概率统计学大题题型资料 24页

''题型一直方图（湖北理17）（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是）作为代表．据此，估计纤度的期望．分组频数频率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合计1001.00样本数据频率/组距1.301.341.381.421.461.501.54解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在中的概率约为\n''，纤度小于1.40的概率约为．（Ⅲ）总体数据的期望约为．变式（2009广东卷理）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5.（1）求直方图中的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知，，，）解：（1）由图可知，解得；（2）；\n''（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.3.（2009浙江卷理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；.（II）随机变量的取值为的分布列为012P所以的数学期望为.题型二抽样问题例题(2009山东卷文)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.（1）求z的值.（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,\n''8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解:(1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.(3)样本的平均数为,那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.变式（2009天津卷文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。【答案】(1)2，3，2(2)【解析】（1）解：工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.（2）设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，\n'',同理还能组合5种，一共有11种。所以所求的概率为【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。题型三等可能事件的概率在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m个，那么P（A）=。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。例题1（2010湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）(Ⅰ)求x,y;（Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。解(Ⅰ)由题意可得所以，（Ⅱ）记从高校B中抽取的2人为，从高校C中抽取的3人为则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（），（），（），（），（），（），（），，，共10种，设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有，，共3种，因此故选中的2人都来自高校C的概率为变式1（2010江苏\n''）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（Ⅰ）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列为：X1052[来源:学科网ZXXK]-3P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。由题设知，解得，又，得，或。所求概率为答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。变式2（2010福建）设平面向量am=（m，1），bn=（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得am⊥（am－bn）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共16个.(Ⅱ)由得，即.由于｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率.题型四互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概率的法公式\n''计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即或。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减法公式计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。例题1（2005全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分则A、B、C相互独立，由题意得：P（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5所以,甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴相互独立，……………………………………7分∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为……………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为……12分变式1（2005福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为\n''∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为变式2（06四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件解法1：解法2：所以，理论考核中至少有两人合格的概率为（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件\n''所以，这三人该课程考核都合格的概率为题型五独立重复试验概率若在次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次独立重复试验。若在1次试验中事件A发生的概率为P，则在次独立惩处试验中，事件A恰好发生次的概率为。高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。例题（2005湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1-p），故至少换4只灯泡的概率为变式1为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的,,.现有\n''名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 至少有人选择的项目属于民生工程的概率.解记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，，，，，．由题意知，，相互独立，，，相互独立，，，相互独立，，，（，，，，，且，，互不相同）相互独立，且，，．（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率（Ⅱ）至少有人选择的项目属于民生工程的概率．变式2(08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．\n''由题意得，于是或（舍去），故．所以乙投球的命中率为．（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知．故甲投球2次至少命中1次的概率为解法二：由题设和（Ⅰ）知故甲投球2次至少命中1次的概率为（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为，，所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．题型六随机变量概率分布与期望解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。例题（2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；\n''（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3.由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P（=3）=P（A1·A2·A3）+P（）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，13P0.760.24P（=1）=1－0.24=0.76.所以的分布列为E=1×0.76+3×0.24=1.48.（Ⅱ）解法一因为所以函数上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而解法二：的可能取值为1，3.当=1时，函数上单调递增，当=3时，函数上不单调递增.0所以例题2（2005辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ\n''）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）（Ⅰ）解：…………2分52.5P0.680.322.51.5P0.60.4、（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是…………6分（Ⅲ）解：由题设知目标函数为……8分作出可行域（如图）：作直线将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时…………10分取最大值.解方程组得即时，z取最大值，z的最大值为25.2.……………12分变式1甲、乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击。（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。（2）若第次由甲射击的概率为，求数列的通项公式；求，并说明极限值的实际意义。\n''解：记A为甲射击，B为乙射击，则1）前4次射击中甲恰好射击3次可列举为AAAB，AABA，ABAA其概率为P=2）第次由甲射击这一事件，包括第n次由甲射击，第次继续由甲射击这一事件以第n次由乙射击，第由甲射击这一事件，这两事件发生的概率是互斥的且发生的概率分别为与则有关系式+=其中。=（），数列为等比数列。==实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两分别射击的次数接近相等。变式2（07重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．（18）（本小题13分）解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，且，，．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为．（Ⅱ）的所有可能值为，，，．，\n''，，．综上知，的分布列为求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）．解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，则有分布列故．同理得，．综上有（元）．\n''题型七离散型随变量概率分布列设离散型随机变量的分布列为它有下面性质：①②即总概率为1；③期望方差离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.例题1(2004年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望.②求这名同学总得分不为负分(即)的概率.解:的取值为；所以的概率分布为§100300P0.0080.0960.3840.512这名同学总得分不为负分的概率为\n''变式（2010天津理）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则==（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为=\n''所以的分布列是题型八标准正态分布例题（06湖北）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，参赛总人数约为≈526（人）。\n''（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（