数学（心得）之思路自然才是最美的 4页

数学论文之思路自然才是最美的 ‎ 自然是最美的。这是我们在数学教育实践中始终贯彻的基本宗旨之一。　　对高中生要不要学三垂线定理及其逆定理的观点，我看到过许多教师建议不用学的观点，理由是它在表达上可取代。尤其是更简洁。　　 例如，证明空间两直线垂直通常用两个法则，一个是线面垂直定理，另一个是三垂定理。确实是表达上，线面垂直定理在可取代三垂线定理及其逆定理，如图:要用三垂线定理证明直线c与直线三垂线定理及其逆定理垂直，必须证明直线c与直线b(a在平面 内的射影)垂直，而证明直线b是直线a在 内的射影，则又必须证明直线d垂直于平面 。如果证明了以上关系，实际上就已证明了直线c垂直于直线b、直线c 垂直于直线d，这实际上已经取了线面垂直的两个条件，故只要是用三垂线定理证明的都可以用线面垂直来做。　　笔者在教学的时候，也发现三垂线定理及其逆定理在实际应中书写较多较繁，学生不易掌握，但不讲三垂线定理及其逆定理又使学生在解题时不是少了一种方法，而是少了一种自然，许多题学生摸不着头脑，不知如何下手。相反，学了三垂线定理及其逆定理后，思路就很容易打开。　　例如已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1 D1 的底面边长为a，侧棱长为2a(如图)，　　    求： 以 B1C 为棱，AB1 C和BB1C 为面所成的二面角。　　  解 作BE⊥B1‎ ‎ C于E，连结AE， 　　  ∵ AB⊥平面BB1C，所以BE是AE在平面BB1 C上的射影，　　  根据三垂线定理知AE⊥B1C，于是　　∠ACB就是所求二面角的平面角。且⊿ABE是直角三角形。　　在Rt⊿BB1 C中，　　 　　  所以AB1C 和 BB1C 为面所成的二面角的大小是 　　正是因为学了三垂线定理及其逆定理， AB⊥平面BB1 C，自然想到斜线AE和它在平面BB1 C上的射影BE，只要其中一直线与直线 垂直，则另一条也与直线 垂直。从而一举两得。　　 又如，如图，在直三棱柱 — 中， 是线段 的中点， 是侧棱     上的一点，若 ，求线段BD的长。　　 有了三垂线定理及其逆定理后，由已知空间直线CP与BD垂直，自然想到直线BD在直线CP所在平面内的射影也与CP垂直，自然想到作辅助线DE垂直于平面 ，从而作出直线BD在直线CP所在平面 内的射影BE，条件转化成BE⊥CP，从而确定点P的位置，问题从而得到解决。一切都是那么自然。如果我们高中生不学三垂线定理及其逆定理，那么这题又如何解呢?当然不是没有办法，只有用向量法才能与它在思路自然方面媲美。　　在波利亚的《怎样解题》一书中，一再提到“好念头”，其实这就是直觉、顿悟或灵感，“想出一个好念头是一种‘灵感运动’”‎ ‎；把问题转化为一个等价问题，把问题化归为一个解决的问题，去考虑一个可能相关的问题。而每一个定理的存在就是更好的启发新念头。三垂线定理及其逆定理的作用就是由空间线线垂直启发到作射影。　　我想，表达简洁的前提是思路必须先想得到，事实上有时为了表达简洁，方法反而是想不到的。比如有时综合法比分析法简洁，但分析法为什么还要学了?由此不能否定三垂线定理及其逆定理的长处———让学生数学思维能力来得更自然。虽然在实际应用中表述较繁琐，但总比想不到想破头要好得多！比如在实际应中求二面角，在找二面角的平角时总要作辅助线，如不借助三垂线定理及其逆定理，这些辅助线是不易想到的。　　只因为在实际应用表达上可取代而否定三垂线定理及其逆定理的优点是不可取的，如果高中生不用学三垂线定理及其逆定理，那干脆就让学生学五个基本公理就够了，反证后面的定理都可取代，但不要忘了，定理的作用除了使我们表达简洁外，更重要的是打开思路，形成条件反射，让解题来得更自然！　　当然，不可否认在证明空间线线垂直时，利用线面垂直在表达上更简洁。我们可这想，用三垂线定理及其逆定理打开思路，然后再用线面垂直的方式来表述，岂不是达到简洁的目的了吗?表达简洁与思路自然相比，思路自然是最美的。　　我的观点是：高中生最好还是学三垂线定理及其逆定理。　　参考文献　　 1.  乔希民。让学生数学思维能力来得更自然，《中学数学》2004，5　　 2.  杜家栋。高中生非学三垂线定理用其逆定理不可吗。数学通报，2002，1　　 3.  徐汝成。教活立体几何，活化学生思维，《中学数学》2004，5　　‎ ‎ 4.  罗增儒，罗新兵，波利亚的怎样解题表，《中学数学》2004，5    ‎