方法实现互相转化。例如函数展成无穷级数。2.4特殊与一般从初等数学到高等数学意味着从特殊到一般的过渡。2.5具体与抽彖抽彖性是数学的本质特征2—，高等数学更加抽彖，结果更加深刻。（1）拿握基本概念数学讲究逻辑思维，而逻辑思维无非是（在感性认识的基础上）抽彖出概念，运用概念进行判断、作出推理。所以，概念是思维的基本元素，数学水平的高低在很大程度上取决于对数学概念理解的深度。这一-点往往为初学者所忽视。由于数学概念比普通概念更抽象。而我们乂是从书木上接受这些概念，缺乏直接经验，这种先夭不足更待后沢弥补。学习数学概念一定得反复揣摩，如极限概念，先要有朴素的领悟（趋近），再到严格的叙述m“—5”语言）,才能逐步确切理解。（2）善用数学语言普通思维靠词语，数学思维靠符号语言，它简明准确、自成体系。高等数学符号繁多，含意丰富深刻。我们对两种语言必须能互译、运川自如。很多数学语言是以“构件”形式反复出现的，如运算符号、演算公式，以及程式化的论证（如数学归纳法）、模式化的陈述（如“一厂语言、“充要条件”）、格式化的列农（如函数作图时按一定程序制表）等等。用时要熟练地“装配”起來。（3）搞清來龙去脉要将知识系统化，由点到线到面，就要串成链，织成网。具体做法如下1理脉络如极限方法贯穿于微积分的始终，其它主要概念（如导数、积分等）的婕立；主要问题的解决都依赖于它，这条线索要理清楚。2奠基石如重要极限lim（l+x）?的存在问题是微积分的基石之一，可仔细体味。-Y->03建台阶如定积分、重积分、曲线、曲而积分等，都是和式的极限，但乂层层深入和提高。4树大梁如向量方法在空间解析儿何中是主干，由它导出直线、平而等一系列公式和性质。5作比鮫如函数的连续性，在开区间和闭区间上的结论就不同。6会拓广如空间解析几何是平面解析几何的拓广，多元函数微积分是一元函数微积分的拓广，耍论清在哪些地方是怎样拓广的7把握特例如罗尔定理、拉格朗日中值定理，都是泰勒公式的特例。8形成知识链如微分中值定理、牛顿一莱布尼兹公式、积分中值定理等。可形成一串，成为微积分的基本定理。另为在闭区间上函数可微一连续一可积一有界的知识链，反之则不成立。9学会归纳和举反例如导数的应用，名目繁多，在函数作图中将各类应用集中起來；如连续不一定可微，举一反例就能说明10织成知识网如微分学与解析儿何的某些结合，产生书中介绍的儿何初步知识（曲率、切线、切平而、法线、法平而等）。凡此种种，方法多样，要灵活运用。（4）几何直观是领悟数学最有效的渠道乙一，要善于寻找各种概念的解释。以上各项，都要靠仔细解刨书本，抓要害、求其解。再用自己熟悉的数学语言归纳整理，使知识系统化、\n条理化，了如指掌。5.3所学知识如何运用（1）解题适当多做习题，不但捉高了解题能力，而月.加深了对知识的理解。要注意积累解题途径经验，及时加以总结。具体过程如下1抓题型分淸题目的类型，就能以少胜多，成片地获取知识。如常微分方程按型求解。2找方法如积分最常用的方法是换元法和分部，还有很多特殊技巧。3掌握步骤如求最人（小）值的应川题，须经哪儿步才能得到结果，予以总结。4寻规律如导数是构造性定义的（分三步：求增量、算比值、取极限），决定了求导数可以“机械化”，这是一般规律；而不定积分是非构造性定义的，作为导数的逆运算，无一般规律对循。但一般中又有特殊，比如何时用法则求导、取对数求导、利用隐函数求导、利用微分形式不变性求导，都有特殊规律。又如定积分也是构造性定义的，但极限过程中有两个“无关”（与分割无关、与中间点収法无关），按定义难以算出，有了牛顿一莱布尼兹公式才与原函数挂上了钩。再如微元分析法在定积分、微分方程的应川屮是基木的一个环节，要注意所找到的AS应该满足亞“3心+。（心），否则就找错了。解完题Z后，还应考虑有无别的解法，并比较各种方法的优劣、异同，做到举一反三。发现错误，及时纠正，并找出错误的原因。有疑问要记录下來继续研究。（2）重视联系实际经常考察各种数学知识的现实背景，设法解决一些实际问题。（3）开展研究工作，这是更高的境界。有兴趣的多看看一些研究数学的体会的文章。1.图形转换激发兴趣理论来源于实践，在实践的操作情境中感悟数学的真谛，通过以图形转换为背景的开放性问题，具有联系实际、内容丰富、解法灵活的特点。通过实际操作，这种边动手边动脑分析和推理的过程，不仅可以培养学牛的动手能力，而且述可以激发学主的兴趣。2.变式构图启发思维利用变式构图，可以启发思维，利川变式构图的解法，沟通了代数与儿何的联系，体现了数形结合思想。数学图形变换不仅能启发学牛思维，开阔学牛视野，而且还能激发学牛的想彖有利于创新能力的培养。3・发掘隐含变式体现化归思想数学问题中的条件往往比较复杂，需要通过变式，发掘其隐藏因素，使未知变已知；变牛疏为熟悉；化复杂为简单來体会数学的化归思想。4.巧妙变式培养创新变式巧设参数或添加辅助线相互转化，或转化为代数式，或三角式，或特殊儿何图形，这种巧妙变式常能化难为易，收到事半功倍的效果，培养创新能力。\n5.变式周密培养应用能力启发学牛巧妙变式，设计解决符合题意的方案，培养数学的应用能力。