2017-2018学年高中物理教科版选修3-4教学案第一章 第3节 简谐运动的图像和公式含答案 12页

第3节简谐运动的图像和公式1.简谐运动图像是一条正弦(或余弦)曲线，描述了质点做简谐运动时位移x随时间t的变化规律，并不是质点运动的轨迹。2．由简谐运动图像可以直接得出物体振动的振幅、周期、某时刻的位移及振动方向。3．简谐运动的表达式为x＝Asin(t＋φ)或x＝Asin(2πft＋φ)，其中A为质点振幅、(t＋φ)为相位，φ为初相位。简谐运动的图像[自读教材·抓基础]1．建立坐标系以横轴表示做简谐运动的物体的时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x。2．图像的特点一条正弦(或余弦)曲线，如图1－3－1所示。图1－3－13．图像意义表示物体做简谐运动时位移随时间的变化规律。4．应用12\n由简谐运动的图像可找出物体振动的周期和振幅。[跟随名师·解疑难]1．图像的含义表示某一做简谐运动的质点在各个时刻的位移，不是振动质点的运动轨迹。2．由图像可以获取哪些信息？(1)可直接读取振幅、周期。(2)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图1－3－2所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。图1－3－2(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－3中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动。图1－3－3(4)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小。如图中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小；c点从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)一质点做简谐运动，其位移x与时间t关系曲线如图1－3－4所示，由图可知(　　)图1－3－4A．质点振动的频率是4Hz12\nB．质点振动的振幅是2cmC．在t＝3s时，质点的速度最大D．在t＝4s时，质点所受的合外力为零解析：选BC　从振动图像可知振幅A＝2cm，周期T＝4s，则频率为f＝＝0.25Hz。t＝3s时，质点位于平衡位置，速度最大，而t＝4s时，质点位于最大位移处，所以回复力最大。简谐运动的表达式1.表达式简谐运动的表达式可以写成x＝Asin(t＋φ)或x＝Asin(2πft＋φ)。2．表达式中各量的意义(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示质点振动的时间。(2)式中A表示振幅，描述的是振动的强弱。(3)式中T、f分别表示简谐运动的周期和频率，描述的都是振动的快慢。(4)式中(2πft＋φ)表示相位，描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体又多完成了一次全振动。(5)式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态称为初相位或初相。[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)一个简谐运动的振动方程为x＝5cos(2πt＋)cm，这个振动的振幅是________cm；频率是________Hz；在t＝0.1s时的相位是________。解析：由振动方程可知，A＝5cm，ω＝2π，由ω＝＝2πf可知，f＝1Hzt＝0.1s时，相位为2π×0.1＋＝π。答案：5　1　π12\n简谐运动图像的应用[典题例析]1．如图1－3－5是弹簧振子的振动图像，试回答下列问题：图1－3－5(1)振动的振幅、周期、频率各是多少？(2)如果从O点算起，到图线上哪一点为止振子完成了一次全振动？从A点算起呢？(3)从零到1.6s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？[思路点拨]　解答本题应注意以下两点：(1)由图像可以直接读取振幅和周期；(2)动能最大点、势能最大点与位移的对应关系。解析：(1)由图像可知振动的振幅A＝2cm，周期T＝0.8s，由此可得频率f＝＝1.25Hz。(2)由图像可知图中的O、D、H三点即在0、0.8s、1.6s三时刻，振动质点的运动状态相同，图中A、E二点，即在0.2s、1.0s两时刻振动质点的运动状态相同，所以如果从O点算起，到图像上的D点，振子完成了一次全振动；如果从A点算起，到图像上的E点，振子完成了一次全振动。(3)从0～1.6s内，在0、0.4s、0.8s、1.2s、1.6s各时刻，即对应图中的O、B、D、F、H各点，振子处在平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能最小，而在0.2s、0.6s、1.0s、1.4s各时刻，即对应图中的A、C、E、G各点，振子均处在最大位移处，此时速度为零，动能为零，势能最大。答案：(1)2cm　0.8s　1.25Hz(2)D点　E点(3)O、B、D、F、H　A、C、E、G[探规寻律]12\n简谐运动图像问题的分析方法解此类题时，首先要理解x－t图像的意义，其次要把x－t图像与质点的实际振动过程联系起来。再充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。　[跟踪演练]如图1－3－6所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法中正确的是(　　)图1－3－6A．