面向鲁棒运动控制系统的分数阶pid控制器设计、自整定及实验研究 121页

学校代号10532学号B分类号密级博士学位论文面向鲁棒运动控制系统的分数阶PID控制器设计、自整定及实验研究学位申请人姓名培养单位导师姓名及职称学科专业研究方向论文提交日期2\n学校代号：10532学号：B密级：湖南大学博士学位论文面向鲁棒运动控制系统的分数阶PID控制器设计、自整定及实验研究学位申请人姓名：导师姓名及职称：培养单位：专业名称：论文提交日期：论文答辩日期：答辩委员会主席：2\nFractionalOrderPIDcontrollerSynthesis,Auto-tuningandExperimentStudiesforRobustMotionControlSystemsbyYongshunJinB.E.(HunanUniversity)2004M.S.(HunanUniversity)2007AdissertationsubmittedinpartialfulffilementoftheRequirementsforthedegreeofDoctorofEngineeringinElectricalEngineeringtotheGraduateSchoolofHunanUniversitySupervisorProfessorYaoJiangangNovember,20102\n湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密□，在年解密后适用本授权书。2、不保密R。（请在以上相应方框内打“√”）作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日I\n博士学位论文摘要随着分数阶微积分理论的发展，越来越多的人关注这一领域的实际应用问题。现有大量文献提到，利用分数阶微积分能够对许多事物进行更精确的数学建模，这些分析结论在很大程度上推动了分数阶理论在工程应用方面的发展。实际上自然界中许多系统特性用分数阶微积分来描述更为简单并更能真实的反映事物的本质规律。由于分数阶微积分是一种很好的应用于工程的数学工具，因此许多研究者开始将分数阶微积分的应用向各个领域进行延伸，其中在控制领域的研究是比较富有成效的。许多文献提出了基于分数阶微积分的控制器数学模型及结构，但是对比整数阶控制器的广泛应用，分数阶控制器的发展仍处于起步状态。值得注意的是，FOPID(FractionalOrderProportionIntegrationDifferentiation)控制器的诞生，为分数阶控制器的应用开辟了一个新的领域。FOPID控制器结构上的特点使得其具有传统整数阶PID控制器无法比拟的优势。关于FOPID控制器参数整定有一些学者进行过研究，但是这方面的研究还存在许多未解决的问题或不足，如缺乏系统性的控制器参数整定方法、整定计算过程复杂、缺乏与传统控制器对比优势研究等一系列的问题。因此，开展对FOPID控制器相关问题的研究以及探索其在工程方面的实际应用是一项非常有意义的工作。控制理论中有一个重要的课题，也是一个在控制器设计时需要考虑的问题——系统鲁棒性。在现实的控制问题中，系统特性或参数的变化常常是不可避免的，因为系统在运行过程中受到环境等因素的影响将会引起系统参数的飘移。为防止这种参数摄动导致的系统性能改变，控制器的鲁棒性设计就成为了一个重要的研究课题，而FOPID控制器阶数的取值特点使得其在鲁棒性设计时具有比传统整数阶PID控制器更为灵活的优点。系统不单可以满足稳定性要求，同时还可以满足系统参数鲁棒性设计的需求。因此，本文对控制系统中被控对象的系统增益以及时间常数的鲁棒性进行了研究，提出了一系列针对系统参数鲁棒性的分数阶控制器整定方法，并通过电机等电气工程的实际应用方面的分析进行了验证。本文的贡献主要是利用FOPID控制器的结构特点，提出了针对不同控制对象的FOPID控制器参数鲁棒性的整定方法。同时根据分数阶控制系统鲁棒性设计方法，提出了一种基于FOPIDVIII\n博士学位论文控制的参数自整定设计算法。通过仿真和实验，验证了本文所提出方法的正确性。本文的具体研究成果包括：（1）设计了一种针对系统增益鲁棒性的FOPID控制器参数整定公式。针对电机位置伺服系统模型以及速度伺服系统模型，系统地提出了FOPD、FO[PD]、FOPI、FO[PI]的整定方法。通过系统仿真，验证了所提方法的正确性，并证明了在同等环境下分数阶控制器的控制性能优于传统的整数阶PID控制器。（2）第一次提出了一种基于系统时间常数鲁棒性的FO[PD]参数整定算法。对整定方程的数值计算方法进行了深入的研究，给出了整定方程组解的存在性的约束条件。另外，为了简化计算方法以及实现在线计算，本文还提出了一种快速在线计算参数的方法。系统仿真和实验研究的结果证明了这种整定方法的有效性和正确性。（3）根据未知的、开环稳定的最小相位系统，提出了具有iso-damping（等阻尼）特性的FOPI、FO[PI]、FOPD、FO[PD]四种分数阶控制器的自整定方法。在未知被控对象的前提下设计了一种继电反馈测试实验，从而实现了该方法在控制领域的实际应用。（4）根据FOPID控制器的性能特点，开拓了分数阶控制器的应用空间，讨论了FOPID控制器整定算法在同步追踪控制系统中的应用。通过仿真研究，证明了该方法能很好地实现多个系统的同步追踪。（5）首次在基于LabVIEW的实验平台上实现了FOPID控制器的实验研究，进一步在此实验平台上验证了分数阶PID控制器的性能特点。关键词：分数阶PID；参数整定；运动控制；鲁棒性；自整定；LabVIEWVIII\n博士学位论文AbstractWiththeprogressoffractionalcalculus,itsapplicationresearchhasattractedmoreandmoreattention.Now,fractionalordercalculusisbeingemployedinmanyliteraturestomorepreciselymodelmanyrealworldsystems.Itisnaturaltoexplorethepotentialsoffractionalordersystemsandcontroltheoryinengineeringdevelopments.Infact,fractionalordermodelsusedtocharacterizethesystemsinrealworldcanmoreconciselyandpreciselyreflectthenatureoressenceofthesystems.Fractionalcalculusisemergingasoneofthebestusefulmathematicinstrumentsinengineeringapplication,hencetheapplicationsoffractionalcalculushasbeenexploredinmanysubjectareas,andoneofthefruitfulareasisincontrolengineering.Literatureshaveofferedseveralvaluablemodelsandstructuresoffractionalordercontrollers,however,comparedwiththeintegerordercontrollers,alotofinvestigationsyetneedtobedone.FOPID(FractionalOrderProportionIntegrationDifferentiation)controllerisanewareaofresearchinfractionalordercalculus’applications.AdvantagesofthefractionalorderPIDcontrollerincludeitsstructuralsimplicityanditsdirectgeneralizationoftranditionalPIDcontroller,most-widelyusedinindustry.TuningrulesdevelopmentforthefractionalorderPIDparametersettinghavebeenanimportantresearchtopicwithmanyunsolvedissuesdependingonpriorinformationassumedabouttheplanttobecontrolled.Theseissuesinclude,forexample,thelackofsystematictuningmethod;highcomplexityinparametercalculationintuningthecontrollersandthelackoffaircomparisonwiththeintegerordercontrollers.Therefore,itisofpracticalimportancetodevelopFOPIDtuningmethodsandexploreitspotentialapplicationsinengineering.Robustnessofacontrolsystemisaveryimportanttopicincontroltheory,whichshouldbeconsideredduringthecontrollerdesign.Inrealworldcontrolsystem,variationsinsystem’spropertiesandphysicalparametersareunavoidableduetomanyfactors,suchasenvironmentchanges.Toavoidtheperformancechangeduetoparametervariations,therobustnessofthecontrolleristhecentraltopiconwhichthisdissertationVIII\n博士学位论文focuses.FOPIDfocusedinthisdissertationismoreflexibleinachievingrobustperformance.ThecontrolledsystemunderFOPIDcontrollernotonlycanmeetthestabilityrequirement,butalsomeettherobustrequirementwithrespecttouncertaintiesinsystemmodelsuchasgaintotimeconstantvariations.ThisdissertationfocusesondevelopingasystematicfractionalorderPIDcontrollertuningruletoachievesystemperformancerobustnessagainstvariationsinsystemgainandtimeconstantDCmotorexperimentisusedtovalidatethedevelopedtuningmethods.ThemaincontributionofthisthesisisonthedevelopmentofFOPIDrobusttuningrulebasedondifferentcontrolledsystemsMeanwhile,forpracticaluseinindustry,anauto-tuningdesignmethodhasbeendeveloped.BothsimulationandexperimentalresultsareincludedtoillustratethedevelopedFOPIDtuningmethods.Specifically,theresearchresultsinthisdissertationinclude:(1)FOPIDtuningrulesbasedonthesystemrobustnessrequirementagainstsystemgainvariationsisdeveloped.SystematictuningrulesaboutFOPD,FO[PD],FOPI,FO[PI]arederived.SimulationresultsarepresentedtoverifythattheperformanceofthedesignedfractionalordercontrollerisbetterthantheintegerorderPIDcontroller.(2)AFO[PD]tuningrulebasedonsystemrobustnessrequirementwithrespecttotimeconstantuncertaintyisdevelopedforthefirsttime.Detailedmathematicderivationsarepresentedandtherequirementsontheexistenceofsolutioninthetuningequationsarestudied,too.Tosimplifythecomputationalmethodforonlineimplement,anonlinecomputationalmethodisdeveloped.Resultsofbothsimulationandexperimentsareincludedtoshowthecorrectnessandeffectivenessofthisnewtuningrule.(3)Forunknown,stable,minimumphasesystems,asetofauto-tuningrulesforfourtypesofFOPIDcontrollers:FOPI,FO[PI],FOPD,FO[PD]havingthedesirableiso-dampingpropertyarederived.ArelayfeedbackexperimentmethodisintroducedforeasyimplementionofthefractionalorderPIDcontrollerinrealworldcontrolsystems.(4)Weextendthefractionalordercontrollerapplicationareastosynchronizedtrackingcontrolsystems.Westudyhowfractionalordercontrollercanbettersynchronizethemultiplemotioncontrolsystems.VIII\n博士学位论文Simulationresultsarepresentedtoverifythatthisfractionalordercontrolmethodcanimprovemuti-systemsynchronization.(1)ForthefirsttimetheFOPIDcontrollerhasbeenimplementedontheLabVIEWexperimentplatform.TheexperimentresultshaveverifiedthattheFOPIDcanofferoutstandingperformance.Keywords:Fractionalcalculus,fractionalorderPID;parameterstuning;motioncontrol;robustness;auto-tuning;relayfeedback,LabVIEWVIII\n博士学位论文目录学位论文原创性声明与版权使用授权书I摘要IIAbstractIII插图索引IX第1章绪论11.1研究背景及研究意义11.2分数阶微积分定义31.2.1Gamma函数31.2.2Mittag-Leffler函数31.2.3Grünwald-Letnikov定义41.2.4Riemann-Liouville定义41.2.5Caputo定义41.3分数阶微积分的Laplace变换51.3.1Riemann-Liouville定义下的Laplace变换51.3.2Caputo定义下的Laplace变换51.4分数阶微积分在控制系统中的应用61.4.1分数阶控制器研究现状61.4.2分数阶PID控制器概述81.4.3分数阶PID控制器的整定方法概述91.4.4分数阶PID控制需要解决的几个问题91.5分数阶PID控制器在电力系统负载频率控制方面的应用价值101.6本课题来源及本文的主要研究内容111.6.1本课题来源111.6.2本文主要研究内容11第2章对系统开环增益鲁棒性分数阶PID控制器设计方法132.1引言132.2开环增益鲁棒性分数阶PID控制器参数整定方程设计原理132.3分数阶PD及[PD]控制器参数整定问题的研究162.3.1FOPD控制器设计172.3.2分数阶[PD]控制器设计192.3.3整数阶PID控制器232.4增益鲁棒性FOPI及FO[PI]控制器整定算法25VIII\n博士学位论文2.4.1FOPI控制器参数整定方法252.4.2FO[PI]控制器整定方法272.5系统仿真282.5.1FO-PD控制系统阶跃响应282.5.2FO[PD]控制器阶跃响应292.5.3IO-PID控制器阶跃响应302.5.4利用三种控制器进行仿真比较302.5.5FO-PI控制器阶跃响应312.5.6FO[PI]控制器阶跃响应322.6本章小结33第3章对系统时间常数鲁棒性的分数阶PD控制器设计方法353.1引言353.2问题描述353.3FO[PD]整定方程以及方法363.4数值计算393.4.1解存在的范围393.4.2数值计算和仿真验证413.4.3与其他方法比较验证443.4.4在线计算453.5实验研究473.6本章小结49第4章分数阶PID自整定算法研究514.1引言514.2控制器自整定算法研究514.2.1整定方程设计524.2.2FOPI控制器自整定算法研究524.2.3FO[PI]控制器自整定算法研究554.3FOPD以及FO[PD]控制器自整定问题研究574.3.1FOPD控制器参数自整定方法574.3.2FO[PD]控制器自整定算法研究594.4自整定策略614.5几种受控对象模型的控制方法及仿真624.5.1高阶模型624.5.2带积分的被控对象644.5.3带延时对象67VIII\n博士学位论文4.6本章小结70第5章分数阶PID控制器在多电机同步追踪系统中的应用715.1引言715.2系统分析725.2.1多轴控制系统结构725.2.2带延时系统的同步性设计735.2.3延时补偿735.2.4时间延时的同步745.3控制器设计方法755.3.1内环控制器设计755.3.2外环控制器设计方法765.3.3控制器参数整定流程795.4系统仿真795.5本章小结83第6章基于LabVIEW的分数阶控制系统实验平台846.1引言846.2实验系统介绍846.3系统设计866.4几种控制器的实验验证886.4.1FO-PD控制器实现886.4.2FO-[PD]控制器实现896.4.3性能比较研究906.5本章小结91结论与展望93参考文献95致谢107附录A攻读博士学位期间完成的学术研究论文108附录B攻读学位期间主持和参与的科研课题109VIII\n博士学位论文插图索引图1.1Leibniz与L’Hospital对分数阶微积分的探讨1图2.1闭环系统结构框图14图2.2不具有增益鲁棒性的系统Bode图15图2.3具有增益鲁棒性控制系统Bode图15图2.4FOPD控制系统Bode图18图2.5FO[PD]控制系统Bode图19图2.6当时，和L的关系22图2.7当，和L的关系22图2.8当，和L的关系22图2.9当，和L的关系23图2.10当，和L的关系23图2.11IOPID系统的Bode图24图2.12FOPD控制系统阶跃响应29图2.13FO[PD]控制系统阶跃响应29图2.14IO-PID控制系统阶跃响应30图2.15FOPD、FO[PD]、IOPID三种控制器的比较31图2.16FOPI开环控制系统Bode图31图2.17FOPI控制系统阶跃响应32图2.18FO[PI]控制系统Bode图32图2.19FO[PI]控制系统阶跃响应33图2.20FOPI、FO[PI]、IOPID三种控制器阶跃响应比较33图3.1RC滤波网络35图3.2的解42图3.3T=1时的Bode图42图3.4T=1时FO[PD]的阶跃响应43图3.5T=1.2时的Bode图43图3.6T=0.8时的Bode图44图3.7不同时间常数阶跃响应的比较44图3.8ITAE优化后PID控制系统阶跃响应45图3.9，和之间的关系46XI\n博士学位论文图3.10Quanser实验平台47图3.11Quanser系统模块结构图47图3.121号电机阶跃响应曲线48图3.132号电机阶跃响应曲线49图3.143号电机阶跃响应曲线49图3.15三台电机阶跃响应曲线比较