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自动控制原理扬州大学信息工程学院电气工程及自动化工程系1n第五章线性系统的频域分析法2n第五章线性系统的频域分析法本章主要内容：一、频率特性二、开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制三、频率域稳定判据四、稳定裕度五、闭环系统的频域性能指标3n本章要求：1、正确理解基本概念；2、掌握开环频率特性曲线的绘制；3、熟练运用频率域稳定判据；4、掌握稳定裕度的概念；5、了解闭环频域性能指标。第五章线性系统的频域分析法4n控制系统中的信号可由不同频率正弦信号来合成。而控制系统中的频率特性反映了正弦信号作用下系统响应的性能。应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频率分析法。特点如下：1、控制系统及其元部件的频率特性可通过分析法和实验法获得；2、频率特性物理意义明确；3、控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求；4、频率分析法还可以推广应用于某些非线性控制系统。第五章线性系统的频域分析法5n一、频率特性本节主要内容：1、频率特性的基本概念2、频率特性的几何表示6n5-1-1频率特性的基本概念1、RC网络左图为RC滤波网络，设电容C的初始电压为，取输入信号为正弦信号，曲线如图所示。当响应呈稳态时，可以看出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延迟。一、频率特性（1）7nRC网络的输入与输出的关系为：式中，，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得其拉氏反变换得式中第一项，由于T＞0，将随时间增大而趋于零，为输出的瞬态分量；第二项正弦信号为输出的稳态分量。一、频率特性（2）8n上式中分别反映RC网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，称为幅值比和相位差。又RC网络的传函为：取，则有比较可知，和分别为的幅值和相角。一、频率特性（3）9n2、频率特性定义设稳定线性定常系统的传函为设系统输入为谐波信号因为系统稳定，输出响应稳态分量的拉氏变换为一、频率特性（4）10n输出响应稳态分量的拉氏反变换为上面各式比较，可知上面表明，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，幅值和相位的变化是同频率的函数，且与系统数学模型相关。频率特性定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比为幅频特性，相位之差为相频特性，并称其指数表达形式为系统的频率特性。一、频率特性（5）11n频率特性也是系统数学模型的一种表达形式。频率特性的定义既可以适用于稳定系统，也可适用于不稳定系统。稳定系统的频率特性可以用实验方法确定。线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出和输入的拉氏变换之比上式的拉氏反变换为如果的傅氏变换存在，可令所以频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变化之比，这就是频率特性的物理意义。一、频率特性（6）12n3、三种系统描述之间的关系由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。一、频率特性（7）13n5-1-1频率特性的几何表示法1、幅相频率特性曲线又简称幅相曲线或极坐标图。以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面。由于幅频特性为的偶函数，相频特性为的奇函数，则从零变到和从零变到的幅相曲线关于实轴对称，因此一般只绘制从零变到的幅相曲线。小箭头表示增大时幅相曲线的变化方向。对于RC网络一、频率特性（8）14n故有表明RC网络的幅相曲线是以为圆心，半径为的半圆，如图所示。一、频率特性（9）15n2、对数频率特性曲线又称伯德曲线或伯德图。对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。对数频率特性曲线的横坐标按分度，单位为弧度/秒，对数幅频曲线的纵坐标按线性分度，单位是分贝（dB）。对数相频曲线的纵坐标按线性分度，单位为度。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。对数分度和线性分度如图所示，一、频率特性（10）16n图与表一、频率特性（11）17nRC网络中取，其对数频率特性曲线如图所示。一、频率特性（12）18n3、对数幅相曲线对数幅相曲线又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图。其特点是纵坐标为，单位为分贝（dB），横坐标为，单位为度，均为线性分度，频率为参变量。下图为RC网络时的尼科尔斯曲线。利用尼科尔斯曲线，根据系统开环和闭环的关系，可以绘制关于闭环幅频特性的等M簇线和闭环相频特性的等簇线，根据频域指标要求确定校正网络，简化系统的设计过程。一、频率特性（13）19n二、开环频率特性曲线的绘制本章主要内容：1、典型环节及其频率特性2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线绘制4、延迟环节和延迟系统5、传递函数的频率实验确定20n5-2-1典型环节及其频率特性1、典型环节（1）最小相位系统环节1）比例环节2）惯性环节3）一阶微分环节4）振荡环节5）二阶微分环节6）积分环节7）微分环节二、开环频率特性曲线的绘制（1）21n（2）非最小相位系统环节1）比例环节2）惯性环节3）一阶微分环节4）振荡环节5）二阶微分环节除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。二、开环频率特性曲线的绘制（2）22n由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式，即设典型环节的频率特性为则系统开环频率特性为系统开环对数幅频特性为二、开环频率特性曲线的绘制（3）23n系统开环幅频特性和开环相频特性上面表明，系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一更为简单的形式。因此本节利用典型环节频率特性的特点，介绍绘制开环频率特性曲线的方法。二、开环频率特性曲线的绘制（4）24n5-2-2典型环节的频率特性对应，可以绘制典型环节的幅相曲线和对数频率特性曲线如下：图：典型环节的幅相曲线二、开环频率特性曲线的绘制（5）25n图：典型环节的幅相曲线二、开环频率特性曲线的绘制（6）26n图:典型环节的对数频率特性曲线二、开环频率特性曲线的绘制（7）27n图：典型环节的对数频率特性曲线二、开环频率特性曲线的绘制（8）28n图：典型环节的对数频率特性曲线二、开环频率特性曲线的绘制（9）29n（1）非最小相位环节和对应的最小相位环节对于每一种非最小相位的典型环节，都有一种最小相位环节与之对应，其特点是典型环节中的某个参数的符号相反。最小相位的比例环节，简称为比例环节，其幅频和相频特性为非最小相位的比例环节,其幅频和相频特性为二、开环频率特性曲线的绘制（10）30n最小相位的惯性环节，其频率特性为非最小相位的惯性环节，其频率特性为上面两者幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称；对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于线对称。以上特点对于振荡环节和非最小相位振荡环节、一阶微分环节和非最小相位一阶微分环节、二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节均适用。二、开环频率特性曲线的绘制（11）31n（2）传递函数互为倒数的典型环节最小相位典型环节中，积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，即设，则可知，传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于线对称。对于传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其对数频率特性曲线的对称性同样成立。二、开环频率特性曲线的绘制（12）32n（3）振荡环节和二阶微分环节A、振荡环节其频率特性为显然，相频特性曲线从单调至。当时，，此时，表明振荡环节与虚轴的交点为。二、开环频率特性曲线的绘制（13）33n取，得谐振频率与谐振峰值因为时，。不同阻尼比情况下，振荡环节的幅相曲线和对数频率特性曲线分别如图5－12和图5－13所示，其中。二、开环频率特性曲线的绘制（14）34n图：振荡环节的幅频特性二、开环频率特性曲线的绘制（15）35n图：振荡环节的对数幅频和相频曲线二、开环频率特性曲线的绘制（16）36nB、二阶微分环节其传递函数为振荡环节传递函数的倒数，按对称性可得二阶微分环节的对数频率特性，并有当时，从1单调增至；当，且时，从1单调减，时，单调增，二阶微分环节的幅相曲线如下张图所示。二、开环频率特性曲线的绘制（17）37n非最小相位的二阶微分环节和不稳定振荡环节的频率特性曲线可按（1）中的结论以及二阶微分环节和振荡环节的频率特性曲线加以确定。二、开环频率特性曲线的绘制（18）二阶微分环节的幅相曲线38n（4）对数幅频渐进特性曲线在控制工程中，为简化对数幅频曲线的作图，常用低频和高频渐进线近似表示对数幅频特性曲线，称为对数幅频渐进特性曲线。A、惯性环节惯性环节的对数幅频为对于时，，有二、开环频率特性曲线的绘制（19）39n当时，，有因此惯性环节的对数幅频渐进特性为惯性环节的对数幅频渐进特性曲线如左：二、开环频率特性曲线的绘制（20）40n从上图可知，低频部分是零分贝线，高频部分是斜率为－20dB/dec的直线，两条直线交于处，该频率称为交接频率。注意渐进特性近似表示的对数幅频特性存在误差下图为误差曲线图。最大误差发生在交接频率处，约－3dB。