浅谈数学与哲学 8页

浅谈数学打哲学哲学是是自然知识和社会知识的囊括和总结，是研究世界观的学问，是人类思维的结品和提炼，它作为一种理论思维，在人类进步的漫长过程中，已经形成一系列的基本概念和范畴，构建了博人宽宏的理论体系.它与自然科学是辩证统一的而又有所区别的•它们的统一性在于，所研究的都是不依赖于它们本身的客观世界.它们的区别在于，每门白然科学都是以口然界的一定领域为其研究对象，研究物质某一种运动形式的特殊规律；而哲学则揭示现象中共同的东西，揭示客观世界中各种运动形式所固有的普遍规律和联系.数学，是研究研究客观世界数量关系和空间形式的白然科学.它不仅提供计算的方法,而且述是思维的工具，科学的语言，更是简历辩证唯物主义哲学的科学基础之一.数学通过精细的概念，严密的推理，奇妙的方法，简单的形式，去描绘细节，扩展内容，揭示规律,形成整体认识.数学反映了哲学范畴或慕本矛盾的数虽方面，数学有其逻辑严密性，高度抽彖性，应用广泛性等特点，自然与哲学冇很多相近Z处，因而就决定了其与哲学必然冇更为密切的关系.本文就数学与哲学的关系进行了粗浅的分析.数学是表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。在数学中，不仅各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也都是约定俗成、极少歧义的概念。特别是几何方法，能用清晰、肓观的坐标或图形，表达比较复杂的逻辑关系。在学校的学习中，我们常常把各门学科的应用题，用儿何的方法描述出來，以便清晰地看出其中各个因素的相互逻辑关系，然后列出适当的数学公式，解出耍求的问题。形式逻辑可以用几何图形，表示各种概念复杂的逻辑关系。哲学也是一门科学，它当然也可以使用这种科学的方法来进行表述。形式逻辑要求概念都是确定的，以便它进行正常的推理和运算。辩证法认为，任何概念都是在一定的条件下确定的，不同的条件可能导致不同的结果,所以它必须研究确定概念的不同条件和不同结果。而具体研究几个不同条件和不同结果,也只能是运用有限的手段，遵循形而上学的方法，一个一个去研究。简单一点说，辩证法的本质就是指出事物在不同条件下的不同结果。确定概念的条件和被确定的概念Z间的关系，类似于数学中的函数关系。y=f(x)用数学的术语，马克思这样表述。“一个变量的函数是另外一个变量，它的值随着前者的值而变化，也就是依赖于前者。”我们可以具体举例用公式來表述上述概念。比如在Y=X+1中，当X大于1时,那么Y大于2。在Y=X+1中，当X小于1吋，那么Y小于2。在Y=X+1中，当X等于1时，那么Y等于2。在上述三句话中，每一句都是形而上学的表述，在确定的条件下，表述确定的概念。当我们把上述三个形而上学的表述放在一起分析时，就有了质的变化。我们说这既是形而上学的表述，又是辩证的表述。因为它指出了事物在不同条件下的不同结果。我们还可以说，Y在有的条件下人于2,在有的条件下小于2,在有的条件下等于2。这也是一种辩证的表述。可见有些所谓辩证的表述，不过是省略了儿个形而上学表述中具体的条件，而用一个不确定的概念取而代乙而已。科学进步正是要通过研究，把这些所谓辩证的、还没有确定的概念，变成确定的、形而上学的形式才能实现。\n辩证法认为，任何概念都是在一定的条件下确定的。在辩证法眼里，任何常数都是在一定的条件下确定为常数的，任何数学符号的概念也是在一的条件下确定的，都是和确定它的条件成函数关系的。学校里应用题中的所有条件都假定是确定的，现实生活中的任何确定的概念，都是在一定的条件下确定的。所以必须找岀这些概念和确定它的条件之间的函数关系。具体问题屮的某个概念和什么条件成怎样的函数关系，只能根据具体情况才能确定。条件本身也是由概念组成的。构成条件的概念本身又和确定它的另一组概念成函数关系。如此循环不已。理论上我们可以这样推理，在实践屮人的精力是有限的，我们只能根据具体情况，以满足实际需要为前提，来确定要不要进一步深入研究某个概念和确定它的条件之间的函数关系。