高中物理圆周运动实例分析 41页

难点之三：圆周运动的实例分析一、难点形成的原因1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了解大概，在解题过程中不能灵活应用；3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目，受力分析不按照一定的步骤，漏掉重力或其它力，因为一点小失误，导致全盘皆错。4、圆周运动的周期性把握不准。5、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。二、难点突破（1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。圆周运动也不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。b.最常见的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。例1：如图3-1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L=2m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s时，上下两轻绳拉力各为多少？【审题】两绳张紧时，小球受的力由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。图3-1【解析】如图3-1所示，当BC刚好被拉直，但其拉力T2恰为零，设此时角速度为ω1，AC绳上拉力设为T1，对小球有：①②代入数据得：，要使BC绳有拉力，应有ω>ω1，当AC绳恰被拉直，但其拉力T1恰为零，设此时角速度为ω2，BC绳拉力为T2，则有③T2sin45°=mLACsin30°④代入数据得：ω2=3.16rad/s。要使AC绳有拉力，必须ω<ω2，依题意ω=4rad/s>ω2，故AC绳已无拉力，AC绳是松驰状态，BC绳与杆的夹角θ>45°，对小球有：第-41-页共41页\nT2cosθ=mω2LBCsinθ⑤而LACsin30°=LBCsin45°LBC=m⑥由⑤、⑥可解得；【总结】当物体做匀速圆周运动时，所受合外力一定指向圆心，在圆周的切线方向上和垂直圆周平面的方向上的合外力必然为零。（2）同轴装置与皮带传动装置在考查皮带转动现象的问题中，要注意以下两点：a、同一转动轴上的各点角速度相等；b、和同一皮带接触的各点线速度大小相等，这两点往往是我们解决皮带传动的基本方法。图3-2例2：如图3-2所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则A．a点与b点线速度大小相等B．a点与c点角速度大小相等C．a点与d点向心加速度大小相等D．a、b、c、d四点，加速度最小的是b点【审题】分析本题的关键有两点：其一是同一轮轴上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同。这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论。【解析】由图3-2可知，a点和c点是与皮带接触的两个点，所以在传动过程中二者的线速度大小相等，即va＝vc，又v＝ωR，所以ωar＝ωc·2r，即ωa＝2ωc．而b、c、d三点在同一轮轴上，它们的角速度相等，则ωb＝ωc＝ωd＝ωa，所以选项Ｂ错．又vb＝ωb·r＝ωar＝，所以选项A也错．向心加速度：aa＝ωa2r；ab＝ωb2·r＝（）2r＝ωa2r＝aa；ac＝ωc2·2r＝（ωa）2·2r＝ωa2r＝aa；ad＝ωd2·4r＝（ωa）2·4r＝ωa2r＝aa．所以选项C、D均正确。图3-3【总结】该题除了同轴角速度相等和同皮带线速度大小相等的关系外，在皮带传动装置中，从动轮的转动是静摩擦力作用的结果．从动轮受到的摩擦力带动轮子转动，故轮子受到的摩擦力方向沿从动轮的切线与轮的转动方向相同；主动轮靠摩擦力带动皮带，故主动轮所受摩擦力方向沿轮的切线与轮的转动方向相反。是不是所有第-41-页共41页\n的题目都要是例1这种类型的呢？当然不是，当轮与轮之间不是依靠皮带相连转动，而是依靠摩擦力的作用或者是齿轮的啮合，如图3-3所示，同样符合例1的条件。（3）向心力的来源a．向心力是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切记在物体的作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外不要再添加一个向心力。b．对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析：①确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。②明确运动情况，包括搞清运动速率v，轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等。只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小(mv2/R)和向心力方向（指向圆心）。③分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）。④选用公式F=m=mRω2=mR解得结果。c．圆周运动中向心力的特点：①匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。②变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。③当物体所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R时，物体做离心运动。图3-4例3：如图3-4所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为μ，当碗绕竖直轴OO/匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．【审题】物体A随碗一起转动而不发生相对滑动，则物体做匀速圆周运动的角速度ω就等于碗转动的角速度ω。物体A做匀速圆周运动所需的向心力方向指向球心O，故此向心力不是由重力而是由碗壁对物体的弹力提供，此时物体所受的摩擦力与重力平衡。【解析】物体A做匀速圆周运动，向心力：而摩擦力与重力平衡，则有：即：由以上两式可得：即碗匀速转动的角速度为：第-41-页共41页\n【总结】分析受力时一定要明确向心力的来源，即搞清楚什么力充当向心力．本题还考查了摩擦力的有关知识：水平方向的弹力为提供摩擦力的正压力，若在刚好紧贴碗口的基础上，角速度再大，此后摩擦力为静摩擦力，摩擦力大小不变，正压力变大。图3-5例4：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为__________。【审题】铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的力F的合力．由圆周运动的规律可知：当m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小。【解析】设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为F1和F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mg＋F1＝mω2r①在最低点：F2－mg＝mω2r②电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：ΔFN＝F2＋F1③由①②③式可解得：ΔFN＝2mω2r【总结】（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?