根据误差曲线，可修正渐进特性曲线，从而获得准确曲线。与惯性环节关联环节的对数幅频特性非最小相位惯性环节的对数幅频特性与惯性环节相同，一阶微分环节和非最小相位一阶微分环节的对数幅频特性相等，且与惯性环节对数幅频特性互为倒数。二、开环频率特性曲线的绘制（21）41nB、振荡环节振荡环节的对数幅频特性为当时，，低频渐近线为0dB线；当时，，高频渐进线为过点，斜率为－40dB/dec的直线。因此振荡环节的对数幅频渐进特性为：二、开环频率特性曲线的绘制（22）42n因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。二、开环频率特性曲线的绘制（23）43n对于非最小相位振荡环节与振荡环节的对数幅频渐进特性曲线相同，二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节与振荡环节的对数幅频渐进特性曲线关于0dB线对称。注意：在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常用的半对数坐标系中的直线方程为：其中和为直线上的两点，为直线斜率。二、开环频率特性曲线的绘制（24）44n5-2-3开环幅相曲线的绘制1、开环幅相曲线的绘制方法开环幅相曲线可以通过取点、计算和作图绘制系统开环幅相曲线。这里着重介绍结合工程需要，绘制概略开环幅相曲线的方法。反映开环频率特性的三个重要因素：（1）确定开环幅相曲线的起点和终点；（2）确定开环幅相曲线与实轴的交点或为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为（3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。二、开环频率特性曲线的绘制（25）45n2、举例例1某0型单位负反馈系统开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解：由于惯性环节的角度变化为～-900，故该系统开环幅相曲线中起点为：终点为：系统开环频率特性二、开环频率特性曲线的绘制（26）46n令，得，即系统开环幅相曲线除在处外与实轴无交点。由于、可正可负，故系统幅相曲线在第Ⅳ和第Ⅲ象限内变化，系统概略开环幅相曲线如左图所示。若取，由于非最小相位比例环节的相角恒为，故此时系统概略开环幅相曲线由原曲线绕原点顺时针旋转而得。二、开环频率特性曲线的绘制（27）47n例2设系统开环传递函数为试绘制系统概略开环幅相曲线。解系统开环频率特性二、开环频率特性曲线的绘制（28）48n幅值变化：相角变化：所以的变化为。二、开环频率特性曲线的绘制（29）49n乃氏图的起点：与实轴的交点：令，得，于是系统开环幅相曲线如下张图中曲线①所示，图中虚线为开环幅相曲线的低频渐近线。本例中系统型次即开环传递函数中积分环节个数，若分别取2、3和4，则根据积分环节的相角，可将图中曲线分别绕原点旋转-900，-1800和-2700，即可得开环概略幅相曲线，如图5-22所示。二、开环频率特性曲线的绘制（30）50n系统开环幅相曲线如下图二、开环频率特性曲线的绘制（31）51n例3已知单位反馈系统开环传递函数为试绘制系统概略开环幅相曲线。解：系统开环频率特性为起点：终点：与实轴的交点：当时，得二、开环频率特性曲线的绘制（32）52n变化范围：时，开环幅相曲线位于第Ⅲ象限或第Ⅳ与第Ⅲ象限，时，开环幅相曲线位于第Ⅲ象限与第Ⅱ象限。开环概略幅相曲线如图所示。二、开环频率特性曲线的绘制（33）53n例4已知系统开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解系统开环频率特性为起点：终点：与实轴的交点：二、开环频率特性曲线的绘制（34）54n因为从单调减至，故幅相曲线在第第Ⅲ象限与第Ⅱ象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。二、开环频率特性曲线的绘制（35）55n例5－5设系统开环传递函数为试绘制系统开环概略幅相曲线。解:开环幅相曲线的起点：终点：由开环频率特性表达式知的虚部不为零，故与实轴无交点。二、开环频率特性曲线的绘制（36）56n注意到开环系统含有等幅振荡环节，当趋于时，趋于无穷大，而相频特性取在的附近，相角突变，幅相曲线在处呈现不连续现象。作系统开环概略幅相曲线如图所示。二、开环频率特性曲线的绘制（37）57n绘制开环概略幅相曲线的规律：1）开环幅相曲线的起点，取决于比例环节K和系统积分或微分环节的个数（系统型别）。，起点为原点；，起点为实轴上的点K处；，设，则时为的无穷远处，时为的无穷远处。2）开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。二、开环频率特性曲线的绘制（38）58n3）若开环系统存在等幅振荡环节，重数为正整数，即开环传递函具有下述形式不含的极点，则当趋于时，趋于无穷，而即在附近，相角突变。二、开环频率特性曲线的绘制（39）59n5-2-3开环对数频率特性曲线1、绘制方法系统开环传递函数作典型环节分解后，先作出各典型环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方法即可方便地绘制系统开环对数频率特性曲线。