振动周期是2×10－2sB．第2×10－2s内物体的位移是－10cmC．物体的振动频率为25HzD．物体的振幅是10cm解析：选BCD　周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2s，故A错误。又f＝，所以f＝25Hz，故C正确。正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10cm，故D正确。第2×10－2s内初位置是10cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10cm，故B正确。对简谐运动表达式的理解[典题例析]2．物体A做简谐运动的振动位移为xA＝3cos(100t＋)m，物体B做简谐运动的振动位移为xB＝5cos(100t＋)m。比较A、B的运动(　　)A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB．周期是标量，A、B周期相等为100sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A振动的频率fA大于B振动的频率fB12\n[思路点拨]　解答此题要注意以下两点：(1)从表达式中找出振幅、初相、周期；(2)利用关系式ω＝和f＝分析求解。解析：振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别是3m、5m，选项A错误；周期是标量，A、B的周期T＝＝s＝6.28×10－2s，选项B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，选项C正确，选项D错误。答案：C[探规寻律]用x＝Asin(t＋φ)解题的方法(1)首先要明确表达式中各物理量的意义。(2)根据ω＝＝2πf确定描述振动快慢的三个物理量的关系。(3)根据表达式求解某时刻的位移。(4)对于同一质点的振动，不同形式位移表达式初相位并不相同。　[跟踪演练]有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是(　　)A．x＝8×10－3sin(4πt＋)mB．x＝8×10－3sin(4πt－)mC．x＝8×10－1sin(πt＋π)mD．x＝8×10－1sin(t＋)m解析：选A　ω＝＝4π，当t＝0时，具有负方向的最大加速度，则x＝A，所以初相φ＝，表达式为x＝8×10－3×sin(4πt＋)m，A正确。12\n[课堂双基落实]1．如图1－3－7所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图像，下列有关该图像的说法正确的是(　　)图1－3－7A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向移动的C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析：选ACD　该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是垂直于横轴方向移动的，故A对B错。由获得图像的方法知C对。频闪照相是在相同时间内留下的小球的像。因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D对。2．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－8所示，则该质点(　　)图1－3－8A．在0～0.01s内，速度与加速度的方向相同B．在0.01～0.02s内，速度与回复力的方向相同C．在0.025s末，速度为正，加速度为负D．在0.04s末，速度为零，回复力最大解析：选AD　在0～0.01s内，速度、加速度都沿x轴负方向，故A正确。在0.01～0.02s内，速度沿x轴负方向，而回复力沿x轴正方向，故B错误。在0.025s末，速度和加速度都为正，故C错误。在0.04s末，位移最大，回复力最大，速度为零，故D正确。3．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)A．第1s末与第3s末的位移相同B．第1s末与第3s末的速度相同C.3s末至5s末的位移方向都相同12\nD．3s末至5s末的速度方向都相同解析：选AD　由表达式x＝Asint知，ω＝，简谐运动的周期T＝＝8s。表达式对应的振动图像如图所示。质点在1s末的位移x1＝Asin(×1)＝A质点在3s末的位移x3＝Asin(×3)＝A，故A正确；由前面计算可知t＝1s和t＝3s质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由x－t图像可知，3～4s内质点的位移为正值，4～5s内质点的位移为负值，C错误；同样由x－t图像可知，在时间3～5s内，质点一直向负方向运动，D正确。4．一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin(8πt＋)cm的规律振动。(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π)cm，求它们的相位差。解析：(1)已知ω＝8π，由ω＝得，周期T＝s，频率f＝＝4Hz，振幅A＝5cm，初相φ1＝；(2)由Δφ＝φ2－φ1得；相位差Δφ＝π－＝π答案：(1)s　4Hz　5cm　π　(2)π[课下综合检测]1．如图1(a)所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置。图(b)是该振子做简谐运动时的x－t图像。