总Z,在学牛亲身体验知识的形成与应用过程中，周密的开发变式思维，理解每一个数学问题和结论是怎样形成的，进而激发学生发现问题和解决问题的能力，使学生在一个充满探索的过程中理解数学，让已经存在于头脑屮的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的理念，从屮感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，从而达到素质教育的1=1的。八.掌握大学数学思想方法学会类比培育创新意识2.学会类比的思想方法培育创新意识类比是开拓思路的武器，类比是由特殊揭示一般的推理方法，不仅是发现数学真理的创造性思维方法,它还是开拓思路的有力武器。它是通过借用一类问题的性质來研究另-•类问题的思考方法，是山于问题的某种需要所采用的一种方法——类比法，它是从寻找解决问题思路上作为切入点，抓住了思维创造活动的特点，加强了知识间的横向联系，起到灵活应用知识的作用，在寻求问题的合理解决中培养了创造性思维，使学生在自已固有知识的发展区域内，全而而完整地思考解决问题的办法，加强解题的预见性，做到解决问题吋思维娥捷，达到思考缜密，促使了学牛必须具备未来世界对他们牛存和发展要求的基本素质。这样的训练不仅可以培养创造性思维能力，而且调动学习的积极性，积极探索事物的根源和对数学的兴趣，使学牛注重口身御能开发,从用中体会，从做中得到巩固知识，充分发挥自身的优势，同时开阔了视野，拓宽了思路，驱使了思维持续创造性地运转，开发了智能，激发了兴趣，是一种数学美的享受。2.1方程解中的类比法一阶线性非齐次微分方程的通解等于对应的齐次微分方程的通解加上非齐次微分方稈的任一特解，这—•基本结论可类比到二阶线性非齐次微分方程以及线性代数中的线性非齐次方程的通解上。类比结论1：二阶线性非齐次微分方程的通解等于对应的齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的任一特解。类比结论2：在线性代数中，线性非齐次方程的通解等丁•其对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的任一特解。2.2积分中的类比法奇函数在对称区间上的定积分为零，即/（X）是[—a,a]的奇函数，则ff（x）dx=0丄4这一基本结论可类比到线积分、面积分、二重积分、三重积分以及广义奇函数的定积分上\n类比结论1:若平而光滑曲线/关于X（或y）轴对称，f（Xiy）在/上有连续偏导数且是关于龙（或y）\n的奇函数,则J/（JV,y）ds=0类比结论2：若空间光滑曲面工关于R），（或）“、或感比）面対称，有连续偏导数/（龙,），,远）是关于込（或X、或y）的奇函数，则Jjy（x,y,z）dS=OS类比结论3：若平面闭区域Z）关Ty（或x）轴对称，且f（x,y）是关于x（或y）的奇函数，则^f（x,y）d（y=OD类比结论4:若空间闭区域V关于my（或坪、或畑）而对称，M/（x,y,z）是关于z（或八或『）的奇惭数，则川7（兀,”乙）山=0V定义：若f（x）+f（-x）=b^O»则称/（x）是［-心］上的广义奇函数,显然"0时,/（兀）为奇函数.类x«-/证明:fMdx打（T）d（T）=（［Hdx比结论5（广义奇函数的定积分的对称性）：若/（劝是日4上的连续的广义奇函数，则「fMdx=abjf(x)dx=f(x)dx+£[/?-/(x)\dx=Jbdx=ab2.3定积分定义类比求极限山定积分定义知］讪扌/（切心=仃⑴心，所以求左端极限，也可通过右端的定积分来得到。例求H叶J—+］十…+］）i如一1274/?-22如一斥【分析】由定积分定义知：limtf^）Ax=ffMdx^求数列极限值，可由求右端定积分的值来得到,11（±诒*本例构造成函数1在【0,1］上的积分和式，于是该极限等于函数在［0,1］上的定积分。解原式I+・•・+=J=)二X二恤£J_•丄lim—(HT8fj4-(vf"4-x,dx=[arcsin—=—4^2°6类比结论1：若所求和式的极限，能化为形如y/（i）丄的数列，则都可以利用定积分求其极限，即lim|4v|-灯（丄）丄如其中念）在［°，1］上连续。>0吿nn3(w->i（ha）ba类比结论2:若和式能化为^f（gi~）-的数列，则可用定积分求极限，r右rzi(b-a)b-a.其中/⑴在［“］上连续。lim>f(a+---------)—血片)台丿/?/?me)—2.4类比可以是同学科也口J以是不同学科集合AUB的元索二人的元索+B的元索-ADB的元索，这一基本结论可类比在《线性代数》或《概率论》的学习中，类比的结论如下：\n结论1：若％,岭是线性空间V的子空间，则dimCV）+V2）=dimV,+dimV2-dim（V,DV2）结论2：若每是事件空间中的两个随机事件,则+人2）"（人）+户（血）-戶（人门仏）以上只列举了人学数学中的类比的数学思想方法，然而在大学数学中有很多的数学方法都值得我们去研究，如观察和实验的思想方法、变量思想方法、整体的思想方法等，只有在教学中传授知识的同时，注重各种思想方法的培育，才能培养学牛创造性思维，达到培育创新人才的廿的。