教学测量与评价统计学 27页

教学中的测量与评价\n附1统计学基础知识\n统计是关于测验分数和其它数字资料的组织、分析和解释。教师至少应掌握能使他们完成下列工作的统计知识：1.分析和描述课堂测验的结果；2.理解测验手册和研究报告中的统计内容；3.理解测验中使用的各种结果参数。在此，介绍基本的统计概念和技能。内容包括：新术语知识；关于统计符号的知识；简单的数学运算技能;计算机辅助统计分析。涉及的统计测量：集中趋势的测量（平均程度）；差异的测量（分数的离散性）；关系的测量（相关性）。\n（一）分析未分组的分数从一组学生中直接获得的分数通常是随意（与分数无关的方式）排列的。如下表：表1\n1.简单排序通常，最大的分数排为1级，次大的分数排为2级；分数33出现了两次，落在了3级和4级的位置，所以将级数平均，每个分数排为3.5级。28分的同理。表2\n2.集中趋势的测量对表1中的分数进行计算可以得到平均值为30。由于平均值的计算用到了所有的分数，一个极高或极低的分数会产生影响。（1）（算术）平均值（Mean）平均值是最常用的集中趋势量度。其计算方法是将一列分数相加然后除以分数个数。表3\n中数的计算：如果分数的个数是奇数个，将其按从大到小的顺序（或这从小到大的顺序）排列，找出中间的分数；如果分数的个数是偶数个，将其按从大到小的顺序（或这从小到大的顺序）排列，然后找出中间的两个分数并算术平均；当分布的中间分数是相等的分数时，用中间分数的精确上下限做插值法。（2）中数（Median,简称Mdn或P50,）中数是将一列分数分为相等的两半的分数，无论每个分数的大小如何，总有一半分数在中数之上而另一半在中数之下。一个极高或极低的分数不影响中数的值。详情参见后面的实例表3\n（3）众数（Mode）众数是一列分数中出现次数最多的分数。如表1中的28分。众数是最不可靠的统计平均数，通常仅作为对集中趋势的一个初步估计。表3\n3.差异的测量如果知道了一列分数的离散程度，就可以更充分地描述这列分数。用表述分数离散程度的数学来确定这种不同，就是差异的测量。三种常用的差异量数（MeasuresofVariation）是：全距（Range）；标准差（StandardDeviation）；四分位距（Interquartilerange)。\n（1）全距全距是最简单最粗略的差异量数。其计算方法为最高分减去最低分。全距提供了对差异的快速估计，但它并不可靠，因为它基于两端分数的位置。例如：A、B两组同学的智商的平均值均为110。但是A组的最高和最低分分别为115和105，B组为140和80。如果在A组增加一位智商为140和一位智商为80的同学，则A、B两组的全距相同。\n（2）四分位差四分位差（Q）是表示一组分数的分散情形。它是根据分数中间值（50％处）为Q2，25％处为Q1，以及75％处为Q3的四分位差值来表述数据分散情形的。显然，Q不是一个点，而是一段距离。（计算方法与中数的计算方法类同。）\n（3）标准差（SD）差异和分数分布的最有用的量度是标准差。它本质上是一系列分数偏离其均值的平均程度。由于它考虑了每一个分数与均值的偏差，因而与全距和四分差相比，是差异的最稳定的量度。计算方法：用每个分数减去算术平均值，得出差值“X”，即离均差；求出每个离均差的平方“X2”；求∑X2；求(∑X2)/N，然后开方所得的算术平方根即是。SD一样代表的是一段距离。当分数分布为正态分布时，它等于平均值上下包括大约68%的个体的分数距离。\n表4\n在前面，主要阐述了如何计算未分组的统计值。这种方法对于分析较少的数据十分有用。然而，在处理25个以上的分数时，最好的方式是将分数组合成次数分布，然后进行统计计算。不过，现在计算机已经比较普及，利用专业的软件，可以比较轻松地对大量的数据进行分析。在这里，将分数组合成次数分布的形式进行统计计算的内容，作为方法和分析拓展来给予讲解。\n（二）对分组数据的统计计算1.组成次数分布表以表5中的处理过程为例，说明在设计表时需要遵循的几点。表5分数区间的个数通常在10～20之间；在确定最适当的分数区间时，可以用全距除以15，并取最接近商的奇数。