统计学3统计综合指标 169页

第二章要点回顾统计调查的分类：全面调查&非全面调查[调查对象的范围];经常性调查/连续性调查&一次性调查/间断性调查[调查登记的时间是否连续];统计调查的各种形式：普查、统计报表制度、抽样调查、重点调查和典型调查。统计分组：原则：穷尽性（不漏）和互斥性（不重）。分类：简单分组&复合分组[标志的多少]；品质分组&数量分组[标志的性质]；数量分组有单项式和组距式两种。组距式分组又有离散型与连续型、等距与异距分组之分，对于组距式分组要计算组距、组数、组中值。\n第二章要点回顾变量数列：要素：总体按某种标志所分的组；分组标志在各组的数量表现形成标志值数列，又称变量，用x表示；频数：分布在各组的单位个数，又称次数、频次；用f表示；反应对标志值平均水平所起的作用（P58）；频率：各组次数与总次数之比叫，又称比率、比重。频率非负[0,1]且和为1分配数列（统计表）的编制：组数与组距的确定分配数列的图示（补充）：品质数列：柱（条）形图、饼形图变量数列：直方图、折线图、茎叶图累积分配数列的编制与图示、洛伦兹曲线与基尼系数、频数分布的类型\n第二章作业P66，习题2.5原始数据9678959219788219246518509269469388008649198639819168189008938909541006926900999886112090586681697810009181040854110090092810279469999508641050927949852928886\n第二章作业答案P66，习题2.5排序：6518008168188218508528548638648648668868868908938959009009009059169189199219249269269279289289389469469499509549679789789819999991000100610271040105011001120n=50；斯特杰斯经验组数约6~7全距=1120-651=469;组距100，5组除去651，全距=1120-800=320；组距50，……\n第二章作业P66，习题2.5答案?按消费支出分组(元)x频数（人)f频率(%)向上累计向下累计频数频率频数频率850以下850~900900~950950~10001000~10501050以上5121884310243616865173543475010347086941005045331573100906630146合计50100----------------\n第二章作业P66，习题2.5答案?按消费支出分组(元)x频数（人)f频率(%)向上累计向下累计频数频率频数频率650~750750~850850~950950~10501050以上143012328602461535475021070941005049451531009890306合计50100----------------\n统计研究的过程收集数据(取得数据)整理数据(处理数据)解释数据(结果说明)分析数据(研究数据)实际问题统计设计\n统计研究的过程研究数据部分总体总体之间关系总体时间变化单位总体综合指标推断统计相关与回归指数、时间序列\n第三章统计综合指标统计学\n第三章统计综合指标统计调查统计整理调查设计有效数据综合指标：总体特征代表值两类代表值：总体规模或结构——总量指标、相对指标；总体分布变动（集中、离中）趋势——平均指标、变异指标。\n第三章统计综合指标教材内容：第一节总量指标和相对指标第二节平均指标第三节变异指标\n第三章统计综合指标大纲要求：掌握：总量指标的分类及计量单位；相对指标的分类；平均指标（算术平均、调和平均、中位数、众数）的计算；变异指标（方差和标准差）的计算和应用；\n第一节总量指标和相对指标一、总量指标：一）、概念和作用：总量指标是反映社会经济现象在一定时间、地点、条件下的总规模或总水平的统计综合指标。是总和指标，如GDP、GNP、总人口数、总面积、总产值、总投资、总成本、总利润等等。数值表现为绝对数,又称为绝对指标或绝对数。是各项数据代数和运算的结果。\n第一节总量指标和相对指标一、总量指标：一）、概念和作用：总量指标在社会经济统计中的作用：是反映社会经济现象总体数量特征的基本手段，可以反映一个国家的基本国情和国力，反映部门、单位等人力、物力、财力的基本数据。是计算相对指标、平均指标以及各种分析指标的基础指标，其他指标都是总量指标的派生指标。\n第一节总量指标和相对指标二）、总量指标的种类：(一)按其反映的内容：单位总量和标志总量：单位总量表示总体单位总数，反映规模大小；只一个总体标志总量则说明总体特征的总数量；可以多个。两者的关系：两者的位置随研究目的的不同而变化。例：城市：常住居民人口数大于10万。某省城市人口在10-50万的有25个；50-90万的有9个；超过100万的有8个。该省城市总数25+9+8=42个是单位总量指标。而该省城市人口总数2500万是标志总量指标。但是若是计算该省42个城市2500万城市居民的“人均收入”时，人口总数2500万就属于总体单位总量！\n第一节总量指标和相对指标二）、总量指标的种类：(二)按其反映的时间状况：时期指标和时点指标：时期指标反映现象在某一时期发展过程的总数量；具有累加性，受时期长短影响（成正比），需要通过连续不断的调查、记录取得。表现为流量。须著名所属的时间范围。时点指标则反映现象在某一时刻上的状况总量。与时点间隔长短无直接影响；可以通过一次性的调查、记录取得；相加无意义。表现为存量。须注明所属的时刻。\n第一节总量指标和相对指标二）、总量指标的种类：例：区分单位总量与标志总量；时期指标与时点指标。单位名称企业数（个）职工人数（人）固定资产增加额（万元）工业增加值（万元）纺织局化工局机械局300250450800050007000100020002000200500300合计10002000050001000总体标志总量时点指标时期指标总体单位总量\n第一节总量指标和相对指标三）、总量指标的计算需注意：1、必须注意现象的同类性；2、必须明确每项总量指标的统计涵义，时期或时点；3、必须做到计量单位一致。四）、总量指标的计量单位⑴实物单位：①自然单位：人、辆；②度量衡单位（国家规定）：千克、吨、亩；③复合单位（两种单位的乘积）：吨公里、千瓦时、工时；④双重单位或多重单位（多单位共同反应总量）：千瓦/台（/为分隔，不表示除、每等意义）；⑤标准实物（按一定标准折合）：氮肥按含氮量折算。\n第一节总量指标和相对指标四）、总量指标的计量单位⑴实物单位：优点：直接反映事物数量、直接表明规模和水平；缺点：不同事物无法直接汇总、难以反映总规模。⑵货币单位：货币作为价值尺度对社会物质财富或者劳动成果进行计量价值指标：以货币单位计量的总量指标。