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- 2022-08-29 发布
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概率论与数量统计一、连续型随机变量分布函数及其概率密度1．概率密度与它的基本性质设对于随机变量x的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意的实数x，都有成立,则称x为连续型随机变量，f(x)便是x的概率密度（或分布密度）。概率密度具有如下基本性质：(1)(非负性)；(2)(规范性)；(3)对任何实数c，有；对任意的实数a，b(aa为常数。则称服从区间(a,b)上的均匀分布，简记为。均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。（4）正态分布设随机变量有概率密度其中，为常数。则称服从参数为，的正态分布，简记为。特别，当=0，=1时，有。此时称服从标准正态分布。简记为～N(0，1)。5．概率密度与分布函数的互求当概率密度给定时，运用逐段积分可求得分布函数。即，如此得到的分布函数是定义在整个实数轴上的连续函数。反之，当分布函数已知时，在f(x)的连续点上运用逐段微分可求得概率密度。即。可见，连续型随机变量的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。6．给定分布时的概率计算小结(1)分布律已知时的概率计算公式是(2)概率密度已知时的概率计算公式是(3)分布函数已知时的概率计算公式是(4)正态分布下的概率计算公式是其中r．v．x~；F(x)为标准正态分布函数。当x>0时其数值可查标准正态分布函数数值表(以下简称正态分布表)直接得到；对于负实数x，在公式F(x)=1-F(-x)转化下，仍可查表求值。二．随机变量函数的分布随机变量x的函数在一定条件下仍是随机变量。h的分布可由x的已知分布确定。但在求h的分布具体处理方法上，离散型和连续型是有区别的。1．离散型随机变量x的函数分布设x为一离散型随机变量，其分布律为x1x2…xn…pip1p2…pn…\n则当诸的值互异时，h的分布律为……pip1p2…pn…如果中有某些值相同时，则将相应概率相加之后予以合并处理，必要时重新排序后写出h的分布律。可见，在离散型场合下，h的分布律完全由x的分布律确定。2．连续型随机变量x的函数分布设x为连续型随机变量，其概率密度为，则仍为连续型随机变量，其概率密度的计算步骤为：(1)根据x的概率密度，求出的分布函数其中，(2)对求导得的概率密度在函数可导且严格单调时，的概率密度为，其中是严格单调可微函数(与对应的普通函数)的反函数。至于的取值范围，原则上将由中x的取值范围及中的的允许范围讨论确定。可见，连续型场合下，的概率密度完全由x的概率密度确定。3．连续型随机向量的函数的分布P97如卷积公式卷积公式：设的联合密度函数为，求的密度函数。如果是相互独立的随机变量，则有（卷积公式）4．随机向量的数字特征P104协方差协方差矩阵相关系数设为二维随机变量，第四章数理统计的基础知识4.1总体与样本一、总体与总体分布定义4.1在统计学中称随机变量（或向量）X为总体，并把随机变量（或向量）X的分布称为总体的分布。二、样本与样本分布4.2称为总体X的简单随机样本，若是独立同分布的随机变量，且与总体X同分布。样本中所含分量的个数n称为该样本的容量。以大写的英文字母表示随机变量，而以相应的小写英文字母表示它的观察值，并称样本的一组具体的观察值为样本值。设总体X的分布函数为，则由定义4.2知，样本的分布函数为称之为样本分布。若总体X为连续型随机变量，其密度函数为，则样本的密度函数为。三、统计推断问题简述即借助总体X的一个样本，对总体X的未知分布进行推断，我们把这类问题统称为统计推断问题。4.2统计量一、统计量的定义定义4.3设为总体X的一个样本，称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。如二、常用的统计量\n1.样本均值称样本的算术平均值为样本均值，记为，即2.样本方差更多时候用修正样本方差3.样本标准差4.样本原点矩，并称为样本的k阶原点矩。5.样本中心矩，，并称为样本的k阶中心矩。三、枢轴量仅含一个未知参数，但其分布却已知的样本函数称为枢轴量。如总体，其中已知，未知，为总体的一个样本，令，上述函数U中虽然含有未知参数，但总有，故U是一枢轴量，可以对作统计推断。4.3常用的统计分布一、分位数定义4.4设随机变量X的分布函数为，对给定的实数如果实数满足即或则称为随机变量X的分布的水平的上侧分位数。或直接称为分布函数F(x)的水平的上侧分位数。定义4.5设X是对称分布的连续型随机变量，其分布函数为，对给定的实数如果正实数满足即则称为随机变量X的分布的水平的双侧分位数，也简称为分位数，或直接称为分布函数的水平的分位数。二、分布在第二例2.29：若，则的密度函数为（4.17）命题4.1设是n个相互独立的随机变量，且，i=1,2,…,n,则的密度函数为（4.18）其中是（伽马）函数。定义4.6一个随机变量X称为服从以n为自由度的分布，如果其密度函数由（4.18）给出，记作。（命题4.1证明）由（4.17）知，当n=1时，（4.18）成立，使用数学归纳法，设n=k时，（4.18）成立，令\n，。由归纳假设及（4.17）知：的密度函数分别为由于皆为非负的随机变量且相互独立，由第3章的卷积公式可推知，当z>0时，y的密度函数可按下式计算：=其中倒数第二个等式中使用了贝塔函数的定义：以及贝塔函数和伽马函数的关系：命题4.2（1）若，，且X与Y相互独立，则。（2）若，则。三、分布设，，且X与Y相互独立，记。