#5.匀变速相对运动探究 5页

魏老师天津高考物理拔高辅导jingxuanjiaoxueziliao*匀变速相对运动探究—’11备考综合热身辅导系列高级物理教师魏德田我们通过对一个典型物理问题的讨论，揭示一维情形下匀变速相对运动的规律。进而，解答几个比较简单的“追及”和“相遇”问题，以说明这些规律的应用。一、一个物理模型[命题]甲、乙两物体均沿X轴做匀变速直线运动，计时开始时，乙在甲的右侧---处，甲物体初速度、加速度分别为V01＞0、a1，乙物体的初速度、加速分别为V02、a2，设两物体都运动了t的时间。试用匀变速直线运动的知识讨论其相对运动的情况。二、匀变速相对运动的规律下面，针对这一命问题展开分析和探讨。1．两个基本公式S0S2SS1AA/BB/图1[解析]首先，以甲物体的初位置为坐标原点--，水平向右为正方向，建立X轴；然后以甲、乙物体为研究对象，画出物体运动的示意图，如图1所示。在两物体运动了时间t时，甲、乙两物体的末速度分别为Vt1、Vt2，乙对甲的相对速度为Vt，则根据匀变速直线运动的速度公式得Vt=Vt2－Vt1=V02－V01+〈a2－a1〉t而由速度公式--------设V0=V02－V01、a=a2－a1分别为乙对甲的相对初速度、相对加速度。从而Vt=V0－at-----------------------⑴此式称匀变速相对运动的速度公式。由此可见，乙物体相对于甲物体做匀变速相对运动。若Vt＞0，则乙的速度大于甲的速度；Vt＜0，则乙的速度小于甲的度速；若Vt=0，则甲、乙两物体速度相等。再设运动时间t时，甲物体对O点的位移为S1，而乙物体对A点的位移为S2，对O点的位移则为R0+S2；乙物体相对甲物体的初、末位移分别为S0、S，在时间t内的相对位移差为S－S0。那么，根据运变速直线运动AA/BS0SXO图2S2-S1的位移公式得S=〈S0+S2〉－S1=〈S0+V02t+〉－〈V01t+〉=V0t++S05魏老师高考物理冲刺/全程辅导第页版权所有@翻印必究\n魏老师天津高考物理拔高辅导jingxuanjiaoxueziliao亦即S=V0t++S0------------------------⑵此式称匀变速相对运动的位移公式。由此可知，若S＞0，则乙在甲前，相对位移与X轴同向；若S＜0，则乙在甲后，相对位移与X轴反向；S=0；则甲、乙两物体相遇。如图2所示。综上所述，可知匀变速相对运动具有与匀变速直线运动类似的运动规律。类似地，匀变速相对运动亦有等等，读者可自行讨论。这些公式，虽从本题得出，原则上适用于所有匀变速相对运动问题。说明：本题中，由于规定了V01＞0，因而若V02与V01同向，则属于“追及”问题；若V02与V01反向，则属于迎面“相遇”问题。2．几个导出公式依据上述两个基本公式，我们可以导出三个有用的关系式。首先，由⑴、⑵式，不难得出下式Vt2－V02=2a〈S－S0〉-----------------⑶此式称作匀变速相对运动的速度-位移关系。然后，分析表明当相对末速度Vt=0时，相对位移有极值。从而，由⑴式得a=－把上式代入⑵式，可得Sm=S0－-----------------------------⑷研究表明，在追及问题中，若Vt＞0,，则相对位移S将不断增大；当相对加速度a＜0，相对末速度逐渐减小为Vt=0时，相对位移有极大值Smax，但仍可追及。若Vt＜0，则相对位移将不断减小；当相对加速度a＞0时，相对末速度逐渐增大至Vt=0时，相对位移必定有极小值Smin。若Smin＞0，则表明甲物体不能追及乙物体；若Smin＜0，则表明甲物体已经超越乙物体，但乙物体仍然有反过来追及甲物体的机会。此式适用于求“追及”问题的“最远距离”或“最近距离”。这一结果，也可利用数学知识通过求⑵式的极值的方法得出，无庸赘述。接下来，如果相对末位移为S=0，亦即甲乙两物体到达X轴上的同一位置时，则⑴式的解为t=------------⑸由此可以求出同向“追及”或“迎面相遇”的时间。特殊地，若a=0，由⑵式可得t=进一步分析可知，当判别式△≥0时，亦即V02－2as0≥05魏老师高考物理冲刺/全程辅导第页版权所有@翻印必究\n魏老师天津高考物理拔高辅导jingxuanjiaoxueziliao时，时间t有一或两个实数解。表明在“追及”和“相遇”问题中，在t＞0时，则可判定两物体有相遇现象发生。当判别式△＜0时，亦即V02－2as0＜0------------------时，时间t无实数解，则可判定两物体不能相遇。三、应用举例[例题1]如图3所示，长度都为h木棒A、B，相距高度差为H，但是不在同一直线上，剪断A棒上面的细线，使其由静止释放，同时B棒竖直上抛，初速度为V02，已知B棒上升过程中与A棒相遇又相离，不计空气阻力。求：⑴两棒从相遇到相离经过多少时间？⑵若使B棒在上升过程中与A棒相遇又相离，则B棒的初速度V02满足什么条件？[解析]⑴首先，确定A棒上端点、B棒下端点为研究对象，选竖直向上为坐标正方向。由于V0=0－V02，a=0，所以HhhBA图3A对B的相对运动可作为匀速相对运动处理。