①现行价格价值指标：按当时实际价格计算；②不变(固定)价格价值指标：按选定时期价格计算，扣除价格变动；综合概括反映总规模总水平、抽象不完全反映实际情况。⑶劳动单位：劳动时间作为计量单位。工时、工日。“价值是凝结在商品中的无差别的人类劳动。”——马克思跨行业的劳动量有不同的质，汇总没有意义；\n第一节总量指标和相对指标五）、总量指标的数学性质[P71]：（标志）总量指标是变量相加的结果常数相加为乘法；提取公因式；加法可交换顺序；\n第一节总量指标和相对指标五）、总量指标的数学性质[P71]：依次利用性质3、1、2；两次使用2；实质还是加法可交换顺序。\n第一节总量指标和相对指标课堂练习（）实物指标可以直接反映复杂现象的总规模和总水平。（）价值指标可直接反映产品的使用价值。（）标志总量等于总体单位总量之和。（）劳动量指标只能在企业内部使用，不同企业的劳动量指标不能进行比较。（）商品库存额和商品销售额都是时点指标。××××√\n第一节总量指标和相对指标二、相对指标：一）、相对指标的概念、作用及表现形式相对指标：由两个相互联系的指标相对比而成的比值。也称相对数。反映客观现象之间的对比关系。作用：具体表明社会经济现象之间的比例关系，反映现象的发展程度、结构、强度、普遍程度，为认识事物发展的质量与状况提供依据。经济发展一般保持一定的比例关系。可以使不能直接对比的现象找到可以对比的基础。相对指标便于记忆。\n一）、相对指标的概念、作用及表现形式表现形式：有名数（复名数）、无名数。相对指标是两个指标对比（相除）形成的一个抽象的数值，反映现象之间的对比关系。按分子分母单位的异同可分为：无名数：分子分母单位相同的指标得到的相对指标不具单位，抽象反映分子是分母的多少倍或几分之几。按分母抽象化为1、10、100、1000、10000等分为系数（倍数）、成数、百分数、千分数、万分数等。有名数（复名数）：分子分母计量单位不同时，由分子和分母的单位共同构成相对指标的单位。如人口密度（人/平方）；人均国民生产总值（元/人）等。第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法根据分子与分母之间的相对关系，相对指标通常分为：结构相对指标、比例相对指标、计划完成相对指标、动态相对指标、比较相对指标、强度相对指标。第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法第一节总量指标和相对指标（一）结构相对指标（局部／整体）同一个总体中，在统计分组基础上，以总体总量为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。也称比重、比率或频率。一般表现为百分数。公式：例：某班学生性别构成情况性别人数比重(%)男女30107525合计40100\n二）、相对指标的种类和计算方法第一节总量指标和相对指标（一）结构相对指标（局部／整体）作用：1、可以反映总体内部结构的特征。2、通过不同时期相对数的变动，可以看出事物结构的变化过程及其发展趋势。3、能反映对人力、物力、财力的利用程度及生产经营效果的好坏。合格率……4、结构相对数（频率）在平均数计算中的应用。性质：结构相对数（频率）之和等于1；\n二）、相对指标的种类和计算方法第一节总量指标和相对指标（二）比例相对指标（局部／局部）同一个总体中，在统计分组基础上，一组数值对另一组数值之比，来反映总体内部对比情况的综合指标。百分数或者分子分母对比的形式（相加100）。公式：例：1、如某班男女生比例为3：1。2、我国2005年末，城镇人口与乡村人口的比例为43:57;3、2005年末,我国一、二、三产业就业人数比例为45：24：31\n二）、相对指标的种类和计算方法（三）计划完成程度相对指标（实际／计划）1、概念：是以现象在某一段时间内实际完成数与计划任务数对比，借以考察计划完成程度。又称计划完成百分比又称计划完成率、计划完成百分比（数），通常用“%”表示。产量、利润等计划完成程度指标高为好；耗费、成本等计划完成程度指标低为好。2.一般计算公式：第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（三）计划完成程度相对指标（补充）3、计划执行进度的考核：4、长期计划的检查：(1)水平法(2)累计法第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（三）计划完成程度相对指标（补充）第一节总量指标和相对指标月份计划产量实际产量一二三180018001800122517202665合计54005610计划完成程度（%）68.0695.56148.06103.89例：某企业生产某种产品产量计划完成情况如下：单位（吨）2、检查累计至二月份的产量计划执行进度情况。1、检查各月产量计划完成情况。（计算结果见上表）\n二）、相对指标的种类和计算方法（三）计划完成程度相对指标（补充）5、计划完成相对数的作用：(1)可以准确地说明各项计划指标的完成程度，为搞好经营管理提供依据。(2)可以反映计划执行进度，以便及时发现问题，提出措施，推动经济建设的良好发展。(3)可以反映经济计划执行中的薄弱环节，鼓励执行计划的落后者向先进者看齐，为组织新的平衡提供依据。第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（四）动态相对指标（报告期／基期）概念：也称发展速度，指同类现象（同一指标）在不同时间上对比，表明现象在时间上发展变化的方向和程度的综合指标。公式：作为对比标准的时间叫做基期，而同基期比较的时期叫做报告期，有时也称为计算期。一般基期在前？动态相对数的计算结果用百分数或倍数表示第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（五）比较相对指标(同类指标数值在不同空间、不同条件下的比较)定义：由不同单位（国家、地区、企业、个人等）【两个总体】的同类指标对比而确定的相对数，用以说明同类现象在同一时间内不同条件下的数量对比关系。计算：第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（五）比较相对指标(同类指标数值在不同空间、不同条件下的比较)例1：中国国土面积为960万平方公里，美国为937万平方公里，两者之比为（960／937）×100％＝102.45％例2：甲乙两企业的劳动生产率分别为19307元／人年和27994元／人年；则甲乙两企业的劳动生产率比较相对数＝19307／27994＝69％。注意:要将标准放在分母处，作为比较的根据。比如国际标准、与国内标准、行业标准、地区标准、先进标准等。