这里着重介绍开环对数幅频渐近特性曲线的绘制方法。1）开环传递函数典型环节分解；2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的轴上；二、开环频率特性曲线的绘制（40）60n3）绘制低频段渐近特性线：由于一阶环节或二阶环节的对数幅频渐近特性曲线在交接频率前斜率为，在交接频率处斜率发生变化，故在频段内，开环系统幅频渐近特性的斜率取决于，因而直线斜率为。为获得低频渐近线，还需确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：方法一：在范围内，任选一点，计算方法二：取频率为特定值，则二、开环频率特性曲线的绘制（41）61n方法三：取为特殊值0，则有，即过在范围内作斜率为的直线。显然，若有，则点位于低频渐近特性曲线的延长线上。4）作频段渐近特性线：在频段，系统开环对数幅频渐近特性曲线为分段折线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类，如下表所示。二、开环频率特性曲线的绘制（42）62n注意：当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。以的低频渐近线为起始直线，按交接频率由小到大顺序和由表确定斜率变化，再逐一绘制直线。二、开环频率特性曲线的绘制（43）63n2、举例说明例1已知系统开环传递函数为试绘制系统开环对数频率特性曲线。解：开环传递函数的典型环节分解形式为1）确定各交接频率及斜率变化值非最小相位一阶微分环节：，斜率增加惯性环节：，斜率减少二、开环频率特性曲线的绘制（44）64n振荡环节：，斜率减少最小交接频率。2）绘制低频段渐近特性曲线。因为，则低频渐近线斜率，按方法二得直线上一点。3）绘制频段渐近特性曲线系统开环对数幅频渐近特性曲线如图所示。二、开环频率特性曲线的绘制（45）65n具体计算相角时应注意判别象限。例如在本例中二、开环频率特性曲线的绘制（46）66n5-2-4延迟环节和延迟系统延时环节:输出量经恒延时后不失真地复现输入量变化的环节。延迟环节的输入输出的时域表达式为延时环节的传递函数为其频率特性为延迟环节的幅相曲线为单位圆。二、开环频率特性曲线的绘制（47）67n5-2-5传递函数的频域实验确定可以运用频率响应实验确定稳定系统的数学模型。（1）频率响应实验（2）传递函数确定从低频段起，将实验所得的对数幅频曲线用斜率为等直线分段近似，获得对数幅频渐近特性曲线。二、开环频率特性曲线的绘制（48）68n下面举例说明其方法和步骤。例某最小相位系统由频率响应实验获得的对数幅频曲线如图所示，试确定其传递函数。二、开环频率特性曲线的绘制（49）69n解：1）确定系统积分或微分环节的个数。由于对数幅频特性低频渐近线的斜率为，而图5-27中低频渐近线的斜率为+20dB/dec，故有v=-1，系统含有一个微分环节。2）确定系统传递函数表达式。由于对数幅频特性渐近线为分段折线，其转折点分别对应系统所含典型环节的交接频率，每个交接频率处的斜率变化决定了典型环节的种类。图中在处，斜率变化为-20dB/dec，对应惯性环节；在处，斜率变化为-40dB/dec，且存在谐振，对应振荡环节。二、开环频率特性曲线的绘制（50）70n因此，系统传递函数表达式为其中、、和为待定参数。3）由给定条件确定系统传递函数中的待定参数。将代入式（5-73），得。根据直线方程式代入点（1，0dB）、（，20dB）及斜率k＝+20dB/dec，得；代入点（，20dB）、（100，0dB）及斜率k＝-40dB/dec，得。二、开环频率特性曲线的绘制（51）71n在谐振频率处，振荡环节的谐振峰值为而图中＝40－20＝20dB，故有解得，（舍去）。于是，系统的传递函数为二、开环频率特性曲线的绘制（52）72n三、频率域稳定判据本节主要内容：1、奈氏判据的数学基础2、奈奎斯特稳定判据3、对数频率稳定判据73n1932年，乃奎斯特(Nyquist)提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为乃奎斯特稳定判据，简称乃氏判据。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。三、频率域稳定判据74n5-3-1奈氏判据的数学基础1、辐角原理设s为复数变量，为s的有理分式函数，且有由复变函数理论知道，在s平面上任选一条闭合曲线Γ，且不通过的任一零点和极点，s从闭合曲线Γ上任一点A起，顺时针沿Γ运动一周，再回到A点，则对应的平面上亦从点起，到点止形成一条闭合曲线ΓF。三、频率域稳定判据（1）75n复变函数的相角为若s平面上闭合曲线Γ以顺时针方向包围的Z个零点，则在平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。若s平面上的闭合曲线Γ以顺时针方向围绕着的P个极点旋转一周，则其在平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转P周。见下张图示。