图49图4.1开关加人工延时（）的反馈控制系统框图61图4.2对于的FOPI系统Bode图61图4.3的FO[PI]系统Bode图63图4.4对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应63图4.5对于在增益变化及负载扰动下FO[PI]控制器阶跃响应64图4.6对于利用FOPI和FO[PI]控制器的阶跃响应比较图64图4.7对于的FOPI系统Bode图65图4.8对于的FO[PI]系统Bode图65图4.9对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应66图4.10对于在增益变化及负载扰动下FO[PI]控制器阶跃响应66图4.11对于利用FOPI和FO[PI]控制器的阶跃响应比较图67图4.12对于的FOPI系统Bode图67图4.13对的FO[PI]系统Bode图68图4.14对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应68图4.15对于在增益变化及负载扰动下FO[PI]控制器阶跃响应69图4.16对于利用FOPI和FO[PI]控制器的阶跃响应比较图69图5.1多轴控制系统结构图72图5.2Smith延时预测结构73图5.3信号扰动观测器结构74图5.4提出的处理延时结构74图5.5改进后的系统结构图75图5.6和的关系78图5.7FO[PD]开环系统Bode图79图5.8FO[PD]和IOPID控制系统阶跃响应比较80图5.9FO[PD]与IOPID系统同步误差81图5.10FO[PD]控制系统画圆效果81图5.11延时为系统Bode图82图5.12系统同步误差82图5.13FO[PD]系统画圆83XI\n博士学位论文图6.1Labview硬件系统结构图85图6.2实验系统实物图86图6.3IO-PID的VI程序87图6.4IO-PID基于Labview的前端显示板87图6.5FO-PD控制器VI程序88图6.6FOPD基于Labview的前端显示板89图6.7FO[PD]基于Labview的前端显示板…………………………………90图6.8三种控制器性能比较90图6.9整数阶PID控制器系统增益改变时鲁棒性验证91图6.10分数阶PD控制器系统增益改变时鲁棒性验证91图6.11分数阶[PD]控制器系统增益改变时鲁棒性验证………………..…91XI\n博士学位论文第1章绪论1.1研究背景及研究意义人类对数字的认识是从整数开始，逐渐了解到小数的客观存在并发现其在实际生活中具有的重要意义；人类对图形的认识是从整体图形开始，逐渐了解到分形的客观存在，并不断挖掘整体和部分存在的联系；在微积分领域人们首先了解到整数阶微积分，然后逐渐认识到分数阶微积分的客观存在。这一切都说明人类对自然界及客观事物的认识是逐渐形成的。随着人们对分数阶微积分认识的不断加深，越来越多的人开始认识到分数阶微积分对近代科学高速发展具有的价值和意义。分数阶微积分究其发展历史可以说是一门古老而又新兴的学科。分数阶微积分理论诞生于1695年，在Leibniz与L’Hospital的书信来往中，谈论到了分数阶导数的相关问题，如图（1.1）。随后Leibniz给出了分数阶微分的简单定义，（1.1）图1.1Leibniz与L’Hospital对分数阶微积分的探讨1730年L.Euler由整数阶微积分的定义给出了分数阶微积分的定义(1.2)(1.3)(1.4)106\n博士学位论文Euler进一步认为此种关系也可使用于阶次为非整数或负数的情况。当，,时有(1.5)随着时间的推移越来越多的数学家展示出了对分数阶微积分浓厚的兴趣，并在此道路上作出了巨大的贡献[1]。然而由于长期以来一直找不到充分的应用背景，分数阶微积分的发展一直停留于纯数学理论方面的研究。直到上世纪七十年代，在美国的NewHaven大学组织了第一届分数阶微积分及其应用大会，这次大会为分数阶微积分的实际应用起到了积极的推动作用。越来越多的学者开始探寻分数阶微积分作为一种数学工具可能的工程应用价值。1982年数学家B.B.Mandelbrot首次指出大量分数维的现象存在于自然界和许多技术科学中，由此分数阶微积分作为分数阶动力学的基础和有力工具获得了极大的发展。科学家们开始意识到分数阶导数在诸多领域的确存在巨大的应用价值，分数阶微积分的应用开始在松弛、粘弹性力学、电磁学及非牛顿流体力学、控制系统、振荡、扩散理论、生物组织、高分子材料、混沌与湍流、随机游走、电化学等诸多领域展开探索研究，在这些领域的研究成果证明了分数阶微积分的价值[1-9]。特别值得一提的是，最近几十年分数阶微积分在描述各种物理、化学材料的特性时展现出来了巨大的应用前景。分数阶导数对各种各样的材料和过程(特别是在描述记忆和遗传方面)的数学描述，较之整数阶模型而言更为精确[10]。这一优势在结构力学，电学，流体力学等方面体现得更为明显。由于越来越多的复杂系统用分数阶来描述会更为精确和简单，最近分数阶微积分在控制领域的发展也开始受到人们的关注。大量学者将分数阶微积分理论应用于控制系统的研究，并不断取得进展[11-12]。许多学者认为并证明了分数阶控制器在控制分数阶系统时，系统稳定以及动态性能方面具有整数阶控制器无可比拟的优势[13]。因此随着分数阶微积分从一个纯数学问题开始演变成一种系统建模的工具，再到推动分数阶控制理论的发展，必须承认这是分数阶微积分理论和控制理论共同良性发展的一条必然之路，它们之间互相提供了大量的、新的研究方向和发展空间。尽管分数阶微积分是一个有300多年历史的课题，但分数阶微积分与控制理论的结合还是个新兴的领域，可以预见利用分数阶微积分将是未来控制界研究讨论的一个新的热点。106\n博士学位论文1.2分数阶微积分定义在分数阶领域里，分数阶算子在时域中的统一表达形式为：(1.6)随着分数阶微积分的发展，根据其应用领域的不同至今为止出现了很多关于分数阶微积分的数学定义。然而，在控制领域应用较多的是三种分数阶微积分定义[10]：Grünwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义、Caputo定义。在介绍分数阶定义之前，先介绍几种在分数阶微分方程中常用的特殊函数。1.2.1Gamma函数Gamma函数定义为：(1.7)其中。Gamma函数的一个基本性质(1.8)Gamma函数在z=-n处为单极点。可以表示成，(1.9)1.2.2Mittag-Leffler函数Mittag-Leffler函数在微分方程中起着非常重要的作用。是带有一个参数的Mittag-Leffler函数的特殊情况，其在整数阶微分方程中应用十分广泛。单参数Mittag-Leffler函数的定义为(1.10)在分数阶微分方程中，Mittag-Leffler函数也扮演着十分重要的角色。两参数及广义Mittag-Leffler函数为（1.11）其中。广义Mittag-Leffler函数定义为106\n博士学位论文（1.12）其中。1.2.3Grünwald-Letnikov定义对于任意的，函数的阶导数定义如下（1.13）其中，是两个极值。当时，表示的阶导数；当时，表示的次微分。很多时候分数阶后向差分以一种极值的情况出现是很不利于实际应用的。如果满足，那么有性质（1.14）1.2.4Riemann-Liouville定义（1.15）其中，为Gamma函数。Riemann-Liouville的定义需要保证函数是连续的，这一点在数学上的要求是比较苛刻的。然而，对于一个实际系统，特别是工程运用的角度来看，实际系统函数的连续性是完全可以保证的。另外地，Riemann-Liouville定义在工程中得到广泛应用，还有一个重要条件就是它要求可积。这在工程实际应用中是一个较弱的条件。然而，有一点是值得我们思考的，Riemann-Liouville定义需要解决一个初始值问题。虽然这个问题可以在数学理论上得到很好的解决，却缺乏实际的物理意义。因此，在应用方面的发展受到阻碍。1.2.5Caputo定义上世纪60年代末，意大利数学家M.Caputo指出了分数阶微积分在数学和物理应用上的矛盾，并提出了新的分数阶微积分定义（1.16）其中。从上式可以看到Caputo定义较之前两种定义条件强一些，它要求函数前n阶导数可积。106\n博士学位论文Caputo定义的优点在于其初值有明确的物理意义，而Riemann-Liouville的却没有。还有就是Caputo定义对常数的导数是有界的，即常数的导数为0，而Riemann-Liouville定义对常数的导数却是无界的。这些对于函数频域分析及工程应用具有非常重要的意义，特别是在控制领域的应用。1.3分数阶微积分的Laplace变换在控制系统中，时域和频域往往能找到明确的对应关系。Laplace变换在工程上应用十分广泛，对于某些在时域分析中比较繁杂的系统，对系统进行Laplace变换，利用频域分析往往可以让分析变得容易。对于一个普通函数的Laplace变换为(1.17)对于分数阶函数而言，根据不同的定义，其Laplace变换存在着差别，下面将介绍两种常用定义的Laplace变换。1.3.1Riemann-Liouville定义下的Laplace变换从Riemann-Liouville分数阶微分定义，可以得到其任意正数阶Laplace变换可以表示为(1.18)其中。Riemann-Liouville定义的分数阶积分的Laplace变换表示为(1.19)以上便是著名的Riemann-Liouville分数阶微分的Laplace变换。但是由于缺乏明确的物理意义，它的应用受到了很大的限制。1.3.2Caputo定义下的Laplace变换Caputo定义下的分数阶微分因其在初始条件的导数为0，具有明确的物理意义，在实际中应用较为广泛。根据Caputo定义的分数阶微积分的Laplace变换也是在控制领域应用得比较频繁的。Caputo定义下的分数阶积分Laplace变换为(1.20)其中，106\n博士学位论文(1.21)我们可以得到Caputo分数阶微分的Laplace变换为(1.22)其中。1.4分数阶微积分在控制系统中的应用自上世纪80年代至今，分数阶微积分从数学领域的纯理论研究逐渐开始跟实际相结合发展到了理学、工学、经济学等等领域。但是分数阶微积分的发展较之整数阶微积分仍然很慢，主要是由于分数阶微积分的定义很多，在不同的领域没有一个统一的数学定义。在应用方面，分数阶微积分的应用往往需要大量复杂的数学理论作为基础，并且在很长时间里面无法找到分数阶微积分实际的物理意义。因此，分数阶微积分的应用很大程度上处于探索阶段。