第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（六）强度相对指标定义：两个性质不同而有联系（同一范围不同总体）的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度、普遍程度。计算：第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（六）强度相对指标强度相对数的两种表示方法：(1)一般用复名数表示：如人口密度、人均粮食产量等。(2)少数用百分数或千分数表示：如人口自然增长率、流通费用率。注：强度相对数不是平均数，不是同质总体的标值总量与总体单位数之比。第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（六）强度相对指标强度相对数的正逆指标(补充)如：前者是从正方向说明现象的密度，后者是从相反方向说明现象的密度。第一节总量指标和相对指标\n二）、相对指标的种类和计算方法（小结）第一节总量指标和相对指标不同时期比较动态相对数强度相对数不同现象比较不同总体比较相对数同一总体部分与部分比较部分与总体比较实际与计划比较比例相对数结构相对数计划完成相对数同一时期比较同类现象比较（无量纲）\n三）、正确运用相对指标的原则:（一）注意两个对比指标的可比性基数的选取（P74表3-2）:缺勤率&缺勤结构相对指标；犯罪率&犯罪结构相对指标；动态相对指标的基期应选正常年份；……（二）相对指标要和总量指标结合起来运用；（三）多种相对指标结合运用；（四）在比较两个相对指标时，是否适宜相除再求一个相对指标，应视情况而定。第一节总量指标和相对指标\n四）、相对指标的数学性质：[P75]：频率之和等于1：同分母（通分）；结构指标之比等于比例指标：约分；各组相对指标全k，总体相对指标亦k；第一节总量指标和相对指标\n四）、相对指标的数学性质：[P75]：各组相对指标不同，总体相对指标加权平均；A多B的百分数k，B少A的百分数k/(1+k)；第一节总量指标和相对指标\n第一节总量指标和相对指标课堂练习（）利用相对指标可以明确地反映现象和过程的相对水平和一般水平。（）比较相对指标是由两个性质不同而又有联系的现象的总量之比。（）某厂产值计划在去年的基础上提高8%，实际执行的结果仅提高4%，则产值计划的任务仅实行一半。×××\n课堂练习（）比较相对数可用于A、不同国家和不同单位之间的比较B、不同时期的比较C、部分与总体的比较D、不同现象的比较（）某厂全员劳动生产率计划在去年的基础上提高8%，实际仅提高4%，该厂劳动生产率计划完成程度为A、50%B、96.29%C、104.35%D、94%A第一节总量指标和相对指标B\n第一节总量指标和相对指标课堂练习（）人口密度指标应属于A、比较相对数B、强度相对数C、结构相对数D、动态相对数（）下列计划完成程度指标应以大于或等于100%为好的是A、产品成本B、劳动生产率C、产品原材料消耗D、废品率（）下列属于相对指标的有A、国民收入B、劳动生产率C、平均工资D、人口密度BBB,D\n第一节总量指标和相对指标课堂练习（）相对指标的数值表现形式是A、无名数B、比例数C、结构数D、有名数E、绝对数（）比较相对数可用于A、不同国家、地区、单位之间的比较B、不同时期的比较C、部分与总体比较D、落后水平与先进水平的比较（）相对指标中，分子分母可以互换的是A、结构相对指标B、比较相对指标C、比例相对指标D、强度相对指标E、动态相对指标F、计划完成程度A,DA,DB,C,D\n课堂练习某企业1990年第二季度的有关资料如下表：（1）计算该厂七、八、九各月及第三季度实际的全员生产率（2）各月和季度全员生产率计划完成情况指标。（提示：生产率即人均产值）第一节总量指标和相对指标\n答案课堂练习解：（1）七月全员实际生产率=163.8/954=0.1717(万元/人）八月全员实际生产率=169.4/982=0.1725(万元/人）九月全员实际生产率=174.1/986=0.1766（万元/人）（2）七月全员生产率计划完成程度=（163.8/954)/(165.2/960)=99.77%八月全员生产率计划完成程度=（169.4/982)/(167.5/970)=99.88%九月全员生产率计划完成程度=（174.1/986)/(172.3/983)=100.74%季度全员生产率计划完成程度=（507.3/2922)/(505/2913)=100.12%第一节总量指标和相对指标\n课堂练习甲乙两个国家1997年和1998年钢产量资料如下：试通过计算强度相对数、比较相对数和动态相对数来比较说明甲乙两国刚产量发展情况。第一节总量指标和相对指标：\n课堂练习强度相对数：甲国1997年：3000/6000=0.5万吨/万人1998年：3300/6000=0.55万吨/万人乙国1997年：5000/7145=0.7万吨/万人1998年：5250/7192=0.73万吨/万人比较相对数：1997年：钢产量比较=3000/5000=60%人口比较=6000/7145=84%1998年：钢产量比=3300/5250=62.86%人口比较=6000/7192=83.43%动态相对数：甲国钢产量发展速度=3300/3000=110%乙国钢产量发展速度=5250/5000=105%第一节总量指标和相对指标\n一、平均指标的概念、作用和表现形式平均指标：反映客观现象总体单位数量标志表现一般水平的综合指标，是同质总体各单位某一标志值在一定时间、地点、条件下的一般水平的代表值。又称平均数。特点：1、将数量差异抽象化，只反映一般水平；2、总体各单位标志值分布集中趋势的特征值（一般“两头小、中间大”，越靠近平均数的标志值次数越多）；3、只能就同类现象（同一标志）计算。第二节平均指标\n一、平均指标的概念、作用和表现形式作用：1、平均指标可用于同类现象在不同空间条件下的对比。2、平均指标可用于同一总体指标在不同时间的对比。3、平均指标可作为论断事物的一种数量标准或参考。4、平均指标也可用于分析现象之间的依存关系和进行数量上的估算。第二节平均指标\n一、平均指标的概念、作用和表现形式表现形式：根据分布数列中各单位的标志值计算而来的，称数值平均数。包括算术平均数、调和平均数、几何平均数等根据分布数列中的某些标志值所处的位置来确定的，称位置平均数。包括众数、中位数、四分位数等。第二节平均指标\n二、算术平均数（一）算术平均数的基本公式注：平均指标和强度相对数的区别：平均指标：分子和分母在经济内容上有从属关系，即分子数值是各分母单位特征的总和，两者在总体范围上是一致的。如工资总额除以职工数；粮食产量除以播种面积；强度相对指标：两个性质不同而有联系（同一范围不同总体）的总量指标之间的对比。