（2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力?（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?解：（1）做初速度沿圆周切线方向，只受重力的平抛运动。（2）电机对铁块无作用力时，重力提供铁块的向心力，则mg＝mω12r即ω1＝（3）铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为F1，则F1＋mg＝mω22rF1＝Mg即当ω2≥时，电动机可以跳起来，当ω2＝时，铁块在最低点时电机对地面压力最大，则F2－mg＝mω22rFN＝F2＋Mg解得电机对地面的最大压力为FN＝2（M＋m）g（4）圆周运动的周期性利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。图3-6在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。例5：如图3-6所示，半径为R第-41-页共41页\n的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的圆周运动。【解析】①小球做平抛运动，在竖直方向上：h＝gt2则运动时间t＝又因为水平位移为R所以球的速度v＝＝R·②在时间t内，盘转过的角度θ＝n·2π，又因为θ＝ωt则转盘角速度：ω＝＝2nπ(n＝1，2，3…)【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。图3-7例6：如图3-7所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，必须满足时间相等这个条件。【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得gt2=h求得t=Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有t=(4n+1)(n=0，1，2，3……)两式联立再由T=得(4n+1)=所以ω=(4n+1)(n=0，1，2，3……)【总结】第-41-页共41页\n由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重复性。在做这类题目时，应该考虑圆周运动的周期性。（5）竖直平面内圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题：图3-8（1）如上图3-8所示，没有物体支撑的小球，在绳和轨道的约束下，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mg＝mv临界＝。②能过最高点的条件：v≥，当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。图3-9③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）（2）如图3-9球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：①当v＝0时，FN＝mg（FN为支持力）。②当0＜v＜时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力。③当v＝时，FN＝0。图3-10④当v＞时，FN为拉力，FN随v的增大而增大。如图所示3-10的小球在轨道的最高点时，如果v≥此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力。图3-11例7：半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图3-11所示。顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度，则物体甲将（）A．沿球面下滑至M点B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面作斜下抛运动C．按半径大于R的新的圆弧轨道作圆周运动D．立即离开半圆球作平抛运动【审题】物体在初始位置受竖直向下的重力，因为v0=，所以，球面支持力为零，又因为物体在竖直方向向下运动，所以运动速率将逐渐增大，若假设物体能够沿球面或某一大于R第-41-页共41页\n的新的圆弧做圆周运动，则所需的向心力应不断增大。而重力沿半径方向的分力逐渐减少，对以上两种情况又不能提供其他相应的指向圆心的力的作用，故不能提供不断增大的向心力，所以不能维持圆周运动。【解析】物体应该立即离开半圆球做平抛运动，故选D。【总结】当物体到达最高点，速度等于时，半圆对物体的支持力等于零，所以接下来物体的运动不会沿着半圆面，而是做平抛运动。图3-12（6）圆周运动的应用a.定量分析火车转弯的最佳情况。　　①受力分析：如图所示3-12火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。②动力学方程：根据牛顿第二定律得　　mgtanθ＝m　　其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。　　③分析结论：解上述方程可知　　＝rgtanθ　　可见，最佳情况是由、r、θ共同决定的。　　当火车实际速度为v时，可有三种可能，　　当v＝时，内外轨均不受侧向挤压的力；　　当v＞时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；　　当v＜时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等我们讨论的火车转弯问题，实质是物体在水平面的匀速圆周运动，从力的角度看其特点是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在竖直方向，因此物体除了重力外，至少再受到一个力，才有可能使物体产生在水平面做匀速圆周运动的向心力．实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力来提供，如上图3-12所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上，F=Gtgθ=mgtgθ，故mgtgθ=m。b.汽车过拱桥汽车静止在桥顶与通过桥顶是否同种状态？不是的，汽车静止在桥顶、或通过桥顶，虽然都受到重力和支持力。但前者这两个力的合力为零，后者合力不为零。汽车过拱桥桥顶的向心力如何产生？方向如何？汽车在桥顶受到重力和支持力，如图3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向竖直向下。第-41-页共41页\n图3-13　运动有什么特点？①动力学方程：　　由牛顿第二定律　　G－＝m解得＝G－m-　　②汽车处于失重状态　　汽车具有竖直向下的加速度，＜mg，对桥的压力小于重力．这也是为什么桥一般做成拱形的原因．　　③汽车在桥顶运动的最大速度为根据动力学方程可知，当汽车行驶速度越大，汽车和桥面的压力越小，当汽车的速度为时，压力为零，这是汽车保持在桥顶运动的最大速度，超过这个速度，汽车将飞出桥顶，做平抛运动。图3-14另：c．人骑自行车转弯由于速度较大，人、车要向圆心处倾斜，与竖直方向成φ角，如图3-14所示，人、车的重力mg与地面的作用力F的合力作为向心力．地面的作用力是地面对人、车的支持力FN与地面的摩擦力的合力，实际上仍是地面的摩擦力作为向心力。由图知，F向=mgtanφ=m2．圆锥摆图3-15摆线张力与摆球重力的合力提供摆球做匀速圆周运动的向心力．如图3-15所示，质量为m的小球用长为L的细线连接着，使小球在水平面内做匀速圆周运动．细线与竖直方向夹角为α，试分析其角速度ω的大小。对小球而言，只受两个力：重力mg和线的拉力T．