但是近年来对分数阶微积分的讨论越来越剧烈，随着人们对分数阶微积分的接受和认识，开始逐渐承认一个事实，整数阶系统是分数阶系统的一个特例。那么从这种从属关系可以设想，整数阶微积分能够描述的系统分数阶微积分肯定能够描述，但是分数阶微积分描述的系统特性用整数阶微积分来描述将会变得特别复杂或者根本无法得到准确的整数阶系统模型。有大量的文献指出，分数阶微积分在控制领域拥有巨大的利用价值,并列举了许多工业应用实例[14-18]。IgorPodlubny在关于分数阶PID控制系统[19]一文中指出，对分数阶被控对象而言，用分数阶PID的控制效果优于用整数阶PID的效果。YangQuanChen[20],BlasVinagre[21]等人也纷纷指出分数阶控制器具有传统整数阶控制器无法比拟的优点。总结起来，分数阶控制器较之传统控制器具有以下明显特点：（1）对于分数阶被控对象，利用分数阶控制器控制性能优于传统的整数阶控制器；（2）分数阶控制器对被控对象参数的变化具有较强的鲁棒性；（3）当用整数阶微积分对某些系统建模比较复杂时，分数阶微积分往往能更好的描绘系统的特性，且系统传递函数更为简单。1.4.1分数阶控制器研究现状国外在近二十年开展了关于分数阶微积分理论应用于控制系统中的研究工作，而在国内尚未引起足够的重视，这方面的研究也才刚刚起步。106\n博士学位论文文献[22]中，Manabe介绍了非整数阶的频率响应以及在控制系统中的应用。继而Oustlop深入研究了分数阶算法在控制系统中的应用，提出了CRONE（CommandeRobusted’OrdreNonEntier的缩写）控制器，并说明了CRONE控制器在很多方面都优于传统的PID控制器[23-25]。IgorPodlubny从理论上提出了一个广义的分数阶PID控制器的结构及传递函数，被称为控制器[19]，其中积分器和微分器的阶次均为实数。随着对分数阶控制器研究的深入，分数阶控制成为了控制理论发展的一个延伸方向。由于分数阶控制器的结构特点，一些学者开始对分数阶控制器的整定问题进行研究，并发现分数阶控制器较之整数阶控制器更为灵活且更容易实现控制系统性能要求。从一些文献中可以看到，随着对分数阶控制系统的研究不断深入，分数阶理论的应用也在不断地发展。其中，Y.Q.Chen等人对分数阶鲁棒控制进行了深入的研究，利用Lyapunov不等式对分数阶鲁棒稳定区间问题进行了探讨[26]。文献[27-29]对线性时变的分数阶系统的可控性问题进行了讨论；在文献[30-43]中，根据分数阶PID控制器结构特点提出了一系列基于系统鲁棒性的分数阶PID控制器整定算法，以及仿真实验方法；文献[44]介绍了一种基于ISE准则的分数阶PID控制器优化方法。至今为止，分数阶PID控制器是分数阶控制器家族中发展最快的，但同样也有越来越多的学者对基于分数阶微积分的其他控制手段进行研究。其中文献[45、46]，分别介绍了和控制器在单输入单输出系统中的应用问题；[47]提出了分数阶动态系统的时间优化控制方法；文献[48]提出了一种基于分数阶迭代学习控制；[49]中提出了基于分数阶的周期自适应控制算法。由于分数阶控制器在计算机中的实现手段主要还是借用整数阶逼近的方式来实现，因此很多学者对这种近似方法进行了分析，BlasM.Vinagre等人利用“Tustin”方法对分数阶微分及积分算子进行离散研究[50]；IgorPodlubny在文献[51]中专门对分数阶控制器在计算机中实现的问题进行了讨论；YangQuanChen等人利用脉冲响应不变原理得到了分数阶算子的高阶近似方法[52、53]。随着对分数阶在控制领域的研究加深，越来越多的人意识到分数阶控制器的实际应用价值，在文献[54、55]中，研究了分数阶微积分在变延时系统中的应用问题；文章[56、57]，分析了分数阶控制方法在逆变装置中的应用；在文献[58-61]中介绍了分数阶控制器在热能系统中的控制方法；文献[62-64]将分数阶控制器控制具有延时的网络系统，得到比较好的控制效果；分数阶PID控制器在用于无人驾驶分机的控制时得到了比整数解PID控制器更好的研究结论[65、66]；I.Petras106\n博士学位论文开发了一种基于分数阶的模拟控制器，并研究了其整定以及实现方法[67]。近年来国内一些学者也开始对分数阶控制系统进行研究，其中薛定宇等人提出了分数阶PID控制器的设计方法[68]，并且对分数阶控制系统在Matlab中的实现问题展开了深入研究；文献[70-72]对分数阶PID控制器的整定问题进行了研究，并提出了一些有意义的整定方法；文献[73、74]开展了分数阶控制器应用于燃料电池温度仿真控制方面的探索研究研究。1.4.2分数阶PID控制器概述根据1989年日本一个电气协会的调查统计，全球90%的控制系统是使用PID控制器。另外根据加拿大一项统计发现97%的造纸厂控制设备使用的是PI控制器。这一数据证明了PID控制器的实用性。然而随着时间的推移，人们对控制器性能的要求已经越来越高，很多时候会要求系统的控制速度更快，控制精度更高，系统鲁棒性更强等等。自广义分数阶PID控制器被提出之后，开辟了PID控制器一个新的研究领域。广义PID控制器的阶次更为灵活，其积分和微分部分的阶次为实数，并且认为传统的整数阶PID控制器是分数阶控制器的一种特例。分数阶PID的传递函数可以表示为（1.23）（1.24）式（1.23）为控制器在频域中的传递函数，（1.24）为时域中的传递函数。从式子中可以看到，当时，分数阶控制器就变成了传统的整数阶PID控制器。因此可以得出传统的PID控制器是分数阶控制器的一种特殊形式的结论。整数阶PID控制器是现今为止在工业控制领域应用最为广泛的控制器。其结构简单，鲁棒性强得到了大量学者的认可。众所周知，传统的PID控制系统中三个参数分别有着对系统不同的调节作用。由于分数阶控制器两个可调参数增加了控制器调整的自由度，因此控制器可以对系统的相位实现更为灵活、连续的调整。虽然在参数整定方面，多个参数的整定会提高算法的复杂程度，但是对提高系统灵活性、鲁棒性以及总体控制性能等都将起到积极的作用。106\n博士学位论文图1.2整数阶PID与分数阶PID取值特点1.4.3分数阶PID控制器的整定方法概述从Dorcak提出分数阶控制器以来，就不断有人提出新的分数阶PID控制器结构。其中比较著名的是A.Oustaloup的CRONE控制器，I.Podlubny提出的控制器，以及Y.Q.Chen等人提出的结构的分数阶PID控制器。各种结构的控制器的提出，都伴随了一系列的控制器整定算法的研究。由于阶次的灵活性，分数阶控制器的参数整定成为了分数阶控制研究的一个热门话题，下面列举了几个具有代表性的分数阶PID控制器的设计方法。A.Oustaloup的CRONE控制器主要是基于频域分析方法，通过研究系统相位裕度鲁棒性，提出了三代分数阶控制器算法：第一代：针对系统开环传递函数在穿越频率附近增益扰动的情况下，提出的整定算法；第二代：针对增益扰动的模型提出的整定算法；第三代：针对被控对象参数不确定性提出的整定算法。从CRONE的三代控制器算法中可以看到，分数阶PID对高频和低频干扰具有很强的抑制作用，也就是说，分数阶控制器的鲁棒性是传统整数阶PID所不能达到的。I.Podlubny虽然提出了广义分数阶PID控制器的结构，但是所提出的分数阶PID控制器整定算法主要是一种优化方法，计算过程比较复杂，在工程上推广应用有一定的难度。1.4.4分数阶PID控制需要解决的几个问题现在已经有部分文献对分数阶控制器的性能、特点、整定方法等进行了研究，可以说分数阶控制理论已经取得了一定的发展。就目前的情况来看，分数阶控制器的应用还存在着很多的问题需要解决。在各种基于分数阶的控制器中，分数阶PID控制器是受关注度最高的一类分数阶控制器结构，但较之传统的整数阶PID控制器还有待研究和解决一些问题：(1)传统PID控制器经过长时间的发展，拥有大量的理论分析结果，在工业领域得到了广泛的应用。分数阶PID作为一种新的控制器，在性能上需要有整数阶PID无法达到的优势才有足够的吸引力。(2)分数阶PID在结构上较之传统整数阶PID复杂，参数整定的研究没有整数阶PID完整，且至今为止得到的整定方法也比较复杂。研究简单、实用的控制器整定方法是分数阶PID控制器发展的一个重要课题。(3)需要研究一套系统性的分数阶PID控制器参数整定方法，以实现控制106\n博士学位论文系统的鲁棒性、控制器在线快速整定、对未知对象的自整定。(4)整数阶PID整定方法往往是针对一些整数阶被控对象，对于某些分数阶建模的系统没有完善的整定方法，分数阶控制器在此类系统中的应用将是一个发展的重点。1.5分数阶PID控制器在电力系统负载频率控制方面的应用价值在电力系统中发电机跟随系统频率变化是一项非常关键的因素，也是供电质量的一个考察指标。如果系统频率低了，发电机将提高有功出力，反之如果系统的频率过高，发电机的有功出力将下调。对于这种调整，如果完全依靠人工是不可能的，只能通过系统负载频率控制来实现。至今为止，有大量的文章研究了负载频率控制器，以期能够让发电系统具有更好的动态性能。然而在电力系统中负载的扰动是不可避免存在的，所以设计一个具有鲁棒性的控制器，在负载频率控制方面是极其必要的。这一重要性还体现在两个区域的电网联网方面，不同区域的频率同步在此时就显得更为重要。现今，大量的频率控制器选用的是传统的PI控制器，虽然PI控制器的结构简单并且能够很好地消除系统的静态误差，但是纯粹的PI控制器在系统控制时也有不可避免的缺点：(1)PI控制系统的存在一定的超调，当系统的Ki值较大时，系统的超调量也会比较大；(2)当PI控制器的Ki值减小时，系统频率的上调时间将增大；(3)面对外界的扰动，依靠PI控制系统的控制性能将受到很大的影响。基于PI控制器的反应速度，在多个区域频率协调控制时，PI控制系统的调整速度往往达不到要求。本文提出的分数阶PID控制器，对改善发电系统控制性能具有较大的优势，本文围绕对电机速度的模型进行研究，以求通过在理论计算和初步试验分析之后推广应用。特别在本文的第五章，对具有多个系统的同步问题进行了研究讨论，提出了一种分数阶控制系统的同步方法。1.6本课题来源及本文的主要研究内容1.6.1本课题来源本课题是受国家留学基金委资助在美国犹他州立大学CSOIS中心完成的，其中课题中所有的实验设备及部分实验研究设备费用由美国犹他州立大学提供。美国犹他州立大学CSOIS中心106\n博士学位论文多年来一直从事分数阶控制理论的探索与研究，已积累了相当丰富的经验和素材，并拥有国际先进的实验室，为本课题研究提供了实验场地。1.6.2本文主要研究内容本文针对具有系统参数鲁棒性的分数阶PID控制器参数整定问题进行研究。