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統計學Chapter4機率導論\nChapter4機率導論4.1實驗、樣本空間與事件4.2事件機率的基本運算4.3條件機率4.4總合機率法則與貝氏定理2統計學\n所謂的機率是用具體的數字來描述某特定事件發生之可能性的方法。我們將所有的可能性定義為一個介於0與1之間的數字，稱之為機率。3統計學\n4.1實驗、樣本空間與事件將實驗（experiment）定義為可產生各種可能結果的過程。而由實驗中所得到的某些觀察值或測量值，則稱為此實驗之出象（outcome）。4統計學\n樣本空間（samplespace）:實驗中所有可能得到的結果所成之集合。樣本點（samplepoint）:任何一個特定的實驗結果。5統計學\n「有限樣本空間」及「無限樣本空間」。有限樣本空間:含有限個樣本點，無限樣本空間:含有無限個樣本點。6統計學\n事件（event）樣本空間的子集合。簡單事件（simplespace）僅包含一個樣本點的事件。複合事件包含兩個以上事件點的事件。7統計學\n空集合不包含任何一個樣本點，一般稱之為不可能事件必然事件樣本空間本身包含了所有的樣本點，因此必然會發生。8統計學\n在此一小節中，首先我們將介紹三種機率測度的方法，並分別說明如下：方法一：古典機率方法方法二：相對次數法方法三：主觀法4.2事件機率的基本運算9統計學\n方法一：古典機率方法在一個隨機試驗中，假設其樣本空間S為有限，且所有樣本點發生的機率皆相等，則事件A發生的機率為：P(A)＝n(A)/n(S)其中n(A)和n(S)分別代表事件A及樣本空間S所包含的樣本點個數。因必須事先知道每一個樣本點發生的機率皆相同，因此用這種方法所求得的機率稱為「事前機率」。10統計學\n方法二：相對次數法重複同一隨機實驗N次，若事件A出現n次，則事件A發生的機率為：P(A)＝n/N在此一方法中，若隨機實驗重複次數為無限次時，所得到的機率會趨近於由古典機率方法所得到之機率。11統計學\n方法三：主觀法憑個人的經驗或直覺來決定事件A的發生機率，此一方法稱為主觀法。但主觀法所得之機率仍需落於0與1之間。12統計學\n給定一事件A，則事件A的餘集（complementofeventA，記為Ac）是指樣本空間中不包含在A事件中之所有樣本點所成之集合。定理4.1餘集規則對於任意事件A，P(Ac)＝1-P(A)。13統計學\n定理4.2聯集規則若A、B為兩事件，則P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)。若兩事件A及B不可能同時發生，也就是說P(A∩B)＝0。此時我們稱A、B為互斥事件。對於互斥事件A和B，可進一步改寫定理4.2。14統計學\n定理4.3聯集規則若A、B為兩互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)+P(B)。15統計學\n4.3條件機率條件機率（conditionalprobability）是指在某一特定事件B已發生的條件下，另一事件A發生的機率，記為P(A|B)。其計算的公式如下：P(A|B)＝P(A∩B)/P(B)16統計學\n由條件機率之定義，我們可推得下列定理：定理4.4P(A∩B)＝P(A|B)．P(B)＝P(B|A)．P(A)A、B為「獨立事件」（independentevents），定義：若P(A|B)P(A)或P(B|A)P(B)，則稱A、B為獨立事件，反之，則稱兩者為相依。17統計學\n由上述定義及定理4.4，我們可推得下列定理。定理4.5A、B為獨立事件，若且唯若P(A∩B)＝P(A)．P(B)18統計學\n4.4總合機率法則與貝氏定理總合機率法則事件A發生的機率正等於A、B同時發生的機率加上A發生而B不發生的機率總合機率法則（基本型）P(A)＝P(A∩B)+P(A∩Bc)19統計學\n若B1,B2,…,Bn為樣本空間S中n個彼此互斥的事件，且B1∪B2∪…∪Bn=S，則我們稱{B1,B2,…,Bn}為樣本空間S的一個分割。將樣本空間S分割為n個事件B1,B2,…,Bn，則可以得到下列之總和機率法則：總合機率法則（一般型）P(A)＝ΣP(A∩Bi)20統計學\n總和機率也可以用條件機率的形式來表示，由定理4.4，可推得下列的表示式。條件機率之總合機率法則（基本型）P(A)=P(A|B)．P(B)+P(A|Bc)．P(Bc)（一般型）P(A)=ΣP(A∩Bi)．P(Bi)其中X=ΣBi，Bi∩Bi=Φ，i≠j。21統計學\n貝氏定理事前機率:先了解母體的特性後，再設法求出某一事件出現的機率，此種方法稱為事前機率。事後機率:在實務上常利用事件所呈現的額外資訊去修正事前機率。貝氏定理:結合事前機率和條件機率，以導出事後機率的過程。22統計學\n兩個事件A和B的發生機率分別為P(A)和P(B)，若P(A)為事前機率，且可得知額外資訊P(B|A)，依據貝氏定理可求得事後機率P(A|B)，其過程如下：P(A|B)＝P(A∩B)/P(B)＝P(A)．P(B|A)/P(B)23統計學\n定理4.6兩事件之貝氏定理設A、B為任意兩個事件，則P(A|B)=(P(A)．P(B|A))/P(B)=(P(A)．P(B|A))/(P(B|A)．P(A)+P(B|Ac)．P(Ac))24統計學\n定理4.7貝氏定理設B1,B2,…,Bn為樣本空間S之一分割，則對任意一事件B，當P(B)≠0，則P(Aj|B)=(P(Aj)．P(B|Aj))/P(B)=(P(Aj)．P(B|Aj))/(ΣP(Ai)．P(B|Ai)),1≦i≦n25統計學