这两个力的合力mgtanα提供向心力，半径r＝Lsinα，所以由F＝mrω2得，mgtanα＝mLsinα·ω2整理得ω＝可见，角速度越大，角α也越大。3．杂技节目“水流星”第-41-页共41页\n图3-16表演时，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面内做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如图所示，这是为什么？分析：以杯中之水为研究对象进行受力分析，根据牛顿第二定律可知：F向＝m，此时重力G与FN的合力充当了向心力即F向＝G＋FN故：G＋FN＝m由上式可知v减小，F减小，当FN＝0时，v有最小值为。讨论：①当mg＝m，即v＝时，水恰能过最高点不洒出，这就是水能过最高点的临界条件；②当mg＞m，即v＜时，水不能过最高点而不洒出；③当mg＜m，即v＞时，水能过最高点不洒出，这时水的重力和杯对水的压力提供向心力。例8：绳系着装有水的水桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m＝0.5kg，绳长L＝60cm，求：①最高点水不流出的最小速率。②水在最高点速率v＝3m/s时，水对桶底的压力。【审题】当v0=时，水恰好不流出，要求水对桶底的压力和判断是否能通过最高点，也要和这个速度v比较，v>v0时，有压力；v=v0时，恰好无压力；v≤v0时，不能到达最高点。【解析】①水在最高点不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力即mg＜，则最小速度v0＝＝＝2.42m/s。②当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律F＋mg＝m得：F＝2.6N。由牛顿第三定律知，水对水桶的作用力F′＝－F＝－2.6N，即方向竖直向上。图3-17【总结】第-41-页共41页\n当速度大于临界速率时，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底对水产生向下的压力。例2：汽车质量m为1.5×104kg，以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15m，如图3-17所示．如果路面承受的最大压力不得超过2×105N，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少？【审题】首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以汽车经过凹形路面最低点时，汽车对路面的压力最大。【解析】当汽车经过凹形路面最低点时，设路面支持力为FN1，受力情况如图3-18所示，由牛顿第二定律，有FN1－mg＝m要求FN1≤2×105N图3-18图3-19解得允许的最大速率vm＝7.07m/s由上面分析知，汽车经过凸形路面顶点时对路面压力最小，设为FN2，如图3-19所示，由牛顿第二定律有mg－FN2＝解得FN2＝1×105N。【总结】汽车过拱桥时，一定要按照实际情况受力分析，沿加速度方向列式。（7）离心运动离心现象条件分析①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图3-20中B所示。②当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图3-20中A所示。③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图3-20所示。第-41-页共41页\n图3-20在实际中，有一些利用离心运动的机械，这些机械叫做离心机械。离心机械的种类很多，应用也很广。例如，离心干燥（脱水）器，离心分离器，离心水泵。例9：一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h．当雨伞以角速度ω旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周．这个大圆的半径为_______。【审题】想象着实际情况，当以一定速度旋转雨伞时，雨滴甩出做离心运动，落在地上，形成图3-21一个大圆。【解析】雨滴离开雨伞的速度为v0＝ωr雨滴做平抛运动的时间为t＝雨滴的水平位移为s＝v0t＝ωr雨滴落在地上形成的大圆的半径为R＝【总结】通过题目的分析，雨滴从伞边缘沿切线方向，以一定的初速度飞出，竖直方向上是自由落体运动，雨滴做的是平抛运动，把示意图画出来，通过示意图就可以求出大圆半径。（8）难点突破⑧——圆周运动的功和能应用圆周运动的规律解决实际生活中的问题，由于较多知识交织在一起，所以分析问题时利用能量守恒定律和机械能守恒定律的特点作为解题的切入点，可能大大降低难度。例9：使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？【审题】小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道。要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足Mg+NA=m，式中，NA为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA=0时，vA最小，vA=。这就是说，要使小球到达A点，则应该使小球在A点具有的速度vA≥。【解析】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。小球在圆形轨道最高点A时满足方程第-41-页共41页\n根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程（2）解(1)，(2)方程组得当NA=0时，VB=为最小，VB=所以在B点应使小球至少具有VB=的速度，才能使它到达圆形轨道的最高点A。【总结】在杆和管子的约束下做圆周运动时，可以有拉力和支持力，所以在最高点的速度可以等于零；在圆轨道和绳子的约束下做圆周运动时，只能有拉力，所以在最高点的速度必须大于。（9）实验中常见的圆周运动综合题往往以圆周运动和其他物理知识为背景，这类题代表了理科综合命题方向，要在平日的做题中理解题目的原理，灵活的把握题目。例10：图3-22甲所示为测量电动机转动角速度的实验装置，半径不大的圆形卡纸固定在电动机转轴上，在电动机的带动下匀速转动．在圆形卡纸的旁边垂直安装一个改装了的电火花计时器。①请将下列实验步骤按先后排序：　　　　　　　　．A．使电火花计时器与圆形卡纸保持良好接触B．接通电火花计时器的电源，使它工作起来C．启动电动机，使圆形卡纸转动起来D．关闭电动机，拆除电火花计时器；研究卡纸上留下的一段痕迹（如图3-22乙所示），写出角速度ω的表达式，代入数据，得出ω的测量值②要得到ω的测量值，还缺少一种必要的测量工具，它是　　　　．A．秒表　　　B．毫米刻度尺　　　C．圆规　　　　D．量角器③写出角速度ω的表达式，并指出表达式中各个物理量的意义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．④为了避免在卡纸连续转动的过程中出现打点重叠，在电火花计时器与盘面保持良好接触的同时，可以缓慢地将电火花计时器沿圆形卡纸半径方向向卡纸中心移动．则卡纸上打下的点的分布曲线不是一个圆，而是类似一种螺旋线，如图3-22丙所示．这对测量结果有影响吗？　　　　　图3-22第-41-页共41页\n【审题】因为这个题目用的是打点计时器，所以两点之间的时间是0.02s，通过量角器量出圆心到两点之间的角度，利用ω=θ/t。【解析】具体的实验步骤应该是A、C、B、D，量出角度应该用量角器D，，θ为ｎ个点对应的圆心角，ｔ为时间间隔；应该注意的一个问题是不能转动一圈以上，因为点迹重合，当半径减小时，因为单位时间内转过的角度不变，所以没有影响。【总结】本题考查的是圆周运动中角速度的定义，ω=θ/t，实验中θ是用量角器测量出来的，时间t的测量用的是打点计时器，应该充分发挥想象，不是打点计时器只能测量直线运动。