第二节平均指标\n第二节平均指标课堂练习（）全国平均每人分摊的粮食产量是A、强度相对数B、平均数C、结构相对数D、比较相对数（）下列指标中属于平均指标的是A、人均钢产量B、职工月平均工资C、人均国内生产总值D、人均粮食产量（）算术平均数的分子分母可以互换。AB×\n二、算术平均数(二)简单算术平均数(未分组资料)【例】：某工厂某生产班组有11名工人，各人日产量为15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30件，求平均日产量。【解】：平均日产量=（15+17+19+20+22+22+23+23+25+26+30）/11=22特点：大小受标志值影响，平均值代表一般水平第二节平均指标\n二、算术平均数(三)加权算术平均数(分组资料)x代表变量，f是次数或频数。统计上把f称为权数。用加权方法计算的算术平均数叫做加权算术平均数;也可用频率计算第二节平均指标\n[例]某厂工人生产情况(平均日产量=1194/50=23.88)工人按日产量零件分组(X)工人人数(f)总产量(Xf)20120214842261322381842412288251025026718227254合计501194第二节平均指标\n[例]某厂工人生产情况(按频率计算平均日产量)工人按日产量零件工人人数X·f/∑f分组(X)绝对数(f)频率f/∑f2010.020.402140.081.682260.122.642380.163.6824120.245.7625100.205.002670.143.642720.041.08合计501.0023.88第二节平均指标\n二、算术平均数(三)加权算术平均数(分组资料)单项式数列：每组变量只有一个取值x；组距数列：每组变量是一个区间，以组中值代表该组标志值x，然后计算加权算术平均数。该计算方法具有一定的假定性。即假定各单位标志值在组内是均匀分配的。组内分配越均匀，组中值的代表性越强。各种情况组中值的计算：开口组、连续变量离散化、离散变量连续式分组……第二节平均指标\n[例]：某企业工人日产量的算术平均数计算表（人均日产量=13550/164=82.62）按日产量分组工人数组中值Xf(千克)fX60以下105555060-701965123570-805075375080-903685306090-10027952565100-110141051470110以上8115920合计164--13550第二节平均指标\n第二节平均指标工资（元）组中值x职工人数xfx（f/∑f）ff/∑f400—500500—600600—700700—80045055065075050701206016.723.340.020.02250038500780004500075.15128.15260.00150.00合计—300100184000613.3平均工资：[例]：根据资料，用频数和频率两种权重方法计算平均工资\n二、算术平均数注意事项：xf为标志值组内总量，资料中有多个频数f时，须选用正确的频数。P79例3-6加权算术平均数与简单算术平均数的异同：加权算术平均数受到两个因素的影响，即变量值大小x和次数多少f的影响；简单算术平均数只反映变量值大小x这一因素的影响。简单算术平均是加权算术平均平均f=1的特例；在某些特殊情况下二者可能相等。第二节平均指标\n（四）算术平均数的数学性质1、各个变量值与算术平均数的离差之和等于零。2、各个变量值与算术平均数的离差平方之和等于最小值。第二节平均指标\n（四）算术平均数的数学性质3、各标志值同时加、减、乘、除任意一个不为零的常数A，算术平均数也要相应加、减、乘、除A。应用：当变量值很大，或很小，导致计算算术平均数工作量加大时，可以做以下的变量调整：第二节平均指标\n（四）算术平均数的数学性质4、n个独立总体各变量代数和的平均数等于各总体变量平均数的代数和。5、n个独立总体各变量乘积的平均数等于各总体变量平均数的乘积。第二节平均指标\n（五）算术平均数有两点不足：1、算术平均数易受极端变量值的影响，使的代表性变小，而且受极大值的影响大于受极小值的影响。截尾平均数：去掉两端若干数值后计算均值；2、当组距数列为开口组，或者组内分布很不均匀时，组中值的代表性不可靠，导致的代表性也不很可靠。第二节平均指标\n第二节平均指标课堂练习（）各标志值与算术平均数的离差和为最小值。（）算术平均数不易受极端值的影响。（）以下那种情况下，加权算术平均数等于简单算术平均数A、各组次数相等B、各组变量值不等C、各组次数不等D、各组次数都是1××A,D\n三、调和平均数一）、调和平均数的计算方法：调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数，又称“倒数平均数”。根据计算（资料）形式分简单调和平均数（未分组资料）加权调和平均数（分组资料）第二节平均指标\n三、调和平均数一）、调和平均数的计算方法：[例]：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为0.25元/斤。若早、中、晚各买1斤，求平均价格。[例]：如果早、中、晚各买1元，求平均价格前例为算术平均、后例为调和平均第二节平均指标\n三、调和平均数一）、调和平均数的计算方法：[例]：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为0.25元/斤。现早、中、晚各买2元、3元、4元，求平均价格第二节平均指标这里用到加权调和平均数公式。\n三、调和平均数一）、调和平均数的计算方法：[例]：一个水池有甲、乙两个进水管,单开甲管1小时可将水池注满,单开乙管2小时可将水池注满,问同时甲、乙两管多久才能将水池注满?第二节平均指标\n二）、比值平均数比值平均数：相对数或平均数的平均数如：根据各分公司（月度）的计划完成程度计算全公司（全季度）的平均计划完成程度；各乡的粮食平均亩产量计算全县粮食平均亩产量；需要明确比值的涵义，即分子分母各是什么指标，比值平均数必须符合原比值的涵义。如：分公司（月度）的计划完成程度为分公司实际产量除以分公司计划产量，全公司（全季度）的平均计划完成程度则为全公司实际产量除以全公司计划产量……既可能是调合平均数，也可能是算术平均数，由资料中已知数据决定。第二节平均指标\n二）、比值平均数(一)计算相对数的平均水平[例]：某公司各企业计划完成程度情况工厂计划完成程度(%)X计划产值(万元)fXf甲951200乙10512800丙1152000合计16000第二节平均指标\n二）、比值平均数(一)计算相对数的平均水平[例]某公司各企业计划完成程度情况工厂计划完成程度(%)X计划产值(万元)fXf甲9512001140乙1051280013440丙11520002300合计1600016880平均计划完成程度=16880/16000=1.055比值分母的资料已知，用加权算术平均。