对立关系概念的相对意义。要理解对立统一规律，就必须理解对立关系概念的相对意义。我们可以画一根处标轴。具体的事物好比是轴上某一个点，每个点都有具体的数值。可是只冇具体数值还不能确定对立关系的性质。对立关系的概念只冇在两个或两个以上的数值比较中讨论，才有确定的意义。上下、左右、前后、深浅、高低、远近、大小、轻重等对立关系的方位、体积、重量概念大家比较好理解。有时候我们感觉好像没有第二个点作参照，实际上是以某个约定俗成的、被省略的条件作参照的。比如人们习惯以观察者的正前方为参照点，来区别上下、左右，以自己的收入来衡虽房价和食品价格的高低，以公司的净资产或市盈率来衡量股价的高低。离开了参照点，我们还不能给坐标轴上某个确定的点下确定的结论。坐标轴和参照点都是确定对立关系概念必不可少的条件。好坏、真假、美迥、善恶等抽彖概念也是如此。人们的心冃中都有一个约定俗成的标准，离开标准点来讨论对立关系的概念，就失去了实际的意义。可惜有的人还不明白这一点，以为讲对立关系概念的相对意义只是没有事实根据地颠倒黑口、信口开河。黑和口是两个不同灰度的事物比较吋才能确定的概念。止如任何事物都处在一定的灰度一样，任何人都是止面因素和负面因素的统一体，都处在坐标轴上一定的域Z中。坏人是和其他人比较时才能确定的概念。从反对台独的角度來看，蒋介石好，陈水扁坏。形而上学方法和辩证法的关系也是如此。每个具体的方法都是方法坐标轴上的一个点。在实践屮，人们无法使用绝对辩证的方法，也无法使用绝对形而上学的方法，只能兼而有之。关键看你和哪个方法比较。从了解牛的外形來讲，有局部摸的方法，也有整体拍照的方法。它们之间相比，拍照是从整体了解的辩证的方法，摸是局部的形而上学的方法。用建立三维模型的方法和拍照的方法比，拍照是片面地看问题的形而上学的方法，三维模型是全面地看问题的辩证的方法。和三维透视的方法比较，立体模形只是从表曲观察事物的形而上学的方法，透视是深入了解牛内部形状的辩证的方法。和了解几何形状的方法相比，深入了解牛的驯化、朵交、饲养、品种、品质，用遗传学、分了生物学、转基因等方法，又是从木质上了解、改良牛的科学方法，虽然这些科学方法带有更多的形而上学方法的表面特征。任何科学的进步都只能通过形而上学的、确定概念的方法才能实现。辩证法和形而上学的方法本身不存在谁好谁坏的问题，它们都是工具，根据不同的需要在适当的地方使用适当的工具，是使用者的选择。用得好不好全是使用者的责任。\n最变质变关系单纯数量上的变化，到一定的点，就会变成质量上的区别。在求导过程中，在弧的长度和弦的长度趋向于零的条件下，弧的切线斜率就变成了弦的斜率。在时间和距离趋向于零的条件下，平均速度变成了瞬时速度，冇限变成了无限。否定的否定在代数小，加一个负数等于减i个正数。在乘法屮，两个负数相乘等于正数，负负得正。在微分中，首先取差，然后再把它扬弃，使dx/dy变成0/0,就可以用形而上学的规则，推导出辩证的结果来。恩格斯在《白然辩证法》屮说，“我们主观的思维和客观的世界遵循同一些规律，因而两者在其结果中最终不能互相才盾，而必须彼此一致，这个事实绝对地支配着我们的整个理论思维。这个事实是我们的理论思维的本能的和无条件的前提“辩证法被看作关于一切运动的各个最普遍的规律的科学。这就是说，辩证法的规律无论对自然界中和人类历史中的运动，或者对思维的运动，都必定是同样适用的"。“只有微分学才能使自然科学不但川数学來表明状态，也表明过程和运动”。我赞成恩格斯的上述观点。哲学规律和一切自然规律，包括人类社会和思维的规律,三者都是一致的。哲学规律只冇和英他科学规律保持一致，才能叫真正的科学。把哲学概念和其他科学的概念统一起来，则是保持科学规律一致性的前提。恩格斯还说，“微积分本质上不外是辩证法在数学方面的运用恩格斯的这个论断,我不但赞成，觉得反Z亦然。我觉得，函数和微积分的方法和规则，在某种意义上也就是辩证法的方法和规则。数学包括算术、代数和高等数学。数学小算术规则和函数规则、微积分规则的统一性，证明了辩证法和形而上学规则的统一性。