第-41-页共41页\n难点之四卫星问题分析一、难点形成原因：卫星问题是高中物理内容中的牛顿运动定律、运动学基本规律、能量守恒定律、万有引力定律甚至还有电磁学规律的综合应用。其之所以成为高中物理教学难点之一，不外乎有以下几个方面的原因。1、不能正确建立卫星的物理模型而导致认知负迁移由于高中学生认知心理的局限性以及由牛顿运动定律研究地面物体运动到由天体运动规律研究卫星问题的跨度，使其对卫星、飞船、空间站、航天飞机等天体物体绕地球运转以及对地球表面物体随地球自转的运动学特点、受力情形的动力学特点分辩不清，无法建立卫星或天体的匀速圆周运动的物理学模型（包括过程模型和状态模型），解题时自然不自然界的受制于旧有的运动学思路方法，导致认知的负迁移，出现分析与判断的失误。2、不能正确区分卫星种类导致理解混淆人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、中高轨道卫星、地球同步轨道卫星、地球静止卫星、太阳同步轨道卫星、大椭圆轨道卫星和极轨道卫星；按科学用途可分为气象卫星、通讯卫星、侦察卫星、科学卫星、应用卫星和技术试验卫星。。。。。。由于不同称谓的卫星对应不同的规律与状态，而学生对这些分类名称与所学教材中的卫星知识又不能吻合对应，因而导致理解与应用上的错误。3、不能正确理解物理意义导致概念错误卫星问题中有诸多的名词与概念，如，卫星、双星、行星、恒星、黑洞；月球、地球、土星、火星、太阳；卫星的轨道半径、卫星的自身半径；卫星的公转周期、卫星的自转周期；卫星的向心加速度、卫星所在轨道的重力加速度、地球表面上的重力加速度；卫星的追赶、对接、变轨、喷气、同步、发射、环绕等问题。。。。。。因为不清楚卫星问题涉及到的诸多概念的含义，时常导致读题、审题、求解过程中概念错乱的错误。4、不能正确分析受力导致规律应用错乱由于高一时期所学物体受力分析的知识欠缺不全和疏于深化理解，牛顿运动定律、圆周运动规律、曲线运动知识的不熟悉甚至于淡忘，以至于不能将这些知识迁移并应用于卫星运行原理的分析，无法建立正确的分析思路，导致公式、规律的胡乱套用，其解题错误也就在所难免。5、不能全面把握卫星问题的知识体系，以致于无法正确区分类近知识点的不同。如，开普勒行星运动规律与万有引力定律的不同；赤道物体随地球自转的向心加速度与同步卫星环绕地球运行的向心加速度的不同；月球绕地球运动的向心加速度与月球轨道上的重力加速度的不同；卫星绕地球运动的向心加速度与切向加速度的不同；卫星的运行速度与发射速度的不同；由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同；天体的自身半径与卫星的轨道半径的不同；两个天体之间的距离Ｌ与某一天体的运行轨道半径ｒ的不同。。。。。。只有明确的把握这些类近而相关的知识点的异同时才能正确的分析求解卫星问题。第-41-页共41页\n二、难点突破策略：（一）明确卫星的概念与适用的规律：1、卫星的概念：由人类制作并发射到太空中、能环绕地球在空间轨道上运行（至少一圈）、用于科研应用的无人或载人航天器，简称人造卫星。高中物理的学习过程中要将其抽象为一个能环绕地球做圆周运动的物体。2、适用的规律：牛顿运动定律、万有引力定律、开普勒天体运动定律、能量守恒定律以及圆周运动、曲线运动的规律、电磁感应规律。。。。。均适应于卫星问题。但必须注意到“天上”运行的卫星与“地上”运动物体的受力情况的根本区别。（二）认清卫星的分类：高中物理的学习过程中，无须知道各种卫星及其轨道形状的具体分类，只要认清地球同步卫星（与地球相对静止）与一般卫星（绕地球运转）的特点与区别即可。（1）、地球同步卫星：①、同步卫星的概念：所谓地球同步卫星，是指相对于地球静止、处在特定高度的轨道上、具有特定速度且与地球具有相同周期、相同角速度的卫星的一种。②、同步卫星的特性：不快不慢------具有特定的运行线速度（V=3100m/s）、特定的角速度（ω=7.26x10-5rad/s）和特定的周期（T=24小时）。不高不低------具有特定的位置高度和轨道半径，高度H=3.58x107m,轨道半径r=4.22x107m.不偏不倚------同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，轨道中心与地心重合，只能‘静止’在赤道上方的特定的点上。证明如下：如图4-1所示，假设卫星在轨道A上跟着地球的自转同步地匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力Ｆ引，Ｆ引中除用来作向心力的Ｆ1外，还有另一分力Ｆ2，由于Ｆ2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。图4-1由得∴h=R-R地是一个定值。(h是同步卫星距离地面的高度)因此，同步卫星一定具有特定的位置高度和轨道半径。③、同步卫星的科学应用：同步卫星一般应用于通讯与气象预报，高中物理中出现的通讯卫星与气象卫星一般是指同步卫星。（2）、一般卫星：①、定义：一般卫星指的是，能围绕地球做圆周运动，其轨道半径、轨道平面、运行速度、运行周期各不相同的一些卫星。②、、卫星绕行速度与半径的关系：由得：即(r越大v越小)第-41-页共41页\n③、、卫星绕行角速度与半径的关系：由得：即；（r越大ω越小）④、、卫星绕行周期与半径的关系：由得：即（r越大Ｔ越大），（3）双星问题两颗靠得很近的、质量可以相比的、相互绕着两者连线上某点做匀速圆周运的星体，叫做双星．双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于引力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度与两子星的轨道半径成正比．（三）运用力学规律研究卫星问题的思维基础：①光年，是长度单位，1光年=9.46×1012千米②认为星球质量分布均匀，密度，球体体积，表面积③地球公转周期是一年（约365天，折合8760小时），自转周期是一天（约24小时）。④月球绕地球运行周期是一个月（约28天，折合672小时；实际是27.3天）⑤围绕地球运行飞船内的物体，受重力，但处于完全失重状态。B同步轨道地球A图4-2⑥发射卫星时，火箭要克服地球引力做功。由于地球周围存在稀薄的大气，卫星在运行过程中要受到空气阻力，动能要变小，速率要变小，轨道要降低，即半径变小。⑦视天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。⑧天体质量Ｍ、密度ρ的估算：测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期Ｔ，由得：，（当卫星绕天体表面运动时，ρ=3π/GT2）⑨发射同步通讯卫星一般都要采用变轨道发射的方法：点火，卫星进入停泊轨道（圆形轨道，高度200—300km），当卫星穿过赤道平面时，点火，卫星进入转移轨道（椭圆轨道），当卫星达到远地点时，点火，进入静止轨道（同步轨道）。如图4-2所示。⑩明确三个宇宙速度：第一宇宙速度（环绕速度）：v=7.9千米／秒；（地球卫星的最小发射速度）第二宇宙速度（脱离速度）：v=11.2千米／秒；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）第-41-页共41页\n第三宇宙速度（逃逸速度）：v=16.7千米／秒。（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）人造卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的，但是发射高度大的卫星克服地球的引力做功多，所以将卫星发射到离地球远的轨道，在地面上的发射速度就越大。三、运用力学规律研究卫星问题的基本要点1、必须区别开普勒行星运动定律与万有引力定律的不同（1）开普勒行星运动定律开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运动的轨道均是椭圆，太阳处在这些椭圆轨道的一个公共焦点上。