第二节平均指标\n[例]某公司各企业平均计划完成程度计算表工厂计划完成程度(%)X实际产值(万元)mm/X甲951140乙10513440丙1152300合计16880第二节平均指标二）、比值平均数(一)计算相对数的平均水平\n[例]某公司各企业平均计划完成程度计算表工厂计划完成程度(%)X实际产值(万元)mm/X甲9511401200乙1051344012800丙11523002000合计1688016000平均计划完成程度=16880/16000=1.055比值分子的资料已知，用加权调合平均。第二节平均指标二）、比值平均数(一)计算相对数的平均水平\n第二节平均指标计划完成程度企业数实际产值(%)(个)(万元)80—9055090—1001080100—110120200110—1203070合计165400组中值m(%)xx8559958410519011561—394m例：某工业局下属各企业按产值计划完成程度分组资料如下，根据资料计算该工业局产值平均计划完成程度：xxm∑m∑=平均计划完成程度=400394=101.52%说明：该工业局实际比计划多完成6万元，超额1.52%完成产值计划任务。计划产值\n二）、比值平均数(二)计算平均数的平均数[例]某商品在三个贸易市场上的销售情况市场平均价格(元/千克)X销售量(千克)fXf甲2.0030000乙2.5020000丙2.4025000合计75000第二节平均指标\n[例]某商品在三个贸易市场上的销售情况市场平均价格(元/千克)X销售量(千克)fXf甲2.003000060000乙2.502000050000丙2.402500060000合计75000170000平均价格=170000/75000=2.27分母已知，用加权算术平均第二节平均指标二）、比值平均数(二)计算平均数的平均数\n[例]某商品平均价格计算表市场平均价格(元/千克)X销售额(元)mm/X甲2.0060000乙2.5050000丙2.4060000合计170000第二节平均指标二）、比值平均数(二)计算平均数的平均数\n[例]某商品平均价格计算表市场平均价格(元/千克)X销售额(元)mm/X甲2.006000030000乙2.505000020000丙2.406000025000合计17000075000平均价格=170000/75000=2.27分子已知，用加权调合平均第二节平均指标二）、比值平均数(二)计算平均数的平均数\n三、调和平均数不同资料用不同形式计算平均数若掌握权数资料是基本公式的母项数值，则直接采用加权算术平均数形式；若掌握权数资料是基本公式的子项数值，则须采用调和平均数形式。结果是等价的第二节平均指标\n三、调和平均数三）、调和平均数特点：1、如果数列中有一标志值等于零，则无法算；2、它作为一种数值平均数，受所有标志值的影响，它受极小值的影响大于受极大值的影响，但较之算术平均数，受极端值的影响要小。第二节平均指标\n第二节平均指标课堂练习（）某公司所属三个商店报告期计划规定应完成销售额分别为500万元、700万元、600万元，计划完成数分别为110%、115%、105%，则三个商店平均计划完成程度为A、107%B、109.9%C、110%D、110.3%解：平均计划完成程度=总实际销售额/总计划=(5*1.1+7*1.15+6*1.05)/(5+6+7)=1.1028D\n四、几何平均数一）、几何平均数的计算方法：几何平均数是若干项变量值连乘积开其项数次方的算术根，又称“对数平均数”。（一）简单几何平均数在实际工作中，常用即几何平均数是各个变量值对数的算术平均数的反对数。第二节平均指标\n四、几何平均数一）、几何平均数几何平均数一般用于计算动态相对指标的平均值例：2000-2005年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。第二节平均指标\n四、几何平均数一）、几何平均数（二）加权几何平均数当各个变量值的次数（权数）不相同时，应采用加权几何平均数，其计算公式为将公式两边取对数，则为第二节平均指标\n四、几何平均数一）、几何平均数（二）加权几何平均数例：某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。第二节平均指标\n四、几何平均数一）、几何平均数几何平均数的特点：1、如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算；2、受极端值影响较算术平均数和调和平均数小，故较稳健。第二节平均指标\n四、几何平均数二）、数值平均数的推广——幂平均数：k=1时，是算术平均Ak趋于0时，趋于几何平均G；k=-1时，是调和平均H。M(k)是k的递增函数，因此，例见P86.第二节平均指标\n四、几何平均数二）、数值平均数的推广——幂平均数：正确选用数值平均数：几何平均数适合动态指标：平均发展速度、平均增长率等；其他情况一般用算术平均数或调和平均数：分母资料已知用算术平均数；分子资料已知用调和平均数；用错平均数会产生误差：第二节平均指标\n某水果店的苹果有三种等级，价格不同（见下表），要求分别计算各买一元和各买一斤的平均价格；假设某人共买12斤，其中二、三等级各占30%，试求苹果的平均价格又为多少？第二节平均指标课堂练习\n（1）各买1元：H=3/(1/1+1/0.8+1/0.6)=0.77元/斤（2）各买1斤：均价=(1*1+1*0.8+1*0.6)/3=0.80元/斤（3）共买12斤，其中二、三等级各占30%均价=1*0.4+0.8*0.3+0.6*0.3=0.82元/斤第二节平均指标课堂练习\n某地甲乙两个蔬菜市场某月份白菜的销售价格及其销售额资料如下：试分别计算这两个市场某月白菜的平均销售价格，哪一个市场白菜的平均价格较高？为什么？第二节平均指标课堂练习\n甲市场平均销售价格=（130000+60000+55000）/（130000/0.65+60000/0.6+55000/0.55)=245000/400000=0.6125=0.61(元/斤)乙市场平均销售价格=（65000+60000+11000）/（65000/0.65+60000/0.6+11000/0.55)=136000/220000=0.6182=0.62(元/斤)乙市场均价高于甲市场，因为一等品的比例更高第二节平均指标课堂练习\n某商店某商品销售情况如下表，试用简单算术平均数、加权算术平均数、加权调和平均数等不同方法来计算该商品的平均价格，说明三种计算结果一致的原因。