因为奇数可使每个区间的中点为整数；表中所有的分数区间大小一致；分数区间的端点不能重复；分数间隔按顺序排列，一般最大值在顶端。全距=49-18=31全距/15=2.07区间大小为3。\n真正的上限和下限以表5中的处理过程为例，分数间的间隔为1，测验分数仅表示一段距离的中点，如20分代表19.5～20.5的一段距离，21分代表20.5～21.5的一段距离，这样分数才能够完好衔接。因此，分数区间真正的上限和下限也要进行相应的处理。例如：18～20分的区间的真实上限是20.5分，真实下限是17.5分。用分数表示上下限是为了使用上的方便；在一定的统计计算中，则需要使用真正的上、下限。\n2.次数分布图最常用的有两种：直方图：用一系列长方条来表示数据，长方条的底与分数区间相对应，其高度表示次数，即落在该分数区间内的学生人数。次数多边形：多边形的顶点的横坐标是每个区间的中点，相应的纵坐标是次数。\n3.中数和四分位差的计算（1）中数（Mdn）的计算分数的总数N除以2；（可能是小数，或直接用N/2）从次数一栏的下端开始，将每个区间的次数相加，知道包含中数的区间为止；用N/2减去上一步中求出的和；用上一步得到的数字除以中数所在区间（简称：中数区间）中的分数个数，然后乘以区间的宽度；将上一步的结果加上中数所在区间的真实下限，所得结果就是中数。40÷2=20;1+2+3+4+7=17;20-17=3;3/8×3=1.13;32.5+1.13=33.63=Mdn\n上述过程可以写为公式表示，其中：L－中数所在区间的真实下限；N－全部分数的个数；S－L以下所有区间的分数之和；f－中数区间的次数或分数个数；I－区间的宽度。\n（2）四分位差（Q）的计算用公式求出Q1和Q3的值。公式中的值的含义和计算中数的公式中的一致，但L和f现在是指相应的四分位数所在的区间。用Q减去Q然后除以2，就可以得到四分位差的值。对表5中的数据来说：Q1=29.5,Q3=38.0Q=4.25现在可以用中数33.63和四分位差4.25来描述表5中的数据。也就是说：这一列分数的中点是33.63，而且在它上、下各四分位差包含中间大约50％的分数（正态分布中为50％），这种简单的统计描述可以代替整个分数的分布。\n4.平均值和标准差的计算（算术）平均值和标准差的意义和计算公式已经在前面给出。但是，在使用次数分布表的时候却不是怎么方便，需要做一些修改后，按一系列简单步骤完成计算后，即可达到目的。下面是具体的步骤：\n靠近分数分布中间的位置选择任一分数区间，令该区间在偏差(d)一栏中为0，这一区间的中间为假设的均值，即AM，在上表中为区间33-35的中点34；确定每个区间与零区间的偏差(d)并填入(d)栏中；算出(fd)和(fd2)；表6\n代入下列公式中，其中AM－假设均值C－校正数I－分数间隔的宽度对表6中数据的计算结果：\n（三）相关系数的计算相关系数表达了两列分数相互关联的程度，其取值范围为[+1，-1]，+1表示完全正相关，-1表示完全负相关，为0时表示两列分数之间不相关。但是，这仅仅是从数学上而言，具体的意义还需要具体的分析。其手工计算方法较为复杂，在此不再讨论。值得指出的是：相关系数表示两列分数相互关联的程度，而不是因果关系。如果X列分数与Y列分数相关，可能有以下几种解释：X是Y的原因；Y是X的原因；X和Y可能存在共同的原因。X和Y仅存在数学意义上相关，而无实际意义。\n一般情况下，相关系数：0～0.3，表明无相关性；0.3～0.5，表明低度相关；0.5～0.8，表明显著相关；0.8～1，表明高度相关；\n（四）计算机辅助计算分析用于统计分析的软件较多，最常用的专业软件有SPASS、STATA等。一般性的分析可以用MS-Office中的Excel及其同类的Open-office中的表格，WPS表格，永中Office表格等。具体的可以查阅相关资料，例如Excel的帮助文件。而且一般情况下，使用Excel及其同类软件就可以满足我们的需要。\n前面为了应用上的方便，简单明了地介绍了几种常用的统计分析参量。具体使用时，目前计算机已经非常普及，只要按照相关软件的要求执行即可。其它的还有t-检验、z-检验等，在这里就不专门介绍了，需要的时候可根据情况自己查阅相关资料。（五）小结