本文研究了，，，四类分数阶PID控制器。其原因主要是此类控制器能够满足提出的性能指标要求，且结构较为简单，在实际应用中能够得到推广。本文首先介绍了分数阶算子的基本概念和性质。根据分数阶微积分在各个领域的发展和应用介绍了应用得比较广泛的两类分数阶微积分的定义：Riemann-Liouville导数和Caputo导数，还介绍了在分数阶微积分中应用比较多的几种特殊函数及分数阶微积分在频域中的Laplace变换的相关知识。此外，叙述了分数阶微积分在控制理论中的应用和发展，也对现今分数阶PID控制器的发展作了介绍。第二章，设计了分数阶PID控制器的整定方程，此方程主要是针对系统增益鲁棒性来设计的。通过整定方程，对系统提出了分数阶PI、[PI]、PD、[PD]的系统性的整定方法。通过系统仿真，验证了分数阶控制器优于传统PID控制器的特点，并且证明了系统对开环增益变化的鲁棒性。第三章，提出了一种基于系统时间常数鲁棒性的分数阶[PD]参数整定算法。整定方程的数值计算方法以及设计的整定方程与系统参数的关系在文章中进行了研究，为解决分数阶鲁棒性控制器参数整定中解存在性的问题给出了答案。为简化计算方法及实现在线计算，提出了一种快速计算参数的方法。通过系统仿真和实验研究的结果证明了整定方法的正确性。第四章根据未知系统传递函数的稳定最小相位系统的Iso-damping特性，研究了FOPI、FO[PI]、FOPD、FO[PD]四种分数阶控制器自整定方法。通过利用前面几章提出的鲁棒性控制器参数整定方法，提出了一种具有鲁棒性的控制器参数自整定算法。在未知被控对象的前提下设计了一种继电反馈测试实验，来得到系统在穿越频率处的增益以及相位，从而实现此方法在控制领域的实际应用。第五章根据分数阶PID控制器的性能特点，开拓了分数阶控制器的应用空间，研究了分数阶PID控制器整定算法在同步追踪系统中的应用。通过研究一个带延时同步追踪控制系统结构，提出了一种补偿延时的结构，并通过利用分数阶控制器使得系统实现了同步。通过仿真研究，证明了此控制系统能实现很好的同步性能。106\n博士学位论文第六章详细介绍了分数阶PID控制器在Labview中实现的方法。介绍了一个基于Labview的实时控制实验平台。同时根据前面提出的方法，进一步在此实验平台上验证了分数阶控制器的性能特点。最后总结了本文的主要研究成果，并指出了可以进一步研究的方向。106\n博士学位论文第2章对系统开环增益鲁棒性分数阶PID控制器设计方法2.1引言设计控制器时，通常会谈到一个问题——鲁棒性。所谓鲁棒性，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。现在PID控制器广泛用于工业界，很多时候我们会追求某项指标的最优来整定控制器参数，对于系统鲁棒性，往往依靠PID控制器自身的鲁棒性。在一些对参数鲁棒性研究的文章中，提出了一些此方面比较有效的方法[75-78]，但是很多方法会导致系统控制性能的下降。本章从分数阶控制系统的开环频域特性出发，分析了四种结构的分数阶控制器（FOPD,FO[PD],FOPI,FO[PI]）参数整定问题。为保证系统的增益鲁棒性，文中研究得到了满足条件和要求的控制器参数整定的三个方程，通过联立三个整定方程，可以得到控制器参数值。这一方法能够较为准确合理的得到满足系统稳定性、鲁棒性、相位裕度的分数阶控制器参数。文中给出了四种控制器算法推导的全过程。由于控制器参数整定方程中包含一些非线性环节，因此解不一定总是存在。针对这个问题，本章对解存在的问题进行了研究，给出了参数整定方程组解存在的判定方法。本章主要的创新点是：研究了针对于不同类型的带有延时的伺服系统，全面系统性的分析了四种类型分数阶控制器的参数整定问题。根据提出的整定方法可以得到满足鲁棒性要求的控制器。仿真结果表明，利用这种整定方法得到的分数阶控制器不仅能使得系统稳定，同时还能提高控制系统的动态性能。2.2开环增益鲁棒性分数阶PID控制器参数整定方程设计原理电机系统模型是在控制系统中比较常见，也是一种比较重要的系统模型。如今随着工业生产中对电机动态特性及鲁棒性的要求不断提高，传统的PID控制器已经无法满足这些设计要求。于是在某些特殊的场合，大量的学者开始研究新结构的控制器。本章我们也将利用电机系统的频域模型作为被控对象，介绍分数PID阶控制器参数整定方法。106\n博士学位论文式（2.1）是一个典型的电机系统位置控制模型的传递函数(2.1)其中J为有效负荷的惯性参数；T为系统的时间常数；K为增益。一般情况下我们得到的这几个系统参数值都是通过系统辨识的办法得到的，在不同的环境下很可能得到的值是不准确的，特别在一些干扰比较大的环境下。如果某个电机系统中有效负荷的惯性参数不稳定，或者其在某个小范围内有一定的变动，那么在没有充分考虑系统参数鲁棒性的情况下将可能导致系统性能的下降。同时，在满足系统鲁棒性的同时，人们往往不希望以牺牲系统动态性能为代价。特别在一些环境较差但控制精度要求较高的系统中。从频域的角度来考虑，对一个普通的控制系统而言有效负荷的惯性参数值的改变将导致系统相位裕度的变化。从系统频域稳定裕度来看，这种改变不仅会影响系统的性能，如果系统相位裕度受影响太大，还将可能导致系统的不稳定。所以，设计一个控制器使得控制系统的相位裕度对J值的改变具有鲁棒性也即等阻尼特性（Iso-damping）在实际应用领域是具有很深远的意义的。图2.1闭环系统结构框图图2.1是一个简单闭环控制系统的结构框图，为闭环系统的控制器，为系统的被控对象。图中开环系统的传递函数可以表示为(2.2)常见的电机控制系统中，通常采用PID控制器，在设计控制器参数时往往只追求系统的稳定性、准确性和快速性。由于控制器的结构特点，系统的鲁棒性常常依靠PID控制器本身的鲁棒性。图2.2是一个比较有代表性的利用PID控制器的控制系统Bode图，图中蓝色的线为系统本身的幅相曲线，红色线为系统增益减少10%的幅相曲线，绿色线为系统增益增加10%的幅相曲线。106\n博士学位论文从图2.2中可以看到，随着系统开环增益的变化，系统的穿越频率也相应会发生改变，与之对应的相位裕度也会发生变化。由此可以推断对应的系统超调也会受到一定的影响。但是假若能设计一种控制器使得系统开环增益发生变化不影响系统相位裕度，那么系统的等阻尼特性就可以得到保证。图2.2不具有增益鲁棒性的系统Bode图首先，根据穿越频率的定义，开环系统在穿越频率处的模值为1，于是可以得到(2.3)其中是系统幅频特性曲线穿越0db时的穿越频率。然后，由系统相位裕度的定义，可以求得在穿越频率处系统相位裕度的表达式(2.4)图2.3具有增益鲁棒性控制系统Bode图106\n博士学位论文由于系统开环增益的变化直接影响穿越频率，而对系统的幅频特性曲线没有什么影响，因此若要求系统的相位裕度独立于系统开环增益的变化，那么系统的相位裕度就需要独立于系统的穿越频率，也就是说系统相位裕度若不对系统穿越频率变化敏感的话系统也不会对开环增益的变化敏感。由此，可以根据系统相位裕度方程在穿越频率处的导数来设计一个满足要求的控制器整定方程，（2.5）当系统的开环传递函数在穿越频率处的导数为0时，表明系统穿越频率在一定程度上的变化对系统的相位裕度不造成影响。图2.3是一种满足式（2.5）条件的开环控制系统Bode图，从图中可以发现，根据此原则整定的控制系统在穿越频率处系统的相频曲线是平直的。式（2.3）、（2.4）、（2.5），是控制器的三个参数整定方程，在被控对象明确知道的前提下，可以通过此三式整定计算得到分数阶PD，或分数阶PI控制器的参数值。下面就此方法讨论其在电机速度及位置伺服系统中参数计算问题。2.3分数阶PD及[PD]控制器参数整定问题的研究为进一步通过分数阶控制器计算实例来说明这种算法，首先讨论分数阶PD控制器对典型的有死区延时的电机位置伺服系统的整定方法。位置伺服系统的频域经典模型为：（2.6）其中是一个直流电机位置伺服系统的频域数学模型。代表系统死区时间部分，L是系统延迟的时间。本节研究的FOPD,FO[PD]以及IOPID控制器的传递函数形式如下：（2.7）（2.8）（2.9）其中。前面分析了，当系统Bode图在穿越频率处相频曲线“平直”，就意味着当闭环系统在增益发生改变时，系统的相位裕度不会发生变化。那么，对应到时域中系统阶跃响应的超调也不会随增益在某个范围内的改变而发生变化。106\n博士学位论文由此可以断定，系统对开环增益变化具有鲁棒性。这种特性也被称作Iso-damping特性，即等阻尼特性。2.3.1FOPD控制器设计FOPD控制系统的开环传递函数能够表示成：（2.10）FOPD控制器的频域响应传递函数为（2.11）控制器的相位和增益的传递函数分别为（2.12）（2.13）被控对象的频率响应可以表示成（2.14）被控对象的相位和增益分别是（2.15）（2.16）根据电机位置伺服系统的相位和增益，的开环频率响应如式（2.10）因此根据式（2.12），（2.13）以及式（2.15），（2.16）得到系统开环频率响应（2.17）（2.18）在一个稳定的系统中，系统在穿越频率点处应该满足式（2.3）(2.4)两个条件。由式（2.5）以及前面关于增益鲁棒性的分析，可以得到(2.19)很明显地，通过联立式(2.17)(2.18)和(2.19)，可以得到三个参数：106\n博士学位论文以及的值。以一个实例来说明，设定三个参数如：那么根据式（2.17）、（2.18）以及（2.19），通过数值计算的办法可以得到以及三个参数分别为：。图2.4FOPD控制系统Bode图图2.4为FOPD控制系统的开环系统的频率响应图，从图中可以清楚地观察到，系统的穿越频率是，系统的相位裕度为，满足设计的要求。另外可以看到在穿越频率处相位频率特性曲线是平直的，这一点也保证了系统的等阻尼特性即系统开环增益一定程度的扰动变化不会对系统的超调有明显的影响。从这个算例的Bode图上可以证明，根据三个整定方程可以得到一个满足设计要求的控制器。由于在三个整定方程中，存在了一些非线性环节，因此系统方程的解并不是常常存在。根据(2.20)可以知道对于此类单输入单输出系统要保持稳定，和都必须大于0。所以，必须大于零（）。的相角需要在第一象限或第二象限，所以以及T需要满足：(2.21)106\n博士学位论文2.3.2分数阶[PD]控制器设计FO[PD]的传递函数已经在前面介绍了。根据FO[PD]控制器的频域模型我们有(2.22)那么，的相位和增益为：(2.23)(2.24)因此，开环传递函数的相位和增益为：(2.25)(2.26)对于一个稳定系统，同样需要满足式(2.3)、(2.4)，系统需要具有增益鲁棒性则还需要满足式(2.5)。假定：那么以及被解得。