第二节平均指标课堂练习\n简单算术平均值=(1.1+0.9+0.7)/3=0.9元/斤加权算术平均值=(1000×1.1+500×0.9+1000×0.7)/(1000+500+1000)=0.9元/斤加权调和平均值=（1100+450+700）/(1100/1.1+450/0.9+700/0.7)=0.9元/斤算术与调和平均本应相等；加权与简单算术平均相等：正常价与处理价销售量相同，且二者简单平均与优待价相等。第二节平均指标课堂练习\n加权与简单算术平均相等：正常价与处理价销售量相同，且二者简单平均与优待价相等。第二节平均指标课堂练习\n五、位置平均数：中位数和众数一）中位数（一）中位数：现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值就是中位数。（二）中位数的计算方法1、由未分组资料确定中位数。若总体单位数是奇数，则居于中间位置的那个单位的标志值就是中位数。若总体单位数是偶数，则居于中间位置的两项数值的算术平均数是中位数。第二节平均指标\n五、中位数和众数1、由未分组资料确定中位数。【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789第二节平均指标中位数1080\n五、中位数和众数1、由未分组资料确定中位数。【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:66075078085096010801250150016302000位置:12345678910第二节平均指标\n五、中位数和众数（二）中位数的计算方法2、由单项数列确定中位数。求中位数位置=计算各组的累计次数(向上累计次数或向下累计次数)根据中位数位置找出中位数。第二节平均指标\n【例】某厂工人日产零件中位数计算表按日产零件分组工人数向上累计次数向下累计次数（件）（人）26338031101377321427673427545336187226418808合计80----第二节平均指标五、中位数和众数（二）中位数的计算方法2、由单项数列确定中位数。\n3、由组距数列确定中位数。先按的公式求出中位数所在组的位置，然后再用比例插值法确定中位数的值。下限公式（向上累计时用）：上限公式（向下累计时用）：第二节平均指标五、中位数和众数（二）中位数的计算方法\n3、由组距数列确定中位数。下限公式（向上累计时用）：上限公式（向上累计时用）：第二节平均指标五、中位数和众数（二）中位数的计算方法\n3、由组距数列确定中位数。上限公式（向下累计时用）：下限公式（向下累计时用）：第二节平均指标五、中位数和众数（二）中位数的计算方法\n3、由组距数列确定中位数。向上累计上、下限公式等价性：向上、下累计上限公式等价性：第二节平均指标五、中位数和众数（二）中位数的计算方法\n【例】某企业工人日产量的中位数计算表按日产量分组工人数向上累计次数向下累计次数（千克）（人）60以下101016460-70192915470-80507913580-90361158590-1002714249100-1101415622110以上81648合计164----第二节平均指标164/2=82中位数所在组164/2=82中位数所在组五、中位数和众数（二）中位数的计算方法3、由组距数列确定中位数。\n第二节平均指标解：中位数位置=,在80—90这一组内，根据向上累计下限公式计算中位数：根据向下累计上限公式计算中位数：五、中位数和众数（二）中位数的计算方法3、由组距数列确定中位数。\n第二节平均指标解：中位数位置=,在80—90这一组内，根据向上累计上限公式计算中位数：根据向下累计下限公式计算中位数：五、中位数和众数（二）中位数的计算方法3、由组距数列确定中位数。\n中位数的特点：1、是一种位置平均数，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。2、各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小值。3、对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象（定序尺度），可用中位数求其一般水平。第二节平均指标五、中位数和众数\n分位数：（补充）N分位数：现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，将数据分成N等分的N-1个标志值就是N分位数。中位数是二分位数；常见的分位数还有四分位数、八分位数；另外还有十分位数、百分位数等；N>2时，需注明是第几个N分位数；第二节平均指标五、中位数和众数\n第二节平均指标课堂练习（）中位数A、是总体中最常见的标志值B、是处于一个序列中间位置的标志值C、是一个位置平均数D、是一般水平的代表值E、易受变量极端值的影响B,C,D\n五、中位数和众数二）众数：众数是分配数列中出现次数最多的标志值，它表示社会经济现象中最经常最普遍出现的标志值，能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。如果总体中出现次数最多的标志值不是一个，而是两个，那么，合起来就是复众数。注：众数存在的条件是总体的单位数较多，各标志值的次数分配又有明显的集中趋势时才存在众数。第二节平均指标\n众数的计算方法1、单项数列:出现次数最多的标志值就是众数。第二节平均指标五、中位数和众数二）众数：【例】女式棉毛衫销售情况尺码(厘米)销售量(件)比重(%)806585815904840953025100121010565合计110100\n众数的计算方法2、组距数列确定众数的方法——观察次数+插值法。首先由最多次数来确定众数所在组，然后再用比例插值法推算众数的近似值。其上、下限计算公式依次为第二节平均指标五、中位数和众数二）众数：\n众数的计算方法：下限公式：上限公式：第二节平均指标五、中位数和众数二）众数：\n【例】某企业工人日产量次数分布按日产量分组(千克)工人数(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8第二节平均指标五、中位数和众数二）众数：\n组距数列的众数M0，一定位于次数分配直方图中最高一组的组距内的某个值，该值就是分布曲线最高峰的横坐标值，又称峰值。众数的特点：1、众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受极端值和开口数组列的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性；2、众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。