《信号与系统》郑君里第二章习题解答 7页

2-6解题过程：'（1）etut()=()，r()01=，r(02)=−−方法一：经典时域法：'''⎧rtrtrtZi()+320Zi()+=Zi()⎪⎪''①求rZi：由已知条件，有⎨rrZi()00+−==Zi()2⎪''⎪⎩rrZi()00+−==Zi()12特征方程：αα++=320特征根为：α=−1，α=−212−−tt2'故rtAeAeut()=+()()，代入r(0)，r(0)得A=4，A=−3Zi12Zi+Zi+12−−tt2故rt()=−()43eeut()Zi'''②求r：将etut()=()代入原方程，有rtrtrt()++=+32()()δ(tut)(3)ZsZsZsZs''⎧rtatbutZs()=+δ()Δ()⎪⎪'用冲激函数匹配法，设⎨rtautZs()=Δ()⎪⎪⎩rtaZs()=Δtut()代入微分方程，平衡δ()t两边的系数得a=1''故rr()00=+()1=1，rr()00=()=0Zs+−ZsZs+−Zs−−tt2再用经典法求rt()：齐次解rtB()=+(eBeut)()ZsZsh123因为etut()=()故设特解为rtCut()=⋅()，代入原方程得C=Zsp2⎛⎞−−tt23故rtrtrtBeBe()=+=++()()⎜⎟ut()ZsZshZsp12⎝⎠2'1代入r()0，r(0)得B=−2，B=Zs+Zs+122⎛⎞−−tt132故rt()=−⎜⎟2e+e+ut()Zs⎝⎠22⎛⎞−−tt532③全响应：rtrtrt()=+=−+()()⎜⎟2eeut()ZiZs⎝⎠22⎛⎞−−tt52自由响应：⎜⎟2eeu−()t⎝⎠21n3受迫响应：ut()2方法二：p算子法2dddrt()++32rt()rt()=+et()3et()2dtdtdt2化为算子形式为：(p++32pr)(tpe)=+(3)(t)2特征方程：αα++=320特征根为：α=−1，α=−212−−tt2rtZi()的求法与经典时域法一致，rtZi()=−(43eeut)()p+3−−tt2再求rtZs()：etut()=()，rt()==ut()(p+3)⎡⎣euteutut()∗()()∗⎤⎦()pp++12()t11−−tt22−ττ−⎛⎞−t−2t其中euteutut()∗∗()()=−=∫()eedτ⎜⎟−e+eut()0⎝⎠22⎛⎞11−−tt22⎛−−tt13⎞∴rtpZs()(=+32)⎜⎟−+eeut()=−+⎜ee+⎟ut()⎝⎠22⎝22⎠⎛⎞−−tt532∴全响应rtrtrt()=+=−+()()⎜⎟2eeut()ZiZs⎝⎠22⎛⎞−−tt52自由响应：⎜⎟2eeu−()t⎝⎠23受迫响应：ut()2综观以上两种方法可发现p算子法更简洁，准确性也更高−3t'（2）eteut()=()，r()01=，r(02)=−−运用和上题同样的方法，可得−−tt2全响应rt()=−()54eeut()−−tt2零输入响应：rt()=−()43eeut()Zi−−tt2零状态响应：rteeut()=−()()Zs−−tt2自由响应：()54eeu−()t受迫响应：02-10分析：2nd+∞rt()+=5rt()∫e()(ττft−−=∗−=∗−)dτet()etftetet()()()()⎡⎤⎣⎦ft()δ()tdx−∞已知冲激函数δ()t与单位冲激响应ht()为“输入——输出”对，故et()=δ()t时，rtht()=()。类似上题，也可以用经典法和算子法两种思路求解该微分方程。解题过程：方法一：经典法−t代入et()=δ()t，f()teut=+()3δ(t)得到d−tht()+=+52hteut()()δ()t""()∗dt对于因果系统h()00=−d−5t先求满足ht()+=5ht()δ()t的ht()：htAeut()=()1111dt利用冲激函数匹配法，在()0,0时间段内−+⎧d⎪htatbut1()=+δ()Δ()⎨dx()00−<