开普勒第二定律（面积定律）：太阳和运动着的行星之间的联线，在相等的时间内扫过的面积总相等。开普勒第三定律（周期定律）：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。若用r表示椭圆轨道的半长轴，用T表示行星的公转周期，则有k=r3/T2是一个与行星无关的常量。　　开普勒总结了第谷对天体精确观测的记录，经过辛勤地整理和计算，归纳出行星绕太阳运行的三条基本规律。开普勒定律只涉及运动学、几何学方面的内容。开普勒定律为万有引力定律的提出奠定了理论基础，此三定律也是星球之间万有引力作用的必然结果。（２）万有引力定律万有引力定律的内容是：宇宙间一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们间的距离的平方成反比。万有引力定律的公式是：F=，（Ｇ=6.67×１０－11牛顿·米2／千克2，叫作万有引力恒量）。万有引力定律的适用条件是：严格来说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时公式也近似适用，但此时它们间距离r应为两物体质心间距离。（3）开普勒行星运动定律与万有引力定律的关系：万有引力定律是牛顿根据行星绕太阳（或恒星）运动的宇宙现象推知行星所需要的向心力必然是由太阳对行星的万有引力提供，进而运用开普勒行星运动定律推导发现了万有引力定律.开普勒行星运动定律是万有引力定律的理论基础。开普勒行星运动定律从轨道形状、运动速度、转动周期、轨道半径等方面描述、揭示了行星绕太阳（或恒星）运动的宇宙现象，表明了天体运动运动学特征和规律。万有引力定律是从行星转动所需要的向心力来源与本质上揭示了行星与太阳（或恒星）以及宇宙万物间的引力关系，描述的是行星运动的动力学特征与规律。例1：世界上第一颗人造地球卫星环绕地球运行轨道的长轴比第二颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴短8000km,第一颗人造地球卫星环绕地球运转的周期是96.2min,求第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴和第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期（已知地球质量Ｍ＝５.９８X1024kg）.【审题】本题中第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴与第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期均是待求量，仅由开普勒行星运动定律难以求解。因此可以假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由万有引力提供向心力的关系求出引卫星的R3/T2第-41-页共41页\n，又由开普勒第三定律知，所有绕地球运行的卫星的r3/T2值均相等，只要把假想卫星的R3/T2题中的二卫星的r3/T2值相比较即可求得结论。【解析】假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由于万有引力提供向心力，则GMm/R2=m4π2R/T2解之得K=R3/T2=GM/4π2，再设第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴为a,第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期为T，由开普勒第三定律得K=（a/2）3/T12=（a/2+4000）3/T22由以上二式得，a=1.47×107m.T2=96.3min.【总结】由于此题中有两个待求物理量，单纯地运用万有引定律或开普勒行星运动定律难以求解，故而联立两个定律合并求解。同时，再假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由万有引力提供向心力的关系求出卫星的R3/T2，由开普勒第三定律得知所有绕地球运行的卫星的r3/T2值均相等，找出等量关系即可求解。这种‘虚拟’卫星的思路十分重要，也是此题求解的‘切入口’。图4-3例2：如图4-3所示，在均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？【解析】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解完整的均质球体对球外质点m的引力此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对近质点的引力F2之和，即F=F1+F2。因为半径为R/2的小球质量M′=；则，所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力为:【总结】如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式却只能适应于两个质点或均匀的球体。挖去空穴后的剩余部分已不再是均质球了，故不能直接使用上述公式计算引力。2、必须区别开普勒第三行星定律中的常量K与万有引力定律中常量G的不同（1）开普勒第三定律中的常量K：开普勒第三定律中的常量K=r3/T2，对于行星与太阳的天体系统而言，常量K仅与太阳的质量有关而与行星的质量无关。此规律对于其它的由‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统同样适用。常量K仅由‘中心天体’的质量决定而与‘环绕天体’的质量无关。‘中心天体’相同的天体系统中的常量K相同，‘中心天体’不同的天体系统的常量K也不同。“K=r3/T2=常量”的伟大意义在于启发牛顿总结、发现了万有引力定律。第-41-页共41页\n（2）万有引力定律中的常量G：万有引力定律中的常量G是由万有引力定律F=变形求出的，G=Fr2/m1m2，数值是G=6。67×10-11Nm2/Kg2.是卡文迪许扭秤实验测出的，适用于宇宙间的所有物体。万有引力定律中的常量G的测定不仅证明了万有引力的存在，更体现了万有引力定律在天文研究中的巨大价值。（3）常量K与常量G的关系：常量K与常量G有如下关系，K=GM/4π2，或者G=4π2/GM。K的值由‘中心天体’的质量而定，而常量G则是一个与任何因素无关的普适常量。例3：行星绕太阳运转的轨道是椭圆，这些椭圆在一般情况下可以近似视为圆周轨道，试用万有引力定律和向心力公式证明对所有绕太阳运转的行星，绕太阳公转轨道半径的立方与运转周期的平方的比值为常量。论述此常量的决定因素有哪些?此结论是否也适用于地球与月球的系统？【审题】本题中行星绕太阳运转的轨道近似视为圆周轨道时，只要运用万有引力定律和向心力公式即可证明得出结论。【解析】因为行星绕太阳运转需要的向心力是由太阳的万有引力提供，设太阳质量为M，行星的质量为m，行星绕太阳运转轨道的半径为r，运行周期为T，则，GMm/r2=m4π2r/T2,故，r3/T2=GM/4π2，即，K=GM/4π2。图4-4显然，由于太阳质量一定，K的数值仅由太阳质量M决定，与其它因素无关。这一结论适用于地球与月球系统，也适用于其它‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统。【总结】开普勒第三定律中的常量K与万有引力定律中的常量G的这种关系（K=GM/4π2，或者G=4π2/GM）可以用来方便的求解卫星类的问题，作为一种解题的‘切入口’应在解题过程中予以重视。3、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同（1）地球对地面物体的万有引力：地面上的物体所受地球引力的大小均由万有引力定律的公式F=决定，其方向总是指向地心。（2）地面物体所受的重力：处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的，其大小为mg，方向竖直向下（绝不可以说为“垂直向下”和“指向地心”）。