图2.5FO[PD]控制系统Bode图106\n博士学位论文图2.5为FO[PD]的Bode图，可以看到在满足三个整定方程的时候系统在穿越频率处的相位曲线是平直的，这也意味着系统对开环增益的变化具有鲁棒性。从式(2.3),(2.4)(2.5)中可以发现，由于非线性环节的存在，方程组可能具有无解的情况。因此有必要讨论利用此种方法解存在性的约束条件。根据分析，系统解存在首先需要满足，（2.27）其中，假设是一个由下式给定的参数（2.28）根据式(2.28)，如果的值在中，若A存在有理数的解，那么还应该满足（2.29）由于系统在穿越频率处的开环增益需要满足式（2.3），于是可以得到（2.30）根据式（2.28），我们有（2.31）于是联立（2.30），（2.31）可以得到（2.32）106\n博士学位论文由式(2.32)知道是一个对的增函数，而是一个对的减函数，那么是这个函数的一个极点。同时，由于是控制器的相位，因为控制器应该使得系统稳定，那么必须为正实数且应大于0。所以控制器相位在第一象限，对于，也是一个减函数且他的下降的速度会比快。因此，如果A的解存在，下面两个式子必然成立（2.33）（2.34）其中。在图2.6中，被控对象参数T及相位裕度分别被设定为T=0.4，。在红线区域下的部分满足式(2.33)，同时在黑线下的区域满足式(2.34)，因此重叠部分为的取值范围。假设一种情况，如果当相位裕度从40度增加到70度，系统的延迟时间从0.1秒增加到0.4秒时，我们可以看到他们和L的变化，如图2.7、2.8、2.9。在这些图中L和能够从线下的区域部分选择。106\n博士学位论文图2.6当时，和L的关系图2.7当，和L的关系图2.8当，和L的关系106\n博士学位论文图2.9当，和L的关系图2.10当，和L的关系2.3.3整数阶PID控制器为说明分数阶控制器的性能特点，传统的整数阶PID控制器也通过同样的方法进行了整定设计。控制器的频域表示为：（2.35）相位和增益分别为：（2.36）106\n博士学位论文（2.37）那么，开环传递函数为：（2.38）开环系统的相位和增益分别是（2.39）（2.40）因为开环系统传递函数在穿越频率处应满足（2.41）（2.42）从相位在穿越频率处平直的条件可以得到：（2.43）在前面的例子中已经给出了的值。从上面的式子中可以计算出：。图2.11IOPID系统的Bode图整数阶控制系统的波特图在图2.11中。虽然从波特图中可以看到在穿越频率处相位是平直的，但是控制器中积分部分的系数为负值，从系统的整定方程中看到：106\n博士学位论文（2.44）如果为负值，则总能找到一个实部为正的根满足方程要求。那就意味着系统将不稳定。于是可以断定在这种条件下，找不到满足要求的整数阶PID参数使得系统稳定。2.4增益鲁棒性FOPI及FO[PI]控制器整定算法在实际的工业应用中传统的整数阶比例+积分（PI）或比例+微分（PD）控制器是采用较多的两种结构的PID控制器。事实上，被控对象的结构特点是决定选择何种PID控制器的一个关键因素，对于有积分环节的被控对象，设计者们关心得更多的是系统响应的快速性；而对于没有积分环节的被控对象，消除静差是设计者首要考虑的重要问题。对分数阶PID控制器而言，也可以遵循这个规则，对于没有积分环节的被控对象，一般选择分数阶PI控制器。电机转速系统的频域数学模型通常可以被描述成一阶加延时的形式，如(2.45)其中T为系统的时间常数，L为系统的死区时间或延迟时间，K为系统直流增益。事实上大量的系统都能用这种传递函数结构进行建模。这里介绍的两种分数阶PI控制器的传递函数为(2.46)(2.47)其中。下面将介绍根据式（2.3）、（2.4）、（2.5）如何来计算得到分数阶PI及[PI]控制器参数。2.4.1FOPI控制器参数整定方法系统的开环传递函数的形式为(2.48)其中分数阶PI控制器的结构如式（2.46）所示，被控对象的传递函数如式（2.45）所示。为方便进行频域分析控制器的传递函数可以写成(2.49)同时控制器的相位和增益表达式为106\n博士学位论文(2.50)(2.51)开环系统的相位可以表示成(2.52)开环系统的幅值可以表示成(2.53)那么，和可以建立如下关系，(2.54)其中，(2.55)为保证系统对开环增益的变化具有鲁棒性，根据整定方程3，系统需要满足(2.56)由此，可以建立关于和的函数关系(2.57)其中那么，(2.58)106\n博士学位论文根据设计的参数整定方程（2.3），可以得到一个关于的方程(2.59)通过以上几个方程，可以求得分数阶PI控制器的三个参数。2.4.2FO[PI]控制器整定方法根据FO[PI]控制器的传递函数，可以得到它的频率响应(2.60)控制器的相位和增益为(2.61)(2.62)控制系统的相位可以表示为(2.63)系统满足开环增益鲁棒性的条件为(2.64)系统穿越频率需要满足(2.65)根据以上几个式子，可以联立出方程组(2.66)(2.67)(2.68)106\n博士学位论文通过简化方程，可以得到(2.69)(2.70)(2.71)其中E、F分别是通过解出以上三式，可以得到控制器的三个参数2.5系统仿真为验证提出的整定方法，在这一章节，我们将利用Matlab/Simulink对三个控制系统进行仿真研究。分数阶算子对应的FOPD、FOPI控制器的微分部分，分数阶部分对应于分数阶FO[PD]、FO[PI]控制器，实现原理主要是根据脉冲响应时不变方法，相关具体的说明及Matlab代码可以在文献[79,80]中找到。前面已经对四种控制器整定方法作了详细说明。为公平验证三个控制器，系统参数已作调整（主要是针对先前设定参数对于常规整数阶PID不能得到稳定系统参数而言的调整）。在此情况下，系统参数设定为。2.5.1FO-PD控制系统阶跃响应根据前面讨论的方法，FO-PD控制器的参数经过计算以后得到：在图2.12为FOPD的阶跃响应图。我们可以看到系统响应时间仅为0.13s，系统超调仅为6.4%。为了说明系统的鲁棒性，我们将开环系统增益变化。从图2.9中，我们可以观察到在增益改变后系统的超调基本没有改变。显然，从仿真结果我们可以认定分数阶控制器不仅能使得系统稳定，还能够在很大范围内改善系统性能。106\n博士学位论文图2.12FOPD控制系统阶跃响应2.5.2FO[PD]控制器阶跃响应因为给定的参数在FO[PD]控制器参数存在的范围，我们可以通过前面介绍的方法计算出控制器的参数：。图2.13FO[PD]控制系统阶跃响应图2.10是FO[PD]控制器的阶跃响应曲线，同时我们将其与此系统开环增益变化的阶跃响应曲线作了比较。结果可以从图中看出，他们的超调基本一致均为5.6%，并且上升时间基本都是0.11s。图中已验证系统满足鲁棒性要求。106\n博士学位论文2.5.3IO-PID控制器阶跃响应如我们前面所阐述的，对于某些系统参数，我们无法得到满足鲁棒性要求的IO-PID参数。先前我们已经调整了系统参数以比较三种控制器性能。根据调整后的参数，我们用前面介绍的方法可以计算得到整数阶PID的三个参数：图2.14IO-PID控制系统阶跃响应图2.11中可以看到系统的超调为29%。我们同样对系统的增益改变了，从图中可以看到，系统的超调有3%的变化。根据此我们可以认为：（1）对整数阶控制器在参数允许的范围内，同样可以获得具有鲁棒性的控制器参数；（2）很明显地，分数阶控制器与整数阶控制器在同样的整定方法下，分数阶控制器的鲁棒性更优；（3）经过分析认为用此类算法整定控制器，FOPD、FO[PD]控制器解存在的范围大于整数阶PID控制器。2.5.4利用三种控制器进行仿真比较三种控制器的比较结果示于图2.15，容易看出利用FOPD和FO[PD]控制器的阶跃响应超调小于整数阶PID控制器。从调整时间来看，IOPID的调整时间也是最长的。106\n博士学位论文图2.15FOPD、FO[PD]、IOPID三种控制器的比较2.5.5FO-PI控制器阶跃响应分数阶PI控制器的参数整定方法在前面已经讨论过，这里将对前面所推导的控制器参数表达式进行仿真验证。首先以一个电机的模型作为被控对象的设定参数：。根据讨论方法计算得到控制器的参数为：。为验证计算结果的正确性，可以从Bode图穿越频率处相位曲线是否“平直”来验证。图2.16为FOPI控制系统Bode图，从图中可以看到系统在穿越频率处的相频曲线是平直的，也就是说系统参数满足设计要求。图2.16FOPI开环控制系统Bode图在图2.17中，是控制器的阶跃响应曲线，同时还叠加了在开环增益变化106\n博士学位论文的系统阶跃响应曲线。可以从图中观察到，虽然系统的开环增益变化了10%，但系统的超调基本上没有变化，三个系统阶跃响应曲线也基本保持一致。图2.17FOPI控制系统阶跃响应2.5.6FO[PI]控制器阶跃响应为与FOPI控制进行公平的比较，FO[PI]控制器也利用相同的被控对象，其系统参数已经在上一部分进行了讨论。通过提出的计算方法，可以得到控制器的参数值为：。通过计算的结果可以画出开环系统的Bode图，如图2.18。从图中可以看到，系统在穿越频率处的相频曲线是平直的，由此可以判断整定参数满足设计要求。图2.18FO[PI]控制系统Bode图106\n博士学位论文根据控制器的参数，可以对系统进行仿真，其仿真的阶跃函数图形如图2.19所示。可以从图中看到，虽然系统的开环增益变化了，系统阶跃响应的超调基本没有变化，且三条系统阶跃响应曲线基本一致。由此也可以证明此方法能有效的增强系统对开环增益变化的鲁棒性。图2.19FO[PI]控制系统阶跃响应同样的，为了将分数阶PI控制器与整数阶PID控制器的性能进行比较，在图2.20中，将三种控制器的阶跃响应进行了对比。从图中可以看到，分数阶PI及[PI]的动态性能相似，但均优于整数阶PID控制器。图2.20FOPI、FO[PI]、IOPID三种控制器阶跃响应比较2.6本章小结本章中，我们系统性地讨论了106\n博士学位论文FOPD、FO[PD]、FOPI、FO[PI]四种分数阶控制器的整定方法。由于整定方程存在部分非线性计算环节，因此在整定计算过程中常常遇到根据方程找不到解得情况。针对此类问题，本文通过研究控制器参数整定方程，找出了系统参数间的关系。这些结论对控制系统参数的选择有一定的指导作用。为了验证算法的正确性，利用Matlab\Simulink对各种结构的控制器进行了仿真，仿真结果说明了以下几个问题：(1)通过用提出的方法整定的控制器完全能够满足系统开环增益鲁棒性的要求；(2)控制器能使得传统的几类伺服系统稳定，并可得到很好的控制性能；(3)从几种控制器比较的结果可以看到分数阶PID控制器明显优于传统整数阶PID控制器。