第二节平均指标五、中位数和众数二）众数：\n第二节平均指标课堂练习（）众数是A、总体中出现次数最多的标志值B、处于一个序列中间位置的标志值C、当各个标志值的次数相等时不存在D、当各个标志的次数相等时为零E、不易受变量极端值的影响A,C,E\n课堂练习某地区水稻播种面积按亩产量分组如下，计算亩产量的中位数和众数。第二节平均指标\n第二节平均指标课堂练习答案（1）众数\n第二节平均指标课堂练习答案（2）中位数\n三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系1、当总体分布成对称状态时，三者合而为一。第二节平均指标对称分布均值=中位数=众数五、中位数和众数\n三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系第二节平均指标右偏分布众数中位数均值左偏分布均值中位数众数五、中位数和众数二）众数：\n中位数总在中间若则说明分布右偏若则说明分布左偏若则说明分布对称第二节平均指标三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系五、中位数和众数二）众数：\n当分布适度偏斜时，三者间的数量关系：中位数总在中间，且离均值比离众数近一半另一方便记忆的公式：第二节平均指标三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系五、中位数和众数二）众数：\n当分布适度偏斜时，由两个平均指标可以估算另一个平均指标（见P91）第二节平均指标三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系五、中位数和众数二）众数：[例]：某班有近一半的学生身高不足1.65米，身高1.71米的学生最多，试估计该班学生平均身高为多少米？[解]：另见P91例3-17，3-18\n第二节平均指标课堂练习（）平均指标的位置平均数有A、调和平均数B、几何平均数C、中位数D、众数（）某总体平均数为20，中位数为22，众数为26，则总体为A、钟形对称分布B、钟形分布左偏C、钟形分布右偏D、U形分布C,DB\n第二节平均指标众数、中位数和均值的特点和应用1.众数不受极端值影响具有不唯一性数据分布偏斜程度较大时应用2.中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用3.均值易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用\n第二节平均指标数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型定类数据定序数据数值型（定距、定比）数据适用的测度值※众数众数众数—※中位数中位数—四分位数四分位数——※均值（算术）——调和平均数——几何平均数\n一、变异指标的概念和种类标志变异指标：是反映总体各单位标志值差异程度的指标。是各单位标志值差别大小的程度；反映分配数列中各标志值的变动范围或离散程度，因此又称离散程度、离中程度或标志变动度。平均指标：差异中概括共性，一般水平；说明总体中单位标志值的集中趋势；标志变动度：反应单位标志值的差异性；说明单位标志值的分散程度或者离中趋势。第三节变异指标\n标志变动度的作用度量标志值差异程度和离散趋势的指标。标志变动度指标越大，标志值之间的差异程度和离散程度越大标志变动度是评价平均数代表性的依据。标志变动度愈大，平均数代表性愈小；标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济生活过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定性程度。标志变动度指标越大，现象发展变化的稳定性程度越差第三节变异指标\n一、变异指标的概念和种类例：某车间两个生产小组各人日产量如下：均值都等于32甲组：2528303542；乙组：1824323848可以直观的看出甲组离散程度小，乙组离散程度大。变异指标的种类：标志值的分散程度或者离中趋势：全距、四分位差、平均差、方差或者标准差、变异系数等；相对正态分布的变异：偏度系数、峰度系数等。第三节变异指标\n二、全距和平均差：一）全距是总体各单位标志值中最大值和最小值之差，又称“极差”，用以说明标志值变动范围的大小。前例：某车间两个生产小组各人日产量如下：均值都等于32甲组：2528303542；乙组：1824323848甲组全距=42-25=17；乙组全距=48-18=30.第三节变异指标\n二、全距和平均差：一）全距组距分组的情况下，全距系数：全距与该数列算术平均值的比值，反映标志值变动范围的相对幅度。全距的特点计算方便，易于理解。常用于工业产品质量的检查和控制只根据两个极端值计算，不受中间值及其分布的影响；不全面。（四分位差也类似:第三个与第一个四分位数之差）开口组时无法求全距。（四分位差可以用于开口组）。第三节变异指标\n二、全距和平均差：二）、平均差平均差是各单位标志值对平均数的离差绝对值的算术平均数。平均差的特点：根据总体所有单位的标志值来计算，因此对整个变量值的离散趋势有充分的代表性。以算术平均值为标准，反映标志值相对平均数的变异程度；（也有用中位数Me代替算术平均数的变形平均差）。离差取绝对值，否则总为零；（绝对值不方便代数方法的演算）第三节变异指标\n二、全距和平均差：二）、平均差未分组资料平均差的计算公式为：前例：某车间两个生产小组各人日产量如下：均值都等于32甲组：2528303542；乙组：1824323848甲组日产量平均差=（7+4+2+3+10）/5=26/5=5.2乙组日产量平均差=（14+8+0+6+16）/5=44/5=8.8第三节变异指标\n二、全距和平均差：二）、平均差分组的情况下，应该以各组的频数作为权重计算加权平均差；平均差的计算公式为：第三节变异指标\n例：某乡耕地化肥施用量的平均差计算表按每亩耕地化肥耕地面积组中值总施肥量X-|X-|f施用量分组(千克)(万亩)fX(万千克)Xf5-10307.5225-8.85265.510-157012.5875-3.85269.515-2010017.517501.1511520-255022.511256.15307.525-301027.527511.15111.5合计260--4250--1069算术平均值=4250/260=16.35;平均差=1069/260=4.11;第三节变异指标二、全距和平均差：二）、平均差\n第三节变异指标例：丙组工人日产量平均差的计算日产量（件）工人人数（人）f组中值（件）xXFX-20-301025250-171717030-4070352450-7749040-5090454050+3327050-6030551650+1313390合计200—8400—401320\n二、全距和平均差：二）、平均差平均差系数：平均差与该数列算术平均值的比值，反映标志值对平均值离差的相对程度。