地面上同一物体在地球上不同纬度处的的重力是不同的。在地球的两极上最大，在地球赤道上最小，随着位置从赤道到两极的移动而逐渐增大-----这种现象不是‘超重’，应该与‘超重’现象严格区别开来。以地球赤道上的物体为例，如图4-4所示，质量为m的物体受到的引力为F=GMm/R2，因此物体与地球一起转动，即以地心为圆心，以地球半径为半径做匀速圆周运动，角速度即与地球的自转角速度相同，所需要的向心力为F向=mωR2=mR4π2/T2.因地球自转周期较大，F向必然很小，通常可忽略，故物体在地球两极M或N上时其重力等于受到的万有引力。一般说来，同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小，有时可以近似认为重力等于万有引力，即mg=。第-41-页共41页\n在任何星体表面上的物体所受的重力均是mg=，而物体在距星体表面高度为h处的重力为mg’=Gm1m2/(r+h)2（3）地面物体随地球自转所需的向心力：由于地球的自转，处于地球上的物体均随地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，大小是F向=mω2r=mr4π2/T2(ω是地球自转角速度，r是物体与地轴间的距离，T是地球的自转周期)，其方向是垂直并指向地轴。对于同一物体，这一向心力在赤道时最大，F大=mω2R（R是地球半径）；在两极时最小，F小=0。图4-5因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图4-5所示．实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图4-5所示．这个重力与地面对物体的支持力是一对平衡力．在赤道上时这些力在一条直线上．当在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律可得其动力学关系为，式中R、M、、T分别为地球的半径、质量、自转角速度以及自转周期。当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即N=0，这时物体做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转天体也是同样适用的。（4）万有引力、重力、向心力三者间的关系：地面物体随地球自转所需向心力F向=mω2r=mr4π2/T由万有引力F引=GMm/R2提供，F向是F引的一个分力，引力F引的另一个分力才是物体的重力mg，引力F引是向心力F向和重力mg的合力，三者符合力的平行四边形定则，大小关系是F引≥mg>F向。例4：已知地球半径R=6.37×106m.地球质量M=5.98×1024Kg,万有引力常量G=6．67×10-11Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量m=1Kg的物体对弹簧秤的拉力多大？【审题】对物体受力分析如图4-6所示，弹簧秤对物体竖直向上的拉力和地球对物体竖直向下的万有引力的合力提供了物体随地球自转而做匀速圆周运动的向心力。图4-6【解析】在赤道附近处的质量m=1Kg的物体所受地球的万有引力为F=GMm/R2=6.67×10-11×5.98×1024×1/(6.37×106)2N=9.830N此物体在赤道所需向心力为F向=mω2R=mR4π2/T2=1×（）2×6.37×106N=0.0337N。此物体在赤道所受到的弹簧秤拉力为F拉=F-F向=（9.830-0.0337）N=9.796N。第-41-页共41页\n由牛顿第三定律可知，物体对弹簧秤的拉力为F拉=9.796N。亦即物体所受到的重力也是9.796N。【总结】由计算可知，引力F=9.830N远大于向心力F向=0.0337N，而物体所受重力9.796N与物体所受的万有引力F=9.830N相差很小，因而一般情况下可认为重力的大小等于万有引力的大小。但应该切记两点：①重力一般不等于万有引力，仅在地球的两极时才可有大小相等、方向相同，但重力与万有引力仍是不同的两个概念。②不能因为物体随地球自转所需要的向心力很小而混淆了万有引力、重力、向心力的本质区别。例5：地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的()倍A.B.C.D.【审题】依据牛顿第二定律和万有引力定律，以赤道上的物体“飘”起来的动力学本质为‘切入口,’即可求出地球转动的角速度。【解析】设地球原来自转的角速度为，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力,N表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得①由于物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有②当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为，有③联立①、②、③三式可得，所以正确答案为B选项。【总结】当赤道上的物体“飘”起来时,是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态，地球对物体的支持力为零，只有万有引力完全提供向心力，只要正确运用牛顿第二定律和万有引力定律列式求解即可。例6：假设火星和地球都是球体，火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p，火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，那么离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比等于多少？【审题】解题时要明确以下二点：一、因为已知火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p以及火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，故可以运用比例法进行求解。二、所求的是离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比，而不是火星表面与地球表面的重力加速度之比。【解析】物体的重力来自万有引力，所以离火星表面Ｒ火高处：m=GＭ火·m/(２Ｒ火)2=。离地对表面Ｒ地高处：m=GＭ地·m/(２Ｒ地)2，=第-41-页共41页\n∴/=·＝P/q2【总结】由于引力定律公式中只有乘法与除法，故可以运用比例法进行求解。对星球表面上空某处的重力加速度公式，也可以这样理解：g′和星球质量成正比和该处到球心距离的平方成反比。4、必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同对于天体质量的测量，常常是运用万有引力定律并通过观测天体的运行周期T和轨道半径r（必须明确天体的运行周期T和轨道半径r是研究卫星问题中的两个关键物理量），把天体或卫星的椭圆轨道运动近似视为匀速圆周运动，然后求解。但是必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同。所谓‘中心天体’是指位于圆周轨道中心的天体，一般是质量相对较大的天体；如，恒星、行星等等。所谓‘环绕天体’是指绕着‘中心天体’做圆周运动的天体或者卫星以及人造卫星，一般是质量相对较小的天体或卫星。此种方法只能用来测定‘中心天体’的质量，而无法用来测定‘环绕天体’的质量。这是解题时必须注意的。（1）根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量，其公式推证过程是：由mg=G得.（式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．）