三、频率域稳定判据（2）76n由此可得幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围的Z个零点和P个极点，则s沿Γ顺时针运动一周时，在平面上，闭合曲线ΓF包围原点的圈数为：R=P-ZR<0和R>0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围平面的原点，R=0表示不包围平面的原点。三、频率域稳定判据（3）77n2、复变函数的选择选择具有以下特点：1）的零点为闭环传递函数的极点，的极点为开环传递函数的极点；2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，故的零点和极点数相同；3）s沿闭合曲线运动一周所产生的两条闭合曲线和只相差常数1，即闭合曲线可由沿实轴正方向平移一个单位长度获得。三、频率域稳定判据（4）78n图三、频率域稳定判据（5）79n3、s平面闭合曲线Γ的选择系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点，即的零点的位置，因此当选择s平面闭合曲线Γ包围s平面的右半平面时，若Z=0，即闭环特征根均位于左半s平面，则闭环系统稳定。考虑到前述闭合曲线Γ应不通过的零点和极点的要求，Γ可取下图所示的两种形式。（a）（b）三、频率域稳定判据（6）80n当G(s)H(s)无虚轴上的极点时，闭合曲线Γ选择包括虚轴的s平面的右半平面，如上图a所示，闭合曲线Γ由两部分组成：1），即圆心为原点、第Ⅳ象限中半径为无穷大的圆；，即负虚轴。2），即正虚轴；，即圆心为原点、第Ⅰ象限中半径为无穷大的圆。三、频率域稳定判据（7）81n当G(s)H(s)在虚轴上有极点时，可选择以虚轴极点为圆心，半径无穷小的半圆避开虚轴极点，在图a所选闭合曲线Γ的基础上加以扩展，构成图b所示的闭合曲线Γ。1）开环系统含有积分环节时，在原点附近，取（为正无穷小量，），即圆心为原点、半径为无穷小的半圆。2）开环系统含等幅振荡环节时，在附近，取（为正无穷小量，），即圆心为、半径为无穷小的半圆。按上述曲线Γ，F(s)函数位于s右半平面的极点数即G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P应不包括G(s)H(s)位于s平面虚轴上的极点数。三、频率域稳定判据（8）82n4、G(s)H(s)闭合曲线的绘制1）若G(s)H(s)无虚轴上极点在时，对应开环幅相曲线；在时，对应原（时）或点（时），为系统开环根轨迹增益。2）若G(s)H(s)有虚轴极点。当开环系统含有积分环节时，设在原点附近，闭合曲线Γ为，且有三、频率域稳定判据（8）83n故对应的曲线为从点起，半径为、圆心角为的圆弧，即可从点起时针作半径无穷大、圆心角为的圆弧，如图5-31(a)中虚线所示。当开环系统含有等幅振荡环节时，设三、频率域稳定判据（9）84n上述分析表明，半闭合曲线由开环幅相曲线和根据开环虚轴极点所补作的无穷大半径的虚线圆弧两部分组成。三、频率域稳定判据（10）85n5闭合曲线包围原点圈数R的计算根据半闭合曲线可获得包围原点的圈数R。设N为穿越点左侧负实轴的次数，表示正穿越的次数和（从上向下穿越），表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则在图中，虚线为按系统型次或等幅振荡环节数补作的圆弧，点A，B为奈氏曲线与负实轴的交点，按穿越负实轴上段的方向，分别有：（图a）三、频率域稳定判据（11）86n（图b）（图c）（图d）（图e）三、频率域稳定判据（12）87n5-3-2奈奎斯特稳定判据奈氏判据反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线不穿过点且逆时针包围临界点点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。由幅角原理可知，闭合曲线Γ包围函数的零点数即反馈控制系统正实部极点数为当时，，系统闭环不稳定。当半闭合曲线穿过点时，系统可能临界稳定。三、频率域稳定判据（13）88n例5－8已知单位反馈系统开环幅相曲线如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。解:如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为，三、频率域稳定判据（14）89n系统开环传函由题设条件知，和当取时若令，可得对应的K值三、频率域稳定判据（15）90n对应地，分别取和时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按补作虚圆弧得半闭合曲线。三、频率域稳定判据（16）91n根据曲线计算包围次数，并判断系统闭环稳定性：闭环系统稳定；闭环系统不稳定；闭环系统稳定；闭环系统不稳定。综上可得,系统闭环稳定时的K值范围为和。当K等于和20时，穿过临界点，且在这三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临界稳定。三、频率域稳定判据（17）92n例：系统的开环传递函数为试用乃氏判据判别闭环系统的稳定性。