则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列图2四个图像中正确的是(　　)12\n图1图2解析：选C　设弹簧劲度系数为k，位移与加速度方向相反，由牛顿第二定律得a＝－，故C正确。2．一个质点做简谐运动的图像如图3所示，下列说法正确的是(　　)图3A．质点振动频率为4HzB．在10s内质点经过的路程为20cmC．在5s末，质点做简谐运动的相位为D．t＝1.5s和t′＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是cm解析：选BD　由振动图像可直接得到周期为4s，频率f＝＝0.25Hz，故选项A是错误的；一个周期内简谐运动的质点经过的路程是4A＝8cm,10s为2.5个周期，故质点经过的路程为20cm，选项B是正确的；由图像知，位移与时间的关系x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sinm。当t＝5s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝，故C不正确；在1.5s和4.5s两时刻，质点的位移相同，与振幅的关系是x′＝Asin135°＝A＝cm，故D正确。3．如图4甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示。关于这个图像，下列说法正确的是(　　)12\n图4A．t＝1.25s时，振子的加速度为正，速度也为正B．t＝1.7s时，振子的加速度为负，速度也为负C．t＝1.0s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值D．t＝1.5s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值解析：选C　t＝1.25s时，振子的加速度为负，速度也为负，故A错误。t＝1.7s时，振子的加速度为正，速度为负，故B错误。t＝1.0s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值，故C正确。t＝1.5s时，振子的速度为负向最大值，加速度为零，故D错误。4．如图5为某一质点的振动图像，由图可知，在t1和t2两时刻|x1|>|x2|，质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为(　　)图5A．v1a2，方向相同D．a1>a2，方向相反解析：选AD　v1、v2均沿－x方向，t1时刻，质点离平衡位置较远，速度较小，v1|x2|，x1与x2方向相反，故a1>a2，且a1、a2方向相反，C错，D对。5．(北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(　　)图6解析：选A　由简谐运动中加速度与位移的关系a＝－x可知，在T/4时刻，加速度正向最大，则位移负向最大，故选项A正确。12\n6．劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图7所示，在图中A点对应的时刻(　　)图7A．振子所受的弹力大小为0.5N，方向指向x轴的负方向B．振子的速度方向指向x轴的正方向C．在0～4s内振子作了1.75次全振动D．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0解析：选B　由题图可知A在t轴上方，位移x＝0.25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由题图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确。由图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内完成两次全振动，选项C错误。由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0.5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.50cm＝4cm，故选项D错误。综上所述，该题的正确选项为B。7．如图8所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：图8(1)振幅、周期各是多大？(2)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。解析：(1)质点离开平衡位置的最大位移x＝10cm，所以振幅A＝10cm；质点完成一次全振动的时间为4s，所以周期T＝4s。(2)由图像可知振幅A＝10cm，周期T＝4s，＝rad/s，t＝0时，x＝0，所以初相位φ＝0，由此可知位移随时间的变化关系式为12\nx＝Asin(t＋φ)＝10sintcm。答案：(1)10cm　4s　(2)x＝10sintcm8．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移。(1)求振子的振幅和周期；(2)画出该振子的位移－时间图像；(3)写出振子的振动方程。解析：(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10cm，振子在2s内完成了10次全振动，振子的周期T＝＝0.2s。(2)振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是0，经周期振子的位移为负向最大，故如图所示。(3)由函数图像可知振子的位移与时间函数关系式为x＝10sin(10πt＋π)cm。答案：(1)10cm　0.2s(2)见解析(3)x＝10sin(10πt＋π)cm12