（2）根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度或线速度v，可求得中心天体的质量为例7：已知引力常量G和以下各组数据，能够计算出地球质量的是：A．地球绕太阳运行的周期和地球与太阳间的距离B．月球绕地球运行的周期和月球与地球间的距离C．人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期D．若不考虑地球的自转，已知地球的半径与地面的重力加速度【审题】此题中的目的是求解‘地球’的质量，其关键在于题中所给四个情景中“地球”是否是一个‘中心天体’．若地球是一个‘中心天体’，则可在题中所给的四个情景中找到以地球为‘中心天体’、以‘月球’或‘卫星’为运‘环绕天体’的系统，再运用万有引力定律和匀速圆周运动的规律联合求解。此外，还要注意到每一个选项中给定的两个物理量能否用得上，只有做好这样的分析判断之后，解题才能事半功倍。解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．第-41-页共41页\n【解析】对A选项。此选项之中“地球绕太阳运转”，给定的条件是”地球绕太阳的运转周期”和”地球与太阳之间的距离”。显然此处的”中心天体”是太阳而非地球，地球是一个”环绕天体”，而已知的是地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，因此无法计算出地球的质量。故A选项错误.对B选项。在此选项中，月球绕地球运转，月球是“环绕天体”，而地球是“中心天体”，且已知月球绕地球的运转周期T和月球与地球之间的距离r，由万有引力定律与匀速圆周运动的规律可得，故有地球质量为M=，显然，式中的各量均为已知量，即地球质量由此式可计算出来。故B选项正确。对C选项。在此项中人造地球卫星是“环绕天体“，而地球则是中心天体，又已知人造地球卫星的运行速度v和运动周期T，由万有引力定律与匀速圆周运动规律可得和，又因为此人造地球卫星是”近地“卫星，则h<1）。为了解释T与T0之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在着一种用望远镜观测不到的“暗物质”，作为一种简化的模型，我们假定认为在这两个星体的边线为直径的球体内部分布着这种暗物质，若不再考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型理论和上述的观测结果，确定该双星系统中的这种暗物质的密度。【审题】“双星系统”是一种比较特殊化、理想化的天体运动的模型，求解“双星”问题时必须注意到双星之间的距离L与两球体各自作匀速圆周运动的轨道半径r的本质区别与内在关系，并建立双星的空间运动模型，然后依据万有引力定律与匀速圆周运动的规律求解即可。　【解析】（1）由于“双星”的两个星体之间的万有引力提供二者的向心力，且因二者的质量相等，故各自的运动半径均为，设各自的运行速度为v，由万有引力定律得=，即得V=.周期得公式可得，双星得运动周期为==（2）此“双星”各在半径为的圆形轨道上运动，由实际得天文观测知，其实际运行的周期为，（N>1），即实际运动周期T<，表明“双星’还受到其他物质的引力，且该引力必然指向圆心，由题可知，这一万有引力的来源必定时双星的范围之内均匀分布的暗物质。把这种暗物质等效于总物质集中在圆心处的星体。如图４－８所示，设考虑了暗物质的作用之后，观测到的每个星体的运行速率为，暗物质的总质量为M，由引力定律与圆周运动规律可得+=，则=。又因T=，在半径r一定时，T与v成反比。由题意得，（N>1），则==，把V=和=第-41-页共41页\n代入此式可得暗物质得总质量为M=。又设所求暗物质的密度为ρ，则“暗物质”质量M==，所以，ρ=。【总结】此题中出现的“双星”“暗物质”均式很新颖的名词，是天文学的一种模型。求解“双星”问题必须把握几个要点：①运用等效抽象的思维建立“双星”运行的空间物理情景；②运用逻辑思维的方法，依据万有引力定律和匀速圆周运动的规律以及密度公式进行求解。11．必须区别人造地球卫星的圆周轨道与椭圆轨道的运行规律的不同此处首先要明确人造地球卫星的发射速度和环绕速度，环绕速度是指卫星在某一圆周轨道上做匀速圆周运动的运行速度，环绕速度并不仅指7。9km/s．图４－９　　要使人造地球卫星最终进入预定轨道而稳定运行，要经过火箭推动加速——进入停泊轨道（圆周运动）——再次点火变轨——进入转移轨道（椭圆轨道）——开启行星载动力——进入预定轨道(圆周轨道)等过程。卫星的预定运行轨道均是圆周轨道，卫星在此轨道上做匀速圆周运动，万有引力完全提供向心力，卫星处于无动力稳定运行（其漂移运动此处暂略）的状态。当发射速度大于7。9km/s而小于11。2km/s时，卫星则做椭圆运动逐渐远离地球，由于地球引力的作用，到达远地点P后，又会沿椭圆轨道面到近地点Q，如图4-9所示。在椭圆轨道的某一位置上，卫星所受地球的万有引力可以分解为切向分力（产生卫星的切向加速度）和沿法线方向的分力即向心力（产生卫星的向心加速度）。卫星在由近地点Q向远地点P运动的过程中做加速度和线速度都逐渐减小的减速运动；而由远地点P向近地点Q运行的过程则是加速度和线速度逐渐增大的加速运动，椭圆轨道是将卫星发射到预定轨道之间的一个过渡轨道。例16：（1998年上海高考）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于P点如图４－１０所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）A.卫星在轨道3上的运行速率大于轨道1上的速率图４－１０B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道3上的角速度C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度【审题】此题是一个“高起点、低落点”第-41-页共41页\n的题目,涉及到了人造地球卫星的发射和运动中的线速度、角速度、向心加速度的基本知识.这是一个把卫星发射到预定轨道上去的情景模型.求解此题需要运用牛顿定律、万有引力定律和匀速圆周运动的规律,必须明确以下几点:①只有在圆周轨上才会有万有引力定律完全提供向心力;②卫星的轨道半径与卫星到地心的距离是不同的;③在比较卫星在不同轨道上的角速度、线速度、加速度时要注意选用不同的公式.【解析】对A选项.此选项比较的是卫星的线速度.由于万有引力提供卫星的向心力,则有GMm/r2=mv2/r,所以v=；因轨道1的圆半径小于轨道3的圆半径,故此卫星在轨道1上的速度大于卫星在轨道3上的速度.故A选项错误.对B选项.此选项求的是卫星的角速度,由于万有引力提供卫星的向心力,则有GMm/r2=mω2r,所以ω=,因轨道1的圆半径小于轨道3上的圆半径,故此卫星在轨道1上的角速度大于在轨道3上的角速度.故B选项正确.对C选项.Q点是圆周轨道1与椭圆轨道2的相切点,Q点即在圆周轨道1上又在椭圆轨道2上,Q点到地心的距离r一定.由于万有引力提供向心力,则有GMm/r2＝m,所以＝GM/r2.显然,卫星在圆周轨道1上的Q点和在椭圆轨道2上的上的Q点时具有的向心加速度均是＝GM/r2.故C选项错误.对D选项.由上面的讨论可知,因为圆周轨道3上的P点与椭圆轨道2上的P点是同一点,P点到地心的距离是一定的,由＝GM/r2得,其在P点得向心加速度是相同的.故D选项正确.【总结】此题是人造地球卫星的发射与运行的题目.解答此题时,明确此卫星在各个轨道上的速度大小十分重要.设此卫星在轨道1上的Q点速度为、在轨道2上的Q点速度为、在轨道2上的P点速度为、在轨道3上的P点速度为，因轨道1为近似圆形轨道，其速度=7。9km/s,因轨道2为椭圆轨道,故>7、9km/s(但<11。2km/s)；卫星在轨道2上由Q点到P点的过程中做减速运动,则有<；要卫星由轨道进入轨道3稳定的运行.则必须在轨道2上的P点启动卫星的发动机使之加速变轨至圆轨道3上,则必有>.综合以上分析可得此四个速度的大小关系是>>>。在这里,明确把卫星发射到预定轨道的过程能够加深对此题意的理解.