又，两棒从相、遇到相离所发生的相对位移为S=2h从而，得出这一过程所需时间t1=⑵设从开始运动至两物体相离为止所用时间为t2，相应地相对初、末位移分别为S0=2h+H,S=0。由相对位移公式⑴可得S=V0t2+2h+H=0-------------①B棒做竖直上抛运动，依题意，到二棒分离后其最小速度为零。从而0=V0－gt2---------------------②，由①、②式解得V0=。[例题2]在离地面高度为10m处，一个气球正以5m/s的速度匀速上升，与此同时，在气球正下方以20m/s的初速度、由地面垂直发射一枚爆竹，问：⑴爆竹可否击中气球？击中处离地面有多高？⑵若开始时爆竹离地面的高度为12m，爆竹能否击中气球？其相对距离的极值为多大？〈g=10m/s2〉[解析]⑴首先，确定气球、爆竹为研究对象，选竖直向上为正方向。分析可知，气球作匀速运动，其加速度为a2=0，爆竹做竖之上抛运动，其加速度为a1=－g，因而可得a=g；由题意易知V0=－15m/s,S0=10m.从而可得△=V02－2aS0=25＞0。由此可以判定爆竹能够击中气球。再由⑸式t=5魏老师高考物理冲刺/全程辅导第页版权所有@翻印必究\n魏老师天津高考物理拔高辅导jingxuanjiaoxueziliao求出相遇时间t=1s.〈舍去第二次相遇时间t2=2s〉由于气球做匀速直线运动，因而不难求出击中处离地面的高度h=S0+S2=10m+1×5m=15m，⑵已知S0/=12m,而V0、a大小保持不变，从而△=V02－2aS0/=－15m＜0由此断定爆竹不能击中气球。由于a=g＞0，因而t=－V0/a时，相对距离有极小值Smin=S0/－=0.75m.。[例题3]沿同一平直公路匀速行驶两辆汽车A、B，行驶速度分别为24m/s、17m/s，两车紧急刹车的加速度分别为－4m/s2、－2m/s2。当前面的B车由于紧急情况而刹车时，后面的A车亦紧急刹车，已知A车司机的反应时间为0.5s，求为保证两车在上述过程中不相碰撞，两车在匀速行驶过程中至少保持多大距离？[解析]我们先选AB为研究对象，水平向前为坐标正方向。显然，在第一阶段，乙车做减速运动的t=0.5s内，A车仍在做匀速运动。设匀速行驶过程中至少保持的距离为S0，第一阶段发生的相对位移为S1，从而由匀变速相对运动的速度公式和速度-位移关系式，可得Vt=V0+at-----------------------------①，Vt2－V02=2a〈S0－S1〉---------②其中V0=17m/s－24m/s=－7m/s,a=－2m/s2。在第二阶段，两车分别以各自的负加速度做减速运动，为保证两车不发生碰撞，必须使得S2=0，Vt!=0,且有V0!=Vt。由匀变速相对运动的速度-位移关系式，又得0－Vt2=2a′〈0－S1〉--------------③其中a/=〈－2m/s2〉－〈－4m/s2〉=2m/s2。再联立上述①②③式，代入已知数据,即可求出最后结果S0=19.75m.[例题4]在高速公路上，警车、肇事车都以相同速度28m/s向同一方向行驶，两车相距S0=200m。为保证拦截的成功，后面的警车先加速超车，到达肇事车的前面S0=200m，然后在分步实施拦截。设能增加的车速最多为△V=5m/s，试求：警车从开始加速到完成超车〈即到达肇事车前方200m处〉过程中所通过的路程是多少？[解析]首先，确定警车、肇事车为研究对象，选水平向前为正方向。警车的运动氛围两个阶段：第一阶段为加速阶段，即在时间t1内增加速度△v=5m/s达到最大速度，缩短与肇事车的距离s0，使两车到达同一位置；从而，由匀变速相对运动位移公式，可得0－s0==----------①第二阶段为匀速运动阶段，即保持最大速度v+△v运动时间t2，再使之超越肇事车s0的路程。由题意知，s0－0=△vt2-------------------②。从而,由①②式可得t1=80s,t2=40s.而总时间为t=t1+t2=48s分析可知，再超车过程中，警车比肇事车的路程增加2S0。已知v=20m/s,从而所求警车的路程为5魏老师高考物理冲刺/全程辅导第页版权所有@翻印必究\n魏老师天津高考物理拔高辅导jingxuanjiaoxueziliaoL=vt+2s0=3760m。[例题5]甲乙两物体相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a2、初速度为0的匀加速运动；甲在后面做加速度为阿a2、初速度为V的匀加速运动。下列说法中正确的是A.若a1＜a2，甲乙可能相遇两次。B.若a1＞a2，则可能相遇两次。C.若a1＝a2，则只可能相遇一次。D.若a1＞a2，则不可能相遇。[解析]本题可依据相遇时间公式加以讨论。显然，V0=－V，a=a2－a1。从而，由相遇时间公式可得t=，或当a=0即a2=a1时，t=。⑴当a2≤a1时，上式只有一个正解，即相遇一次。⑵当a2＞a1时，若V2－2〈a2－a1〉s=0，则t只有一个正解，即相遇一次；若V2－2〈a2－a1〉s＜0时，t无实数解，即不可能相遇。若V2－2〈a2－a1〉s＞0，t有两个正解，即可以相遇两次。因此，正确的选项为A、B。5魏老师高考物理冲刺/全程辅导第页版权所有@翻印必究