解：系统开环传递函数在s的右半平面上没有任何极点,即P=0。当由变化时,曲线如左图所示。由图可知R=0，所以Z=P-R=0。这表示对于任意正值K、T1和T2，该闭环系统总是稳定的。三、频率域稳定判据（18）93n例已知单位反馈系统的开环传递函数为试用乃氏判据确定使该闭环系统稳定的K值范围。解：开环系统频率特性为当时，，即乃氏曲线与负实轴相交于点。三、频率域稳定判据（19）94n系统开环系统幅频和相频特性的表达式分别为和惯性环节一样，其乃氏图是一个圆，如下图所示。由于系统的P=1，当由变化时,曲线如按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转一周，即R=1，则Z=P-R＝0，表示闭环系统是稳定的。显然，系统稳定时T>0且K>1。三、频率域稳定判据（21）95n例某反馈控制系统的开环传递函数为其中K>0,T>0。试判别该闭环系统的稳定性。三、频率域稳定判据（22）96n解：由于该系统为Ⅰ型系统，它在坐标原点处有一个开环极点。该图逆时针围绕原点的半径为的半圆，在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的半圆,它与乃氏曲线相连接后的闭合曲线如上张图所示。由图可见，R＝0,而开环系统P＝0,因而Z＝0，即闭环系统是稳定的。三、频率域稳定判据（23）97n例已知系统的开环传递函数为试用乃氏稳定判据判别该闭环系统的稳定性。解：由于开环传递函数在坐标原点处有重极点，由上述的讨论可知，逆时针围绕原点的半径为的半圆在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的圆，它与乃氏曲线相连接后的闭合曲线如下张图所示。三、频率域稳定判据（25）98n由图可见，不论K值的大小如何，乃氏曲线总是以顺时针方向围绕点（-1，j0）旋转两周，即R＝-2。由于开环系统P＝0，所以Z＝2，表示该闭环系统总是不稳定的,且其在s的右半平面上有2个极点。乃氏图三、频率域稳定判据（26）99n例已知系统的开环传递函数为试分析时系统的稳定性，并画出它们所对应的乃氏图。解：系统开环频率特性为三、频率域稳定判据（27）100n作出在二种情况下的曲线，如下图所示。三、频率域稳定判据（28）101n由于P＝0，当时，曲线不包围点（-1，j0），因而闭环系统是稳定的；当时，曲线以顺时针方向包围点（-1，j0）旋转二周，这意味着有两个闭环极点位于s的右半平面上，该闭环系统不稳定。三、频率域稳定判据（29）102n例系统开环传递函数有2个正实部极点，开环乃氏图如下图所示，试问闭环系统是否稳定？解：P＝2，由时，由乃氏图知＝2，＝1，R＝＝2（－）＝2则Z＝P－R＝0，闭环系统稳定。三、频率域稳定判据（30）103n例系统开环乃氏图如下图所示，P为开环正实部极点个数，试判定闭环系统的稳定性。三、频率域稳定判据（31）104n解：当由时，图a中＝1，＝0，R＝2，而P＝2，则Z＝0，闭环系统稳定。图b中，＝1，＝1，R＝0，而P＝0，则Z＝0，闭环系统稳定。三、频率域稳定判据（32）105n5-3-3对数频率稳定判据1、对数频率稳定判据可以推广运用奈氏判据，其关键问题是需要根据半对数坐标下的曲线确定穿越次数或和。开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所补作的半径为无穷大的虚圆弧。的确定取决于时穿越负实轴的次数，建立如下对应关系：（1）穿越点确定设时称为截止频率。三、频率域稳定判据（33）106n对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率时设半对数坐标下的对数幅频曲线和对数相频曲线分别为和，由于等于曲线，则在时，穿越负实轴的点等于在半对数坐标下，对数幅频特性时对数相频特性曲线与，平行线的交点。（2）确定1）开环系统无虚轴上极点时，等于曲线。三、频率域稳定判据（34）107n2）开环系统存在积分环节时，复数平面的曲线，需从的开环幅相曲线的对应点起，逆时针补作半径为无穷大的虚圆弧。对应地，需从对数相频特性曲线较小且的点处向上补作的虚直线，曲线和补作的虚直线构成。3）开环系统存在等幅振荡环节时，复数平面的曲线，需从的开环幅相曲线的对应点起，逆时针补作半径为无穷大的虚圆弧至的对应点处。三、频率域稳定判据（35）108n对应地，需从对数相频特性曲线点起向上补作的虚直线至处，曲线和补作的虚直线构成。（3）穿越次数计算正穿越一次：由上向下穿越点左侧的负实轴一次，等价于在时，由下向上穿越线一次。负穿越一次：由下向上穿越点左侧的负实轴一次，等价于在时，由上向下穿越线一次。正穿越半次：由上向下止于或由上向下起于点左侧的负实轴，等价于在时，由下向上止于或由下向上起于线。三、频率域稳定判据（36）109n负穿越半次：由下向上止于或由上向下起于点左侧的负实轴，等价于在时，由上向下止于或由下向上起于线。注意：补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越。