同步卫星的发射有两种方法,一种是“垂直发射”，是用火箭把卫星垂直发射到36000km的赤道上空,然后使之做的旋转飞行,使卫星进入同步轨道.另一种方法是“变轨发射”,即先把卫星发射到高度为200km至300km高处的圆形轨道上(也叫“停泊轨道”第-41-页共41页\n)。当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使火箭进入一个大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空的36000km处。此轨道叫做“转移轨道”.当卫星达到远地点时,启动卫星的发动机使之再加速进入同步轨道(即稳定运行的预定的圆形轨道).第一种方法在全过程种,火箭推动卫星处于“强动力”的飞行状态，必须消耗大量燃料，且要求在赤道上修建发射场，很不科学。第二种方法，运载火箭的耗能较少，发射场地设置受限较小，但技术要求很高。目前人类发射同步卫星均用第二种方法。12．必须区别地面物体的受阻减速与人造地球卫星的受阻变轨的不同对于地面上做直线运动的物体而言,由运动学规律和牛顿第二定律可知,如果受到阻力的作用,必然产生与运动速度方向相反的加速度而做减速运动,直到最后停止运动.对于处在轨道上正常运行的人造地球卫星,由于是万有引力完全提供向心力,其速度由GMm/r2=mv2/r得v=,其加速度由GMm/r2＝m得＝GM/r2.显然,卫星的线速度v和加速度a均与轨道半径r存在特定的关系.当正常的“无动力”运行的卫星突然受到阻力的作用时，由运动学的原理可知，此时卫星的速度就会瞬时减小。然而，此处最易出现的错误就是：既然卫星由于阻力的作用其速度必然减小，则由v=可知，其轨道半径r变大，运行周期也将变大，显然这是错误的.导致这种错误的根本原因是,仅仅片面考虑了阻力的作用而遗忘了还有万有引力的存在.这里要特别注意的是,决定人造地球卫星运动状态的主要因素是万有引力而不是所受的阻力.正确的分析思路是:由于阻力的作用,卫星的速度v必然减少,假定此时卫星的轨道半径r还未来得及变化,即有万有引力=GMm/r2也未变化；而向心力=mv2/r则会变小.因此,卫星正常运行时“=”的关系则会变为“>”，故而在万有引力作用下卫星必做近地向心运动,从而使轨道半径r变小;又由公式v=可知,卫星的运行速度必然增大.究其实质,此处卫星速度的增大是以轨道高度的减小(或者说成是引力做正功,重力势能减少)为条件的.例17：(2000年全国高考)某人造地球卫星因受高空稀薄气体的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变.某次测量中卫星的轨道半径为,后来变为且>。以、分别表示卫星在这两个轨道的动能.、分别表示卫星在这两个轨道绕地球运动的周期,则有()A.<C.>>第-41-页共41页\n【审题】:求解此题必须明确以下几点:①卫星动能的大小能代表速率的大小,其关系是动能=,因而可以通过分析速率的大小来分析动能的大小.②决定卫星运动状态的主要因素是地球的万有引力而不是空气的阻力.③就卫星的瞬时状态的变化而言,阻力的作用必然会使卫星的速度减小;但从一般变化的过程来看,卫星的速度是增大的,这种“增大”是以其轨道高度的变小为条件的。④依据万有引力等于向心力的关系式GMm/r2=mv2/r=m4π2r/T2，可得到v=和T=2π，从而进行分析讨论即可。【解析】当卫星受到空气阻力的作用时，其速度必然会瞬时减小，假设此时卫星的轨道半径r还未变化，则由公式=mv2/r可知卫星所需要的向心力必然减小；而由于卫星的轨道半径r还未来得及变化,由公式=GMm/r2得,卫星所受地球引力不变,则必有“>”，卫星必然会做靠近地球得向心运动而使轨道半径r变小.由于万有引力提供向心力,则由GMm/r2=mv2/r得v=,显然,随着卫星轨道半径r得变小,其速度v必然增大,其动能(=)也必然增大,故<。又由于GMm/r2=m4π2r/T2得T=2π,显然,随着卫星得轨道半径r得变小,其运行周期T必然变小,即<.故C选项正确.【总结】此题的本质是人造地球卫星的受阻而变轨变速的问题.其中存在着内在关系的物理量就是卫星的动能、速度v、周期T和轨道半径r，要分析这些量的“连锁”变化情形时，不能孤立地只看某一个量，而要抓住运动速度v这个最先、最易变化的关键量,然后运用v=和T=2π进行定量讨论.13．必须区别地面直线运动的“追及”问题与航天飞机“对接”宇宙空间站的不同对地面的直线运动而言,当两个运动物体发生追赶运动时,只要“追赶物体”的速度大于“被追物体”的速度时即可追赶成功.且追赶成功时必有“追赶物体”与“被追物体”相对于同一起点的位移相同。这是“追及问题”的必备条件。对于航天飞机与宇宙空间站的“对接”其实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是人造天体的变轨运行的变轨运行问题。图４－１１要使航天飞机与宇宙空间站成功“对接”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度v的增大——所需向心力第-41-页共41页\n增大——离心运动——轨道半径r增大——升高轨道的系列变速、变轨过程而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接。如图４－１１所示，是航天飞机宇宙空间站的对接轨道示意图。其中轨道1是地球卫星的一个环绕轨道（圆形轨道），轨道3是宇宙空间站的运行轨道，轨道2是一个长轴的两端点Q、P分别相切于轨道1与轨道3的椭圆轨道。航天飞机只有从预定的环形轨道1上的Q点，以一定的速度和加速度方式沿轨道2的半个椭圆轨道运动，才能恰好在轨道3上的P点与宇宙空间站实现“对接”。例18：在地球某一圆形轨道上运行的宇宙空间站，是适于人类长期生活的大型人造航天器。“和平号”空间站是人类历史上发射的第九座空间站，其中设有工作舱、过渡舱、服务舱等构件，自1986年2月进入太空轨道后先后与五个太空舱“对接”成功。15年来，“和平号”宇宙空间站先后同90多艘载人航天飞机及货运飞船成功对接，总共接纳了28个长期考察组和30个国际联合考察组，有108名宇航员登上了“和平号”空间站。“和平号”空间站于2001年3月23日回收坠落入南太平洋。试回答下列问题。宇航员乘坐航天飞机加速升空进入轨道与“和平号”空间站对接后才能进入空间站。航天飞机为了追上并实现与空间站的成功对接，下列说法正确的是（）A.只能从空间站同一轨道上加速B.只能从较高轨道上加速C.只能从较低轨道上加速D.无论在什么轨道上加速均行【审题】此题中的“宇宙空间站”“航天飞机”其实都是人造天体，当进入轨道运行时与卫星一样遵守万有引力定律，其向心力由万有引力提供。要实现航天飞机与宇宙空间站的“对接”，既要考虑航天飞机的加速，又要依据公式v=分析航天飞机因加速导致的变速、变轨、变向的问题。【解析】故对A选项。如果受直线运动中的物体追及的思维定势的影响，而让航天飞机沿与宇宙空间站相同的轨道加速追赶并“对接”，因速度v的增大必使向心力=mv2/r增大，使得“>”，航天飞机做远离地球的离心运动而离开宇宙空间站所在的轨道，无法实现与宇宙空间站的对接。故A选项错误。对B选项。如果让航天飞机从较高轨道上采用减小速度、降低轨道而实现与宇宙空间站的对接，则不仅技术难以完成，还应让航天飞行必须穿越宇宙空间站所在轨道而进入更高的轨道，必然会消耗大量的能量，因而不可取。故B选项错误。对C选项。因为要使航天飞机与宇宙空间站对接，首先必须加速“追赶”，其次由于加速必然导致其轨道半径的增大，因而要实现航天飞机与宇宙空间站的成功对接，就必须让航天飞机从较低的轨道上加速，并沿一条特定的椭圆轨道，使之在宇宙空间站的轨道上实现对接。故C选项正确。对D选项。由以上的分析讨论可知，“无论在什么轨道上加速都行”是绝对不行的。故D选项错误。【总结】在太空中，航天飞机与宇宙空间站的对接，绝不同于地面上直线运动物体的“追及”问题，不可因定势思维而导致错误的理解。必须充分明确航天飞机由于加速度而导致的变轨问题，进而明确只有让航天飞机从低轨道上加速才能完成对接。第-41-页共41页\n第-41-页共41页