（4.19）命题4.3设Z由（4.19）所定义，则Z的密度函数为：，x>0（4.20）其中是B函数。定义4.7如果一个随机变量X的密度函数由4.20给出，则称其服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记作。而且由命题4.3可得到：，则。（命题4.3证明）因为，，由定义4.6知，X与Y的密度函数分别为设从而由于X,Y皆为非负的随机变量且相互独立，由第三章的例3.16可知，当z>0时，随机变量的密度函数可按下式计算：\n==，再由于当z>0时，即知随机变量z的密度函数可以表示为四、分布设，，且X与Y相互独立，记，（4.22）由（4.22）可推知。命题4.4（4.22）所定义的随机变量的密度函数为（4.23）.定义4.8如果一个随机变量X的密度函数由（4.23）给出，则称其为服从自由度为n的分布，记作（命题4.4证明）T的密度函数也是对称函数（习题四的第5题）。其次，以分别表示的密度函数，由于T具有对称的密度函数，不难证明，当t>0时，（习题四第6题）。现设，且由命题4.3知，随机变量F的密度函数为再注意到，由练习2-5的第9题可知，当t>0时，应有：。于是，当t>o时，（4.23）式是成立的，再由于是对称函数，可知当x<0时，（4.23）式也成立。4.4抽样分布定理4.1设总体，是容量为n的一个样本，与分别为此样本的样本均值与样本方差，则有：（1）~（2）（3）与相互独立。（证明在P146）定理4.2设总体，是容量为n的一个样本，与分别为此样本的样本均值与样本方差，则有：（1）~（2）（3）\n第5章参数估计与假设检验一、点估计二、评价估计量的标准评价估计量的标准，无偏性、有效性、一致性。设总体X服从［0，θ］上的均匀分布，由上节例7可知，都是θ的估计，这两个估计哪一个好？下面我们首先讨论衡量估计量好坏的标准问题.1.无偏性定义7.2若估计量（X1，X2，…，Xn）的数学期望等于未知参数θ，即：，（7.6）则称为θ的无偏估计量（Non-deviationestimator）。样本方差有2种表达方式：（1）（2）（2）是无偏估计，证明如下：2.有效性设和都是未知参数θ的无偏估计，若对任意的参数θ，有D（）≤D（），则称比有效.3.一致性定义如果n依概率收敛于θ，即ε＞0，有，则称是θ的一致估计量。三、区间估计（给定一个置信水平、确定参数的置信区间）：是的一个估计量，为一个随机区间，若该区间套住的概率等于事先指定的数，即（1），则是的一个置信区间，对（1）进行变换有：①，已知：，~，，②大样本（n≥30）条件下：，,，，③,未知：,,,,其中：和为分位数，即，。称为估计误差。置信水平的直观意义是：如有m个样本，则m个样本就有m个置信区间，其中有置信水平（如95%）个区间套住了总体参数。P74第6章假设检验————————————————————————————————————————————————1.假设检验的格式通常为:原假设H0，备选假设H1。其中原假设往往是我们想要证明不成立的，备选假设是想要留下的。比如：（A）H0:；H1:（B）H0:；H1:（C）H0:；H1:（注意含有等号的符号放在原假设里）。如果备选假设含有符号≠，这样的检验称为双侧检验：｜统计量｜﹥临界值，拒绝原假设。临界值通常有：，如果备选假设含有符号﹤，这样的检验称为左侧检验：统计量的值﹤-临界值，拒绝原假设。临界值通常有：，如果备选假设含有符号﹥，这样的检验称为右侧检验：统计量的值﹥临界值，拒绝原假设。临界值通常有：，2.总结：假设检验就是构造一个与假设参数相关的统计量，再确定该统计量的分布，把这个统计量与显著性水平对应的分位数或等进行比较，如果落在这些分位数的外侧，则拒绝原假设。或者计算这个统计量对应的p值，即2P（X≥｜统计量的值｜）<（双侧检验时），P（X≤-统计量的值）<（左侧检验时），P（X≥统计量的值）<（右侧检验时），则拒绝原假设。假设检验与区间估计的关系：假设检验是区间估计的延续，如假设某一总体的参数为，通过抽取样本发现在某一置信水平如95%的情况下的置信区间不包括该参数，这意味着抽取100个样本中，有95个置信区间都不包括该参数，因此=不合适。第7章分类变量的推断————————————————————————————————————————————一个分类变量的拟合优度检验：，为观察频数，为期望频数，该统计量服从自由度为k-1的分布；k为类别个数。如果统计量为0，表明观测频数与期望频数完全一致；如果显著不为0，越大说明观测频数与期望频数存在显著差异。\n两个分类变量的拟合优度检验：，为观察频数，为期望频数,该统计量服从（r-1）(c-1)；r为行数c为列数第8章方差分析与实验设计————————————————————————————————————————————思考一个性别对身高是否有显著影响的例子，抽取某个班作为样本，得到如下表中的数据，i为水平（处理），总的平均身高=1.66。男生i=1样本容量为n1y11=1.73y12=1.72……女生i=2样本容量为n2y21=1.61y22=1.64……如果条件一样，则都为，现在出现了不同，这种偏差（总误差）为，由于性别产生的偏差（组间误差）为，由于性别之外产生的偏差（组内误差）为。。~。如果（1）时；或（2）P(X≥F值)<时，拒绝原假设，认为性别对身高有显著影响。第9章一元线性回归———————————————————————————————————————————————回归模型：估计的回归方程：采用最小二乘法求参数和：令，则有和。有：，。求：=SSR/SST，，，，。求估计标准误差：。线性关系检验：。回归系数标准差的估计量：，回归系数显著性检验：~。
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