106\n博士学位论文第3章对系统时间常数鲁棒性的分数阶PD控制器设计方法3.1引言在工业控制中，稳定的控制性能是一项非常重要的指标，然而被控对象所处的环境常常会“诱发”系统参数的变化，如果控制系统不具有鲁棒性，系统性能将出现很大的改变。前面我们讨论了对被控对象开环增益鲁棒性的分数阶控制器整定方法。然而对于某些系统，被控对象的时间常数很容易受到诸多环境因素的影响，特别是在某些对环境因素敏感的系统，系统的时间常数常常发生“飘移”。如果系统的性能对时间常数的变化很敏感，那么时间常数的变化将对系统产生很大的影响。至今为止，虽然有一些人关注分数阶PID控制器的整定问题[81-84]，但是针对时间常数鲁棒性的分数阶PID控制器整定方法还很少有人研究。本章主要针对被控对象时间常数变化，引起的相位和增益变化的情况，研究一种对系统时间常数变化具有鲁棒性的分数阶控制器整定方法。本章首次提出了一种对时间常数鲁棒性的分数阶[PD]控制器的整定方法。根据提出的方法，控制系统的相位裕度将对时间常数在一定程度的变化具有鲁棒性，也即控制系统将对时间常数变化表现出等阻尼特性。由于得到的整定方程含有非线性部分，给推广应用此方法带来了很多不便，基于此整定方程的数值计算方法以及设计的整定方程与系统参数的关系在文章中进行了研究，也给出了简化计算方法及在线计算的实现方法。为验证这种方法的正确性，本文对所提出的方法进行了仿真和实验的验证，结果证明了所提出方法的正确性。3.2问题描述图3.1RC滤波网络106\n博士学位论文图3.1为一个RC的简单滤波网络。RC网络的输入和输出可以描述为(3.1)其中和分别为RC网络输入和输出的电压，T为网络时间常数且。这个网络的传递函数可以表示为(3.2)在这个滤波网络系统中T值的改变将对系统影响很大。然而，在一个实际的系统中影响电阻以及电容的因素是非常多的，且这两个值随受到影响而发生偏移的可能性是非常大的。还有一种情况就是我们在辨识一个系统时，采用传统的频域辨识法，通常是利用不同频率的信号加在一个系统中，通过(3.3)(3.4)来得到系统的时间常数。由于误差会不可避免的存在，那么我们不可能总是得到很精准的时间常数值（由于受到检测设备精度等因素的影响），所以我们得到的时间常数“T”值，与真实值之间存在偏差应该说是一个很普遍的问题。但是如果一个系统对T值很敏感，T值将对系统性能产生很大的影响。对于此类问题，研究控制系统对时间常数的鲁棒性问题变得非常重要。以前探讨传统整数阶PID控制器鲁棒性问题时，对系统性能的要求往往会被忽视，这样就导致系统在满足鲁棒性要求时会以牺牲另一项性能指标为代价。这一章节主要研究分数阶控制器对时间常数鲁棒性的参数整定问题。3.3FO[PD]整定方程以及方法控制系统的开环传递函数是：(3.5)其中是控制器传递函数，是被控对象。这里我们通过模型近似的方法选择了一个直流电机的位置伺服系统频域模型：(3.6)106\n博士学位论文其中T是不确定的时间常数，L是已知的死区时间。K是控制对象的增益，由于直流电机的增益可以转化为控制器的增益，因此K能归一化为1。注意到，当系统时间常数T发生变化时，系统的性能可能恶化。本章对分数阶PID控制器结构选择方面，选择了一种结构相对简单的分数阶控制器——FO[PD]控制器，以方便说明鲁棒控制系统的整定方法以及实现鲁棒控制的设计目的。FO[PD]控制器的传递函数为：(3.7)其中是传统的PD控制器，是系统的阶次，其范围为（0,2]。我们知道，整数阶PD控制器的相位和增益主要取决于和，然而，在分数阶控制器中阶次作为一个可调的参数使得其更具灵活性。利用这种灵活性，能够让系统鲁棒性要求得到满足。被控对象在频域中的相位和增益可以表述为：(3.8)(3.9)控制器的相位和增益是：(3.10)(3.11)根据穿越频率和相位裕度的基本定律，以下的整定方法被利用：1）相位裕度条件(3.12)其中是指定的穿越频率，是指定的相位裕度。2）穿越频率点处系统增益需满足条件(3.13)3）对时间变化鲁棒性需要满足条件106\n博士学位论文从式（3.12）(3.13)中可以观察到，当时间常数T变化时，穿越频率及相位裕度都将被改变。同样地，系统性能也将会随时间常数的变化而变化。但是，我们从公式中注意到，当时间常数发生小小的变化时，将引起穿越频率的改变。因此满足系统穿越频率的条件，可以保证，(3.14)(3.15)其中是时间常数。如果我们想使得时间常数和穿越频率的变化不引起相位裕度的变化的话，我们可以建立以下的方程，(3.16)(3.17)观察式（3.15）和（3.17），一个具有鲁棒性的控制器应满足，(3.18)当系统满足方程（3.18）时，就能实现系统对时间常数鲁棒性的要求。所以从式（3.12）、（3.13）及（3.18）三式中获得的FO[PD]控制器参数将同时满足相位裕度的准则和时间常数鲁棒性要求。3.4数值计算从式（3.16），可以得到106\n博士学位论文(3.19)(3.20)同样根据式（3.12），(3.21)(3.22)另外根据方程（3.18），可以得到(3.23)为简化计算，用A代替。那么以下两个式子可以建立解出A和，(3.24)(3.25)因为在这两个方程组中，存在正切函数，所以我们只能得到其数值解。根据式(3.24)和(3.25)的特点，可以推断如果穿越频率选得太随意，整定方程组的解有可能不存在。因此，下面将就此问题，讨论解存在的范围，以及快速在线计算的方法。3.4.1解存在的范围在方程（3.25）中，假设和是A的两个解，(3.26)(3.27)106\n博士学位论文其中，。因为，所以控制器的阶需要满足(3.28)(3.29)其中。因为，方程(3.29)不能成立。如果太大，将超过的范围。因此，第一个条件表达式为：(3.30)同样，假设是方程(3.24)的解，我们有(3.31)其中。根据不同的的值，有三个条件需要被讨论，1．我们知道，式(3.31)是一个关于的减函数。但是式(3.26)是一个关于的增函数，式(3.27)是一个关于的减函数。所以，函数的极点可以并且必须被讨论。根据式(3.28)，假设是函数(3.25)的极点，那么我们有，及(3.32)将带入式(3.24)，那么能够被得到，如：(3.33)因此，比较和的值，有两个条件需要被讨论，1）如果，可以得到下面的式子(3.34)其中2）如果，下面的不等式也可以得到(3.35)2．根据式(3.26)和(3.27)，可以断定成立。也因为106\n博士学位论文是正的，仅式(3.26)成立。这里式(3.26)是一个关于的减函数。如果，将是正无穷。同样的如果，将是正无穷。因此根据和，有两种情况需要被讨论。1）如果，可以得到下面的不等式(3.36)2）如果，可以得到下面的不等式，(3.37)3．实际上，当T和L的值固定了之后，的值也被固定了。对方程(3.24)和(3.25)来说，解一定是存在的。但有一个限制条件即属于区间内,因此要对相位裕度的范围进行限制。这个问题在本章的3.3.4节进行了详细地讨论。3.4.2数值计算和仿真验证设定两个参数T=1，L=0.5，为验证这个推导结果，选取一个验证是否它满足这三个要求。令，，将他们带到三个条件式以验证是否满足要求。由于，可以根据式(3.36)、(3.37)进行判定，同时有(3.38)(3.39)同时，和在点计算结果分别为2.6992，1.5036。显然，在这一点上，比要大。所以在这个范围内存在解。根据方程式(3.24)和(3.25)，和A存在解。由于方程中存在非线性环节因此只能得到其数值解。通常可以利用Matlab计算得到，也可以通过图解法得到方程的解。如图3.2，从图中可以读得和A的值,于是可以计算得到的值106\n博士学位论文(3.40)(3.41)图3.2的解分数阶FO[PD]鲁棒控制器的传递函数可以写作(3.42)图3.3T=1时的Bode图根据系统传递函数，可以画出系统Bode图如图3.3所示。从图中可以看到系统穿越频率、相位裕度都满足设计的要求。为验证控制系统的动态特性，利用了Matlab/Simulink对系统进行了仿真。图3.4为控制系统阶跃响应的仿真结果，从图中可以看到，系统具有良好的动态性能特性。106\n博士学位论文图3.4T=1时FO[PD]的阶跃响应由于设计控制器的整定方程还有一个关键的目的就是系统要对时间常数的改变具有鲁棒性。为验证这一点，可以通过改变时间常数，根据系统Bode图中相位裕度是否改变来判定结果正确与否。为了验证设计，让时间常数T变化，然后分别画出系统Bode图，如图3.5，3.6。观察两幅Bode图可以看到，当系统时间常数人为地发生改变时，系统的穿越频率也随之发生了变化，但两个图的相位裕度仍然是。这一点很好的验证了所提出的整定方法可以使得系统相位裕度不会因时间常数在某种程度的改变而发生变化。因此也意味着对应于时域的动态响应，系统的超调不会因为时间常数的这种变化而发生改变。图3.5T=1.2时的Bode图为进一步验证刚刚的结论，通过Matlab/Simulink对系统进行了仿真研究。图3.7为系统在不同的时间常数下，阶跃响应的叠加图。从图中可以看到三个具有不同的时间常数的被控对象用同一个控制器控制，其超调仍然保持常量。106\n博士学位论文图3.6T=0.8时的Bode图图3.7不同时间常数阶跃响应的比较3.4.3与其他方法比较验证在明确知道被控对象的情况下，通过全局寻优的办法来整定整数阶PID控制器是一种比较好的方法。为说明提出方法的特点以及优点。我们通过ITAE方法优化整定了整数阶PID控制器，并同前面提出的FO[PD]控制器进行了比较。根据ITAE的原理，针对同一个被控对象进行了整数阶PID的全局寻优工作，最后得到了寻优后的PID控制器参数为比较验证优化后的PID参数对时间常数的鲁棒性，我们将被控对象时间常数同样正负变化了20%，得到了如图3.8的比较结果。图中蓝色线条为106\n博士学位论文从图中可以看到，在时间常数变化后系统的超调有明显改变。由此可以断定，文中提出的分数阶[PD]控制器的鲁棒性较优，同时也验证了此算法特点。图3.8ITAE优化后PID控制系统阶跃响应3.4.4在线计算为设计鲁棒控制器，已经得到式(3.24)和(3.25)。由于式中存在非线性环节，因此不能得到方程的解析解。所以对于不同的系统，我们必须进行离线的复杂计算。这在应用方面妨碍了分数阶PID控制器的推广应用。因此，简化计算过程以及在线计算的研究对FO[PD]控制器的应用研究是极具现实意义的。在前面分析了，如果和解存在的要求已经在前面讨论了。但是还有另外一种情况可以用来实现在线的快速计算。如果，等于。那么A可以由式(3.25)得到：。