对数频率稳定判据设P为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是和时，曲线穿越线的次数满足对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在于前者在的频率范围内依曲线确定穿越次数N。三、频率域稳定判据（37）110n2、举例例5-10已知某系统开环稳定，开环幅相曲线如图所示，试将开环幅相曲线表示为开环对数频率特性曲线，并运用对数稳定判据判断系统的闭环稳定性。解系统开环对数频率特性曲线如图所示，然而相角具有不惟一性，图中（a）和（b）为其中的两种形式。三、频率域稳定判据（38）111n因为开环系统稳定，。由开环幅相曲线知，不需补作虚直线。三、频率域稳定判据（39）112n图（a）中，频段内，曲线与线有两个交点，依频率由小到大，分别为一次负穿越和一次正穿越，故。图（b）中，频段内，曲线与线和线有四个交点，依频率由小到大，分别为半次负穿越、半次负穿越、半次正穿越和半次正穿越，故。按对数稳定判据，图（a）和图（b）都有，且，故系统闭环稳定。三、频率域稳定判据（40）113n例5-11已知开环系统型次，开环对数相频特性曲线如图所示，图中时，，试确定闭环不稳定极点的个数。解因为，需在低频处由曲线向上补作的虚直线于，如图所示。知，按对数稳定判据故闭环不稳定极点的个数为3。三、频率域稳定判据（41）114n例利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统的开环传递函数为解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。由于开环系统稳定，即P＝0，因而该闭环系统稳定的充要条件是：在dB的频域内，相频特性不穿越线，或正、负穿越数之差为零。由图可见在的频域内总大于，故闭环系统是稳定的。三、频率域稳定判据（42）115n三、频率域稳定判据（43）116n例利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统开环传递函数为解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。该系统开环传递函数含有2个积分环节,且时,，用虚线绘出相频特性的增补部分。由图知dB的频段上,＝0，＝1，R＝－2，而P＝0，则Z＝2，闭环系统不稳定。三、频率域稳定判据（44）117n系统伯德图三、频率域稳定判据（45）118n5-3-4条件稳定系统通过前面例子分析可知，若开环传递函数在开右半s平面的极点数P＝0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统，称为条件稳定系统。相应地，无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。三、频率域稳定判据（46）119n四、稳定裕度本节主要内容：1、相角裕度和幅值裕度的概念2、举例说明120n控制系统参数的变化，可能会引起系统由稳定变为不稳定。为了使控制系统能可靠地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够的稳定裕量，即具有一定的相对稳定性。对于开环稳定的系统，度量其闭环系统相对稳定性的方法是通过开环频率特性曲线与点（-1，j0）的接近程度来表征。开环乃氏图离点（-1，j0）越远，稳定裕度越大。一般采用相位裕度和幅值裕度来定量地表示相对稳定性。四、稳定裕度121n5-4-1、相角裕度和幅值裕度的概念1．相角裕度系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为幅值穿越频率或截止频率，记为，即定义相位裕度为相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统将处于临界稳定状态。四、稳定裕度（1）122n2．幅值裕度系统开环频率特性上相位等于-1800时所对应的角频率称为相位穿越频率，记为，即定义幅值裕度为幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将处于临界稳定状态，复平面中和的表示如下张图所示。对数坐标下，幅值裕度按下式定义：四、稳定裕度（2）123n图四、稳定裕度（3）124n例5－12已知单位反馈系统设K分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。解：可得K=4时四、稳定裕度（4）125nK=10时分别作出K=4和K=10的开环幅相曲线即闭合曲线，如图所示。由奈氏判据知：K=4时，系统闭环稳定，；K=10时，系统闭环不稳定，。四、稳定裕度（5）126n例5－14单位反馈系统的开环传递函数为试确定系统开环增益K＝5和K＝20时的相位裕度和幅值裕度。解：由系统开环传递函数知，转折频率为，。按分段区间描述方法，写出对数幅频渐近特性曲线的表达式为四、稳定裕度（11）127n本例的伯德图如左。四、稳定裕度（12）128n当K＝5时，要满足，只能在区间[1，10]，且，则当K=20时，同理可得，，。由前面知求得。四、稳定裕度（13）129n可求得当K＝5时，h＝－＝＝6dB；当K＝20时，h＝－＝－6dB。绘制K＝5和K＝20时对数频率特性曲线，如前面图所示。