[经济学]求导方法 36页

2.2求导方法导数的四则运算法则复合函数的求导法则隐函数的导数高阶导数基本要求\n导数的运算规则设u(x),v(x)都是可导的函数,我们有以下规则:1,常数提取规则2,逐项求导规则推广可得\n3,可导函数乘积的导数等于第一因子的导数乘以第二因子，加上第二因子的导数乘以第一因子.4,商的求导法则推广可得\n例1求函数的导数.解:根据逐项求导法则,根据基本的求导公式,我们得到\n例2，求解\n例3求函数的导数.根据逐项求导法则、基本求导公式,得解：\n例4求函数的导数.解:每一项都是由乘积构成,根据乘积求导法则,所以\n例5求函数的导数.解:根据商的求导法则,\n练习\n复合函数求导规则设y=f(u),u=φ(x)都是可导的函数.x产生的增量△x会引起u产生增量△u,△u继而使y产生增量△y.当△x→0时,\n于是我们得到复合函数求导公式另一种表述:\n复合函数求导公式又叫---链式法则，即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导。注1.链式法则——“由外向里，逐层求导”2.求外层导数时,内层表达式作为整体（即中间变量）应保持不变\n注：复合函数求导法则的关键在于：（2）分别求出这些函数的导数并相乘；（3）将所设中间变量还原。（1）将复合函数分解成若干个基本初等函数；推广\n例1.4:求导数1.解：函数可看作是由复合而成的因此\n2.解：函数是由复合而成的因此\n例求函数的导数.解:函数的复合有三层,根据复合函数求导公式\n例求函数的导数.\n(2)求函数的导数.解\n高阶导数函数y=f(x)的导数仍是x的函数,可以继续求导数,那就是二阶导数,二阶导数的记号是对二阶导数求导就是三阶导数,记为\n一般,对n-1阶导数求导得到n阶导数,记为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.函数y=f(x)可以叫做零阶导数.高阶导数也有导数值,要求先求好导数再代入数值.\n例求的一阶导数和二阶导数.解:思考:计算的n阶导数.\n隐函数的导数隐函数是由二元方程F(x,y)=0确定的函数.若能从这个方程中解出表达式y=y(x),则容易求出相应的导数.若不能解出，如何求导数呢？基本思路在原方程F(x,y)=0的基础上两边同时对自变量x求导,求导时把y看做x的函数(会涉及复合函数的求导),求导完成会产生,求导结束后解出就是所要的结果.\n例：设,求解:原等式两边同时对x求导,得到适当整理可得\n例设y=y(x)是由确定的隐函数,求y=y(x)在(0,3)处的切线方程.解:两边对x求导,可得到切线的斜率为点(0,3)在切线上，即得切线方程为\n例求导数.分析:这里不能直接利用导数公式,等号两边同时取对数,然后两边同时对x求导对数求导法\n．*对数求导法先在y=f(x)的两边取对数,求导后再求y的导数.例（幂指函数）两边分别对x求导,注意y是x的函数，得两边取对数，得解\n幂指函数的一般形式为：如果u,v都可导,则y的导数求法如下:再两边对x求导,注意到y是x的函数,得两边取对数，得(1)也可表示为：直接得\n例上式两边分别对x求导,注意y是x的函数,得两边取对数，得解\n多元函数的偏导数多元函数多元函数就是有多个变量的函数.设经济指标为u,影响u的因素依次为则它们之间的关系可表示为f代表制约关系或对应规律,它确定了u的值,u随的变化而变化,称作n元函数.自变量多于一个的函数叫做多元函数.\n偏导数设z=f(x,y)是二元函数.如果把y看做常数,那么z就是x的一元函数,可以按照一元函数的求导规则来对x求导,这个导数称为z=f(x,y)对x的偏导数,记为类似的.我们可以定义z(x,y)关于y的偏导数,以及三元函数的偏导数.\n例：求在处的偏导数.带有下标的偏导数记号可以将右上角的撇号省去,如可记为.在不发生误会的情况下,偏导函数和偏导数值统称为偏导数.\n解:将代入,可得\n例求函数对各自变量的偏导数.解:把y和z看做常数,对x求导:类似的,我们可以得到:\n高阶偏导数二元函数z=f(x,y)的偏导数仍然含有x,y,因此仍是二元函数,可以继续求偏导数,那就是二阶偏导数.一般有如下记号:\n其中叫做二阶混合偏导数.表示先对x求偏导,再对y求偏导.如果f(x,y)是由一个式子表示的初等函数,那么\n例求函数的二阶偏导数.解:先求一阶偏导数,于是