[经济学]保险精算 62页

保险精算田雅娟\n第二章生命表函数与生命表构造生命表函数1生命表的构造2有关分数年龄的假设3\n本章重点生命表函数分布函数生存函数剩余寿命死亡效力生命表的构造生命表的起源生命表的构造选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定\n第一节生命表函数一、分布函数二、生存函数三、剩余寿命四、取整余寿五、死亡效力六、的解析式\n分布函数：意义：0岁人在x岁前死亡的概率。例：用分布函数来表述人的生死概率：（1）人在50岁前死亡的概率一、分布函数\n一、分布函数（2）人活过50岁的概率（3）x岁的人在x~x+1岁间死亡的概率\n概率密度函数：期望:即为平均寿命一、分布函数\n二、生存函数定义意义：新生儿能活到x岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：\n练习用生存函数表述（1）人在50岁前死亡的概率（2）人活过50岁的概率（3）x岁的人在x~x+1岁间死亡的概率\n三、剩余寿命——已经活到x岁的人——(x)继续存活的时间，称为剩余寿命，简称余寿或余命，简记为T。可见的分布就是已知时的条件分布\n三、剩余寿命的分布函数：\n三、剩余寿命的概率密度函数：\n三、剩余寿命定义：则：是的分布函数是的生存函数\n三、剩余寿命剩余寿命的生存函数：特别：\n三、剩余寿命：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率当时，记作：\n三、剩余寿命用生存函数表示死亡率和生存率：（1）（2）（3）\n三、剩余寿命剩余寿命的期望\n四、取整余寿定义：未来存活的完整年数，简记概率函数\n取整余寿的期望(均值),简记四、取整余寿\n五、死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记\n死亡效力与其他函数的关系死亡效力与生存函数的关系\n死亡效力与其他函数的关系死亡效力与生存函数的关系\n死亡效力与其他函数的关系死亡效力与密度函数的关系\nDeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)六、的解析函数\nMakeham模型(1860)Weibull模型(1939)\n是个增函数，随年龄而增大，对于较小年龄的人不适用\n上述假设的解析式中，至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。\n第二节生命表的构造生命表的定义生命表的构造选择与终极生命表\n生命表定义生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。种类国民生命表经验生命表\n生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的死亡概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：死亡概率生存概率\n生命表函数lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx(1)(2)\n生命表基本函数(3)npx：x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。当n=1，简记为px。nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx\n生命表基本函数(4)(5)(6)\n生命表基本函数(8)(7)\n生命表的构造个新生生命在年龄x至x+n区间共存活的人年数：\n生命表的构造个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：\n计算：（1）一个新生婴儿存活到3岁的概率。（2）一个新生婴儿在1岁和3岁间死亡的概率。\n\n已知：（1）25岁到75岁死亡的人群中，其中30%在50岁之前死亡。（2）25岁的人在50岁前死亡的概率为0.2。计算：\n\n例2.1：已知计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。\n例2.1答案\n选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用\n选择-终极表实例[x]选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482\n例如：\n选择生命表函数关系\n303382933814337953377233313380433788337683374434计算：0.998760.998940.001510.00056\n第三节有关分数年龄的假设使用背景基本原理常用假定\n有关分数年龄的假设使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)S(x+1)S(x)S(x+t)t1-t\n三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)\n死亡均匀分布假设假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。\n死亡均匀分布假设(0≤t≤１,0≤y≤１,0≤t+y≤１)\n死亡力恒定假设\n当假设死亡力在x~x+1上恒定时，(x为整数，0≤t≤1)，死亡力恒定假设\n\n巴尔杜奇(Balducci)假设以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即\n巴尔杜奇(Balducci)假设（其中，0≤t≤1,0≤y≤1,0≤t+y≤1）此时，\n三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci\n例2.2：已知分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：\n例2.2答案\n例2.2答案\n例2.2答案