数学的规则和哲学的规则是一致的。数学方法与哲学方法的区别：要问数学方法与哲学方法的基木区别究竟在哪里？这个问题说来话长，概括起来讲，它们Z间冇以下两点区别。笫一点，哲学要以实践为棊础，它强调观察的客观性。哲学要在客观上成立的基础上去论证。由于实践已经证明哥德巴赫提出的“偶数为两个索数之和”这一关系式成立，所以，我们在作理论证明时，就将不再怀疑“偶数为两个索数之和''这一关系式的成立问题。理论证明是建立在实践成立这一基础上的，在证明过程中，使用的基木方法是从抽象上升到具体的方法。它要不断地从现实中做出抽象，而在作抽象的论述屮又不断地接触现实,这样做的结果，既可以把握现象乂可以把握本质，并从中找岀规律性的东西。数学与此不同，它完全抛开了实践的作用。在数学家看来，理论是高于实践的。决定哥徳巴赫猜想成立与否的关键不在于实践而在于理论。只要理论上证明了它的成立，那么在实践上我们就不应该再怀疑它的成立。假如实践与理论发生了矛盾，我们也不应该怀疑理论,而应该查看一下实践。由于到目前为止，理论上还没有把“偶数为两个素数之和''求证出來，因此，它就只能是一个猜想。尽管现实上偶数具有这样的特性，我们也不能够把它作为一个定理来加以运用。第二点，哲学是在虽与质的对立统一中分析和把握事物的，它所注重的主要方面是事物\n的质，围绕质的问题去分析量的改变对质所产生的作用。因此，哲学在分析哥德巴赫猜想时，首先就把偶数与素数貝有的量的规定性给扬弃了，抓住了偶数与素数这一质的规定性不放。扬弃了量的规定性，并不是说对于事物具有的量的人小不去考虑了，而是说，由于量的大小在这里没有使它的质加以改变，无论是大偶数还是小偶数，它们在质上都是同一的，即都是作为偶数存在着。作为偶数所具有的特性来讲，它在量上具有的大小这一规定性対它的质来说是无关紧要的。偶数的特性是它在质上所具有的，只要它的质不变，单纯的量变，即偶数值的人小发主了变化，是不会影响到偶数性质的。此时，由于它没有变为其它性质的数，即是说没有变为奇数，在这种情况下，就不会改变“偶数为两索数Z和"这一关系式的成立。扬弃了量的规定性，不仅注意到了量的大小这一规定性对质所起的作用，而且，正是由于扬弃了量的规定性，才使我们把握了全部的量，把握了无限，从而解决了部分偶数不能代表全部偶数的才盾。本质，或者说，事物具有的质的规定性，木身就包含了全部的量，所以，从质的规定性入手必然能够攻克哥德巴赫猜想。一个是客观性，一个是从质的如度去分析问题,这两点构成了哲学方法具有的基本特征。前者，它将猜想成立与否的问题留给了实践，留给了数学上的分解和验算，哲学证明是在实践成立的基础上进行的；后者，它紧紧把握住“个別就是一般”这一辩证关系，将量上具有的“部分与全部,，这一矛盾扬弃掉了。正是有了这两人特征，才使哲学能够从理论的高度论证哥德巴赫猜想的成立。初等数论中的哲学问题作为数学中的一个分支一等数论本身也在研究数的性质问题。于是，人们不禁要问，初等数论与哲学Z间是个什么关系呢？通过学习初等数论，我们可以知道偶数与奇数之间具有这样一些关系：1.偶数土偶数=偶数2.奇数土奇数=偶数3.奇数土偶数=奇数4.偶数土奇数=奇数5.奇数x奇数=奇数6.奇数x偶数=偶数7.偶数x偶数=偶数&奇数个奇数之和是奇数9.偶数个奇数Z和是偶数由此可见，初等数论研究的内容少算术、代数截然不同，它涉及到了数的性质。因此,初等数论构成了哲学上的一个分支，即数学哲学。上血我们列举出的关系式，均不是一个纯粹的数学问题，严格来讲，它们都是体现在数学屮的禅学问题。总之，哲学在现实中分为两个方而：一方而是基础哲学，习惯上将它称为理论哲学；一方面是应用哲学，又称为具体哲学。作为应用哲学，它贯穿于包括数学在内的一切学科Z中。木书讲述的内容就属于应用哲学范畴，它通过分析哥徳巴赫猜想这个具体实例，来讲述哲学的基本观点，讲述什么是唯物辩证法。作为一个数学定理：奇数+奇数=偶数①它的含义是：任意两个奇数之和必定是偶数。由于这个定理简单明了，是从数的定义屮推导出來的，所以人们一-般不去证明它，就像“整体大于部分样，直接拿來使用，对它的正确性不抱有任何怀疑的态度。