[P95例]甲组工人日产量平均差系数=5.2/32=16.25%乙组工人日产量平均差系数=8.8/32=27.5%丙组工人日产量平均差系数=6.6/42=15.71%平均差反应标志值对平均数离差的平均水平，简单直观；但是绝对值不便于代数推导，数学性质方面的研究不完善；更常用的是方差和标准差。第三节变异指标\n三、方差和标准差一）方差和标准差的计算方差是各变量与其算术平均数离差平方的算术平均数。计算方差的一般步骤：①算出每个变量对平均数的离差；②将每个离差平方；③计算这些平方数值的算术平均数；方差类似平均差，但是计算涉及离差的平方而不是绝对值，具有较好的数学性质，因此是实际中测度数据离散程度的最主要方法。第三节变异指标\n三、方差和标准差一）方差和标准差的计算标准差是方差（各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数）的平方根，又称“均方差”。（开方恢复了原来的计量单位！）标准差的计算方法：把方差开方，即得到σ。第三节变异指标\n三、方差和标准差一）方差和标准差的计算前例：某车间两个生产小组各人日产量如下：均值都等于32[P96T3-11]甲组：2528303542；乙组：1824323848标准差比平均差更显著！（平方放大了大的离差）第三节变异指标\n第三节变异指标日产量(x)工人数(f)5510652475368522958合计100550156027001870760-19-9111213610194436266235281178030250101400202500158950722005653007440例：根据资料计算工人的平均日产量和标准差：\n例：某企业工人日产量的标准差计算表按日产量分组工人数组中值X-(X-)2f(千克)(人)fX60以下1055-27.627628.644060-701965-17.625898.823670-805075-7.622903.220080-9036852.38203.918490-100279512.384138.1388100-1101410522.387012.1016110以上811532.388387.7152合计164----36172.5616第三节变异指标\n三、方差和标准差一）方差和标准差的计算标准差系数：标准差对算术平均数之比。反映总体中各标志值相对离散程度，用来比较不同总体的离散程度。例：甲组工人日产量平均差系数=5.97/32=18.66%乙组工人日产量平均差系数=10.5/32=32.81%丙组工人日产量平均差系数=10.85/74.4=14.58%变异（离散）系数：变异指标与平均数之比。如全距系数、平均差系数、标准差系数（最常用）。第三节变异指标\n三、方差和标准差二）总方差、组间方差与组内方差总方差=组间方差+组内方差的平均数第三节变异指标\n三、方差和标准差二）总方差、组间方差与组内方差总方差=组间方差+组内方差的平均数[P98T3-13数据]第三节变异指标\n三、方差和标准差三）方差的数学性质第三节变异指标1)变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。即：2)变量对其算术平均数的方差小于对任意常数的方差。因为，所以，当(x0为任意常数)时，3)变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方。\n三、方差和标准差三）方差的数学性质第三节变异指标4)n个同性质独立变量和的方差等于各个变量方差的和。5)n个同性质独立变量代数和的方差不大于各变量方差的代数和。\n第三节变异指标课堂练习（）比较两个总体离散程度的指标应该用A、均方差B、平均值C、全距D、离散系数（）标准差为5，各标志值平方的平均数为250，则平均数为A、15.65B、15C、3.26D、31.6DB\n第三节变异指标某管理局下属8家企业的产品销售数据如表。试比较起产品销售额和销售利润的离散系数。单位：万元企业产品销售额销售利润11708.1222012.5339018443022.0548026.5665040.0795064.08100069.0\n第三节变异指标结论：计算结果表明，v10，正偏态Ⅰ(α=0)II(α>0)Ⅲ(α<0)\n四、偏度和峰度三）峰度系数：反映分布邻近平均数的集中程度，即分布尖峭程度的指标。峰度系数：第三节变异指标>0，比正态分布尖峭=0，正态分布<0，比正态分布平坦趋近-1.2，接近均匀<-1.2,U型分布扁平分布尖峰分布\n四、偏度和峰度[例]第三节变异指标某电脑公司销售量偏态及峰度计算表按销售量份组(台)组中值(Mi)频数fi140—150150—160160—170170—180180—190190—200200—210210—220220—230230—240145155165175185195205215225235491627201710845-256000-243000-128000-270000170008000021600025600062500010240000729000025600002700000170000160000064800001024000031250000合计—12054000070100000\n四、偏度和峰度[例]第三节变异指标结论：偏态系数为正但不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数；峰度系数为但不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布\n五，标准差的其他应用（补充）1、测定分布偏度（偏态系数SK）[不同于动差偏度系数]2、数据标准化（计算标准分）：平均数0；方差1第三节变异指标\n总量指标：代数和运算。总体总量+标志总量；时期指标+时点指标；计量单位（实物[自然、物理、复合、双重、标准实物]、货币，劳动单位）相对指标：动态（不同时期）、强度（不同现象）、比较（不同总体）、结构、比例、计划完成相对数。第三章小结\n平均指标：数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数；已知分母资料算术平均，…位置平均数：中位数、众数。第三章小结\n变异指标：离中趋势：全距、平均差、标准差及对应变异系数；相对正态分布的变异：偏度系数、峰度系数。应用较多的指标：成数（结构相对数）、均值、方差（标准差）第三章小结\n第三章作业P106，习题3.22，3.23，3.26