从图中也可概略读出K＝5和K＝20时的幅值裕度。显然，当K＝5时h>0dB,，该闭环系统稳定；而当K＝20时h<0dB，，故该闭环系统不稳定。四、稳定裕度（14）130n五、闭环系统的频域性能指标本节主要内容：1控制系统的频带宽度2系统带宽的选择3确定闭环频率特性的图解方法4闭环系统频域指标和时域指标的转换131n5-5-1控制系统的频带宽度1频带宽度当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为。即当时而频率范围（0，）称为系统带宽。五、闭环系统的频域性能指标（1）132n根据带宽定义，对高于带宽频率的正弦输入信号，系统输出将呈现较大的衰减，因此选取适当的带宽，可以抑制高频噪声的影响。但带宽过窄又会影响系统正弦输入信号的能力，降低瞬态响应的速度。因此在设计系统时，对于频率宽度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频干扰的要求。2、I型和II型系统的带宽一阶系统的闭环传函为因为开环系统为I型，，所以带宽频率为五、闭环系统的频域性能指标（2）133n二阶系统的闭环传函为系统幅频特性因为，得五、闭环系统的频域性能指标（3）134n5-5-2、系统带宽的选择由于系统会受多种非线性因素的影响，系统的输入和输出端不可避免的存在确定性扰动和随机噪声，因此控制系统的带宽的选择需综合考虑各种输入信号的频率范围及其对系统性能的影响，即应使系统对输入信号具有良好的跟踪能力和对扰动信号具有较强的抑制能力。总而言之，系统的分析应区分输入信号的性质、位置，根据其频谱或谱密度以及相应的传递函数选择合适带宽，而系统设计主要是围绕带宽来进行的。五、闭环系统的频域性能指标（4）135n5-5-3确定闭环频率特性的图解方法1、尼科尔斯图线设开环和闭环频率特性为简记，，，和为，，和，得五、闭环系统的频域性能指标（5）136n由等式两端虚部相等关系得设为常数，在平面上得到等曲线。等曲线和等曲线关于的轴对称。又知按欧拉公式有五、闭环系统的频域性能指标（6）137n进一步化简得取为某一常数，令从变化，在平面上得到一条等线，变动，则得到等线簇。等线关于的线轴对称。等线簇和等线簇统称为尼科尔斯图线。五、闭环系统的频域性能指标（7）138n5-5-4闭环系统频域指标和时域指标的转换工程中常用根据相角裕度和截止频率估算时域指标的两种方法。相角裕度表明系统的稳定程度，而系统的稳定程度直接影响时域指标、。1、系统闭环和开环频域指标的关系系统开环指标截止频率与闭环带宽有着密切的关系。对于两个稳定程度相仿的系统，大的系统，也大；小的系统，也小。五、闭环系统的频域性能指标（8）139n因此和系统响应速度存在正比关系，可用来衡量系统的响应速度。又由于闭环振荡性指标谐振和开环指标相角裕度都能表征系统的稳定程度。系统开环相频特性可表示为所以开环频率特性可表示为闭环幅频特性五、闭环系统的频域性能指标（9）140n一般，在的极大值附近，变化较小，且使为极值的谐振频率常在附近，即有当时，为极值，谐振峰值为在较小时，上式的近似程度较高。五、闭环系统的频域性能指标（10）141n2、开环频域指标和时域指标的关系典型二阶系统开环传递函数为可求得相角裕度可求得五、闭环系统的频域性能指标（11）142n对于二阶系统，一般要求：估算时域指标方法：（1）从开环对数频率特性曲线确定相角裕度（2）根据查对应的（3）由查得；由求五、闭环系统的频域性能指标（12）143n例题（1）例1：已知单位反馈系统开环传递函数为试求当K为何值时，闭环系统稳定。解：设，，则系统与实轴交点为该点的开环传函的虚部为144n由奈氏判据知闭环系统稳定的条件为：带入数值得求得故闭环系统当时稳定。例题（1）145n例2已知一单位反馈系统，其开环传函为试用奈氏判据判定系统稳定性。解：当时，当时，奈氏曲线是以点为圆心，为半径的圆，如下张图（a）所示。例题（2）146n当时，奈氏曲线逆时针包围点半圈，开环传递函数右半平面有一个极点。根据奈氏判据，系统稳定。当时，奈氏曲线逆时针不包围点，但有一个极点，系统不稳定。奈氏曲线如下。例题（2）147n例3某最小相角系统的开环对数幅频特性如图所示。要求：（1）写出系统开环传递函数；（2）利用相位裕量判断系统稳定；（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。例题（3）148n解：（1）由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故且得所以例题（3）149n（2）系统开环对数幅频特性为从而解得系统开环对数相频特性为例题（3）150n故系统稳定。（3）将系统开环对数幅频特性向右平移十倍程，可得系统新的开环传递函数其截止频率而系统的稳定性不变。例题（3）151n由时域估计指标公式得即调节时间缩短，系统动态响应加快。由得即系统超调量不变。例题（3）152n例4已知单位反馈系统得开环频率特性如下图（a）、（b）所示，图（a）中，A点对应的频率，为大于零的常数，求，，及闭环系统的阻尼比和无阻尼自然振荡频率。例题（4）153n解：由图（b）得当时，分别有可解得例题（4）154n所以可解得例题（4）155