当我们将这个定理來个形式上的变换，将它左右两边的内容颠倒过來，就得到：偶数=奇数+奇数②\n此时，这个定理就成了定理①的逆定理。它的内容是：任意大的偶数均可表示成两个奇数之和的形式。这个逆定理成立吗？怎样论证它的成立与否呢？要知道，有些数学命题，它的正定理成立，而逆定理却不一定成立。因此，就需要人们対逆定理进行一帝论证。对于奇数与偶数Z间的关系，定理①的成立是确定无疑的，定理②却需耍我们进行论证。那么应该怎样论证它呢？首先，让我们观察一下偶数分解的具体的实例：2=1+14=1+36=1+5=3+38=1+7=3+510=1+9=3+7=5+5通过观察这些实例，我们可以很容易地归纳出偶数分解为两奇数Z和的通项公式：2K=1+(2K-l)=3+(2K-3)=5+(2K-5)......=n+(2K-n)(n为奇数)在这个通项公式中，K是自然数，2K代表着任意大的偶数，只要我们将右边的算式一化简，就会得出：2K=2K这样一个恒等式。可见，这个通项公式是一个恒等式。其次，在等式右边的第一项是数目1,它在数学中是最小的奇数，第二项是2K-1,根据数学定理：偶数一奇数=奇数，得知2K-1的结果也是奇数。这样一來，就可以肯定逆定理成立。数学在证明“偶数=奇数+奇数"成立时一般是应用数学归纳法。偶数为两奇数之和，这个定理的成立，将为我们论证哥德巴赫猜想奠定坚实的基础。它告诉人们：任意大的偶数都可以用两个奇数Z和的形式表示出来。这样，我们就从本质的高度把握了偶数貝有的另一个性质。这个性质同偶数能够被2整除一•样，都是偶数本身貝-有的基本性质。在论证哥徳巴赫猜想成立过程中，我们就将这个定理作为已知条件加以运用。假如任意人的偶数不具有能分解为两奇数Z和的性质，那么，要想论证出咼徳巴赫猜想的成立就将是一件不可想象的事情。猜想只能用辩证法來证明在以10为记数单位中，“1+1=2”这是人们众所周知的起码常识。自数学发明以來，人们一直在应用着它，谁也不会怀疑它的正确性。假如真的有人提出：“1+母2”,那么世上的人一定会说：这人简直是个白痴，连“1+1=2"这一基本常识都不懂。可是自数学发明以来，又有谁曾在理论上证明过它是匸确的呢？没有，从来没有！因为它完全不需要从理论上证明的。实践告诉人们:1+1=2是绝对正确的。因此作为数学运算的第一个法则，它从产生之FI起，就被人类世世代代地承继下來了。哥德巴赫猜想却与此不同，他提出了“每一个不小于6的偶数都是两个索数Z和=如果我们把这一猜想的木质抓住之后，就可以将它表示为：“2=1+1”在这个关系式中，“2”代表着不小于6的偶数，“1”则代表着素数，这两个素数或相等，或不相等。总之，它们必须是素数。例如：34=17+17=3+3158=29+29=5+53\n它们都用“2=1+1”这一关系式表现出来。由此可见，“1+1=2”与“2=1+1”这两个等式可以分别表示不同含义的关系式。前者表示为两个数目1相加，和等于2；后者则表示一个偶数可以分为两个素数之和。当它表示为偶数为素数Z间的关系式时，就体现了两个不同性质而又相互关联的事物（偶数与素数）之间的关系式；当它表示为两个数目1相加和等于2时，就体现着同一质的数量关系。此时它就成了一个同义反复的公理。对于包含有不同内容的关系式应该如何证明呢？恩格斯在B然辩证法小曾经指出过，他说：“数学上的所谓公理，是数学需耍用作自己的出发点的少数思想上的规定。数学是数量的科学；它从数量这个概念出发。它给这个概念下一个不充分的定义，然示再把未包含在定义中的数量所具冇的英他皋木规定性，当作公理从外部补充进去，这时，这些规定性就表现为未加证明的东西，口然也就表现为数学上无法证明的东西。对数量的分析会得出这一切公理式的规定，即数量的必然的规定。斯宾塞说得对•：我们所认为的这些公理的自明性是承继下来的。这些公理只要不是纯粹的同义反复，就是可以辩证地证明的。”