统计学之参数估计 45页

本资料来源\n第五章参数估计有时候人们可能对于总体的某个数量特征感兴趣。比如：1.北方学院师生的月平均消费金额2.北方学院师生的月平均消费金额中各项消费所占的比例上述数据是北方学院全体师生这个总体的在消费方面的数量特征，要知道这些特征，有哪些办法？\n方法一：对北方学院的全体师生做普查——描述统计方法二：抽取部分师生做样本，进行抽样调查，根据样本的数量特征推断总体的数量特征——推断统计（参数估计+假设检验）参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。如：用样本均值x估计总体均值，用样本方差s2估计总体方差σ2用样本比率p估计总体比率∏\n本章要求掌握知识点估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本容量的确定方法\n估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)\n参数估计的方法估计方法点估计区间估计期中考试考完统计学，别人问你能考多少分？你可能会有两种回答：1.80分，270-90分，试比较这两种回答的优缺点。标准：1.可靠程度；2.精确程度\n点估计(pointestimate)用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等\n区间估计(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限\n区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x\n将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平表示为(1-为是总体参数未在区间内的比率常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10相应的Zα/2为2.58，1.96，1.65置信水平\n由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间(confidenceinterval)\n置信区间与置信水平样本均值的抽样分布(1-)%区间包含了%的区间未包含1–aa/2a/2\n影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响z的大小\n评价估计量标准一——无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。P()BA无偏有偏\n评价估计量标准二——有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布P()\n评价估计量标准三——一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P()\n第二节一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计总体比率的区间估计总体方差的区间估计\n总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为\n总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3\n总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g\n总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知小样本(n<30)2.使用t分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为\nt分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)淡黄色z\n总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470\n总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时\n总体比率的区间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量z3.总体比率在1-置信水平下的置信区间为\n总体比率的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比率的置信区间为55.65%~74.35%\n一个总体参数区间估计在SPSS中的实现：分析——探索——统计量——描述性——均值的区间估计，输入置信度。比率估计数据用虚变量表示。\n总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为\n总体方差的区间估计(图示)221-2总体方差1-的置信区间自由度为n-1的2分布\n总体方差的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3\n总体方差的区间估计(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得s2=93.212置信度为95%的置信区间为该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g\n第三节两个总体参数的区间估计两个总体均值之差的区间估计两个总体比率之差的区间估计两个总体方差比的区间估计\n两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比率之差方差比\n两个总体均值之差的估计(大样本)1.假定条件两个总体都服从正态分布，1２、2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本使用正态分布统计量z\n两个总体均值之差的估计(大样本)1.1２，2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为1２、2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为\n两个总体均值之差的估计(例题分析)【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间两个样本的有关数据中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2\n两个总体均值之差的估计(例题分析)解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分\n两个总体均值之差的估计(小样本:12=22)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.总体方差的合并估计量估计量x1-x2的抽样标准差\n两个总体均值之差的估计(小样本:12=22)1.两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为\n两个总体均值之差的估计(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5\n两个总体均值之差的估计(例题分析)解:根据样本数据计算得合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟~7.26分钟\n估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比其中：\n估计总体均值时样本容量的确定(例题分析)【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽取多大的样本容量？\n估计总体均值时样本容量的确定(例题分析)解:已知=2000，E=400,1-=95%，z/2=1.96应抽取的样本容量为即应抽取97人作为样本\n估计总体比率时样本容量的确定1.根据比率区间估计公式可得样本容量n为E的取值一般小于0.1未知时，可取最大值0.5其中：