由于哥德巴赫猜想所要求证的是偶数与索数Z间的关系，显然，它不是一个同义反复的公理，而是涉及到“最与质之间”和“不同质之吋啲关系，以及同一质的内部矛盾问题，因此，对于这样一个关系式，它的证明方法按照恩格斯的教导，只能是用辩证法而绝不能从单纯的数量关系中推导出来。五、对猜想的粋学思考1猜想实质是个哲学问题数学是一门研究数量关系的学科，哲学则是研究不同质之间和互关系的于科。对于哥徳巴赫猜想来说，它所要解决的问题是什么呢？说来很简单，它要解决的是“偶数与索数”Z间的关系问题。这个问题究竟是一个数学问题呢还是一个哲学问题？从表面现象上看，哥徳巴赫猜想是市数学家提出來的，而且它一直是作为一个数学问题存在着，至今还有不少人仍将它作为一个数学问题看待。然而，只要我们深入一步去分析哥德巴赫猜想，就会不难看出它涉及的是“偶数与素数”Z间的关系问题。我们知道，偶数与素数，这是两类不同性质的数，从量上來讲，它们二者都有无穷多个。因此，要解决不同质之间的相互关系问题就必须从质上入手。然而，一涉及到不同质Z间的关系问题，就必然要超出数量关系的界限。我们知道，数学这门学科是研究数量关系的，要超出数量关系的界限，这本身就意味着超出了数学这门学科的研究范围。因此，尽管哥徳巴赫猜想是数学家提出來的，但是山于这个猜想涉及的是“偶数与素数”Z间的关系问题，要解决的是不同质Z间的矛盾问题，对于这样的问题，数学方法显然是无能为力的。\n只要人们继续在数学范围内寻求解决它的方法，那么，它就会继续成为一个数学难题而存在，直到人们从数学方法中跳将出来，从质上入手去解决它时，就会发现它变得像小学四则运算中的“1+1=2”一样，简单明了，人人都会。这就如同俗话所说的“一把钥匙开一把锁，对症一F药才能解决根本问题”。对于数学工作者來说，哥徳巴赫猜想，它是一个数学问题。这一点是肯定无疑的。二百多年來它一直是挂在数学皇冠上的一颗明珠，至今仍有不少数学爱好者立志去攻克它。可见,这种传统观念是多么牢固地在人们的头脑屮扎下了根。很少有人从另外一个角度去思考问题：为什么偶数为两索数Z和这样一个简单的关系式我们就论证不出来呢？是不是我们思考问题的方式方法有问题呢？要知道习惯势力是很可怕的。当有的数学家遇到挫折之后哀叹道：它的解决超出了数学的能力。听到这样的悲观论调之后，不仅没有激发数学工作者对攻克它的方法重新思考-•番，相反却更加激励起他们奋勇拼搏的勇气，坚持不懈、冥思苦想，继续在数学方法的圈了里徘徊。事实上，只要人们从传统思维方式的束缚卜•解放出來，就会不难发现：偶数为两索数之和,它不是一个数学问题而是一个哲学问题。尽管这一关系式最早是由数于家提出来的，并且一直是作为数论难题遗留至今，但是，这一难题实质上是个哲学问题，是一个认识论方面的问题。它是体现在数论中的一个哲学问题。以往哲学工作者只习惯于在概念体系上进行创新，忽视了哲学具有的应用功能，导致这个哲学问题迟迟没有人给以正确的解答。偶数为两素数Z和，这一关系式涉及到了偶数与奇数、素数与合数Z间的关系，依据数学对彖与哲学对彖的区别，我们不难得知：研究不同质Z间的相互关系是哲学对象所要解决的问题。偶数与奇数，索数与合数，它们都是具冇不同性质的数，相互Z间的关系绝不是一种纯粹的数量关系，而是一种质的关系。所以数学思维方式对此才无能为力，事实上只有哲学思维方式才能给它以科学的证明。偶数为两素数之和，它的实质是什么呢？说口了，它的实质就是“一分为二=我们知道，一分为二，这个问题是唯物辩证法的核心。要论证辩证法的核心问题，这可不是一件轻而易举的事情。它要涉及到哲学上的诸多观点和辩证思维方法的诸多方血。假若人们对哲学的基本观点和方法没有一个深刻的了解，那就不可能应用这些观点和方法对这一关系式进行理论上的证明。总而言Z,哥徳巴赫猜想的实质是个哲学问题，是加于认识论上的问题，即是说，应该如何认识偶数与奇数（包括素数与积数）之间的关系问题。这个问题具体包括三个方面：1•对偶数与奇数Z间的关系应该怎样认识;\n2.対偶数分解为两奇数之和的各种形式应该怎样分析；3.怎样从逻辑推理中给它一个科学的理论证明。上述三个问题，就是哲学即认识论所面临解决的主要的和基本的问题。