将A带入到式(3.24)，为(3.43)同时，和是(3.44)(3.45)106\n博士学位论文因为属于，我们通过Pade近似得到(3.46)解存在时，的范围是(3.46)图3.9，和之间的关系图3.9是，和的关系的三维图，在图中的平面上，可以找到不同的，值对应的。106\n博士学位论文3.5实验研究为验证这个算法，利用Quanser硬件实验设备实现鲁棒运动控制系统平台搭建。Quanser系统的结构如图3.10，系统模块结构图如图3.11。图3.10Quanser实验平台图3.11Quanser系统模块结构图为测试控制器的鲁棒性，选用了三台电机，每一台电机都提供tachometer接口反馈速度信号。这些信号通过Quanser的终端板，并通过A/D转换卡传给电脑。控制信号则是通过Matlab/Simulink的realtimeworkshop软件发出的。这个实验平台能快速的建立一套实时控制系统。通过对三个电机简单的系统辨识，分别得到了他们的传递函数，106\n博士学位论文一号电机的时间常数比二号电机少9.1%，二号电机的时间常数比三号电机少12%。为更好的验证这套控制算法，二号电机被选作被控对象设计控制器。我们令。由式(3.43)(3.44)(3.45)可以很快的计算出以及，他们分别为，因此，控制器的传递函数是：FO[PD]控制器在Matlab中实现，是通过修改分数阶低通滤波器的IRID代码实现的[39,40]。一种离散时间有限维传递函数通过计算逼近了收敛时间分数阶低通滤波器。利用这种方法获得的分数阶FO[PD]控制器的离散传递函数是图3.12，3.13，3.14为利用此控制器控制三个电机的阶跃响应曲线。可以从图中观察到，三个控制系统的超调均少于2%。因此，可以得出此整定方法能保证控制性能的结论。同时，通过图3.15将三个电机的阶跃响应曲线进行比较发现，尽管三台电机的时间常数不相同，但是他们的超调量基本保持一致。由此，证明此算法能很好的保证系统的鲁棒性。图3.121号电机阶跃响应曲线106\n博士学位论文图3.132号电机阶跃响应曲线图3.143号电机阶跃响应曲线图3.15三台电机阶跃响应曲线比较图3.6本章小结本106\n博士学位论文章中，描述了一种对于典型的一阶加积分加延时的FO[PD]控制器整定方法。此整定方法保证了实现给定的穿越频率和相位裕度。同时，控制器满足了对时间常数变化的鲁棒性要求。通过研究方程解的范围和控制器在线整定方法，为所提出的分数阶控制器整定方法的推广应用奠定了理论基础。仿真和实验结果表明，此种方法整定的FO[PD]控制器能保证系统动态性能和系统鲁棒性。106\n博士学位论文第4章分数阶PID自整定算法研究4.1引言整数阶PID控制器，经过几十年的发展，已经在控制器整定问题上形成了一套完整的方法[87-101]，且至今还不断有人提出一些新的整定方法。虽然分数阶控制器的特殊结构已经吸引了一些学者的关注，并且也提出了许多有价值的整定方法，但整套理论体系以及方法还在不断的完善之中，现有的一些方法一般是针对一些已知的、稳定的最小相位系统而言的。在实际的工业控制中被控对象的数学模型通常都是未知的，或者只能得到关于被控对象有限的信息。针对这种未知系统的分数阶PID鲁棒控制器设计问题，还鲜有人讨论。本章将对此类系统的分数阶PID控制器整定问题进行研究，得到一套系统性的整定方法。本章的主要创新点是：对未知的、稳定的最小相位系统，提出一种具有iso-damping特性的FOPI、FO[PI]、FOPD、FO[PD]四种控制器的自整定算法。这里所谓的iso-damping特性即等阻尼特性，指的是系统在开环增益变化时超调不受其影响的特点。由于在设计过程中需要得到关于未知对象的几个信息，文中就如何得到这几个信息，给出了系统性的实验方法。仿真的结果证明了所提出的方法在分数阶PID控制器参数自整定时的正确性。4.2控制器自整定算法研究由于研究控制器自整定算法的目的，是为得到一个使得系统稳定，且具有鲁棒性的控制器，那么为通过计算的方法得到一个具有三参数的分数阶控制器，需要设计三个参数整定方程以得到控制器参数值。下面将就此问题展开详细论述。在研究系统整定方法前，首先假设经过几次实验能够得到系统在期望的正切频率点的增益和相位。本章所涉及的FOPI、FO[PI]、FOPD、FO[PD]控制器分别具有如下的传递函数形式：(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)106\n博士学位论文假设系统开环穿越频率是，在频率处的相位是。系统开环增益传递函数为：(4.5)其中是未知的被控对象。4.2.1整定方程设计控制器设计的基本原理是，在向量图中当系统的灵敏度圆（sensitivitycircle）与系统Nyquist曲线在点处相切时，映射到Bode图上表现为系统相位曲线在处保持平直。这一特点保证了系统将对增益的变化更具有鲁棒性。根据这个原理可以设计系统的三个整定方程分别为：(1)为保证控制系统相位特性曲线在处为平直的，可以设计得到方程(4.6)这个方程也等价于：(4.7)(2)在处开环系统的相位可以表示成(4.8)(3)在处系统的开环增益为(4.9)有一点值得注意，前面几章也讨论过类似的整定方程，其中对定义为穿越频率。这一章所指定的不一定就是指开环系统穿越0db线的频率，这里的指的是灵敏度圆与系统Nyquist曲线相切的频率点，因此也不一定就是系统的相位裕度。根据这三个方程，下面将逐一介绍FOPI、FO[PI]、FOPD、FO[PD]这四种控制器的参数自整定方法。4.2.2FOPI控制器自整定算法研究根据FOPI控制器的传递函数，可以得到其频率响应(4.10)由式（4.10）得到控制器的相位和增益为，(4.11)106\n博士学位论文(4.12)假设被控对象的传递函数是，那么他的频率响应可以表示成(4.13)其中和分别是被控对象的增益和相位。开环系统的频率响应为(4.14)以及(4.15)(4.16)那么(4.17)从，可以得到其对角频率的导数表达式(4.18)同时，可以得到被控对象与角频率的关系(4.19)(4.20)(4.21)因此推出开环系统传递函数与角频率关系为(4.22)根据整定方程(4.7)，Nyquist曲线在正切频率处的斜率为(4.23)那么106\n博士学位论文(4.24)其中(4.25)(4.26)从式(4.23)及（4.6），我们可以得到(4.27)其中(4.28)(4.29)其中(4.30)(4.31)(4.32)对于一个稳定的最小相位系统来说，的近似形式为(4.33)其中，，表示为被控对象的统计增益。根据整定方程(4.9)(4.34)那么(4.35)根据整定方程(4.8)(4.36)106\n博士学位论文(4.37)那么，(4.38)(4.39)其中(4.40)如果可以得。那么由(4.29)(4.35)及(4.39)，就可以计算得到及的值。4.2.3FO[PI]控制器自整定算法研究(4.41)(4.42)开环频率响应为(4.43)系统的开环增益可以表示成(4.44)系统开环相位幅度为(4.45)那么(4.46)从，可以得到(4.47)被控对象与角频率的关系为(4.48)将(4.47)和(4.48)带入到(4.46)，就可以得到开环传递函数与角频率的关系106\n博士学位论文(4.49)因此，根据整定方程(4.6)，Nyquist曲线在处的正切频率斜率为(4.50)因此(4.51)其中(4.52)(4.53)从式(4.50)，可以得到(4.54)于是可以进一步推出控制器参数(4.55)根据整定方程(4.9)，有(4.56)那么(4.57)根据整定方程(4.8)，106\n博士学位论文(4.58)(4.59)(4.60)(4.61)其中如果能够得到，那么从式(4.59)(4.60)及(4.61)，就可以计算得到控制器参数及了。4.3FOPD以及FO[PD]控制器自整定问题研究前面已经对分数阶PI控制器的自整定算法进行了分析，并且分析推导了FOPI及FO[PI]控制器参数整定方法。这里为进一步推广运用此方法，将对分数阶PD控制器的自整定方法进行研究。4.3.1FOPD控制器参数自整定方法FOPD控制器传递函数的频域表示方法为(4.62)其幅角和增益可以表示为(4.63)(4.64)同样的，被控对象属于稳定的最小相位系统，被控对象传递函数可以写成(4.65)开环传递函数对频率的导数关系为(4.66)(4.67)(4.68)因此，可以得到106\n博士学位论文(4.69)因为(4.70)其中，(4.71)(4.72)同样令(4.73)(4.74)那么(4.75)(4.76)(4.77)106\n博士学位论文其中，(4.78)从前面的分析中可以知道(4.79)根据开环系统增益，可以得到系统在正切频率点处的增益(4.80)为保证系统的相位裕度，系统相位需要满足(4.81)只要得到被控对象的及，那么对于控制器的参数也就可以通过式（4.77）、（4.80）、（4.81）计算得到了。4.3.2FO[PD]控制器自整定算法研究FO[PD]控制器的频域表达式为(4.82)控制器幅角和模值分别为(4.83)(4.84)同时可以得到控制器对频率求导，可得(4.85)系统开环传递函数对频率求导的关系为(4.86)106\n博士学位论文(4.87)系统幅角关系(4.88)可以推出，(4.89)其中(4.90)(4.91)可以建立方程(4.92)得到系统的解为(4.93)系统增益关系为(4.94)系统相位裕度的关系可以表示为(4.95)(4.96)只要得到被控对象的及，那么对于控制器参数也就可以通过式（4.93）、（4.94）、（4.96）计算得到了。106\n博士学位论文4.4自整定策略在前面介绍了四种控制器的整定算法，但通过计算得到控制器参数前，需要知道被控对象的某些信息，以获得的值。本节将专门针对此问题介绍检测方法。在推导过程中知道通过获得系统相位和增益就能计算得到。对于这两个信息，可以通过一些简单的实验方法就能很快获得。图4.1开关加人工延时（）的反馈控制系统框图在文献[93]中，对继电反馈测试做了一些详细的介绍，这里针对分数阶控制器整定问题，对继电实验作进一步的分析。为得到系统增益和相位，设计了一个测试程序来实现，如图4.1。从图中看到，继电器与一个未知的被控对象形成了一个闭环控制系统。为了根据继电反馈的信息以改变系统响应的频率，在环路上人为地加了一个延时，这个时间延时是一个可调整的以改变频率的“旋钮”。建立这套系统的目的是用来得到被控对象Nyquist图中的某些点的信息。此时，我们的问题是如何选择得到一个合适的值来对应给定的正切频率。为解决这个问题可以用以下介绍的方法[93](1)首先选择两个不同的延时和进行两次反馈测试。那么会得到Nyquist曲线上的两个点。这些点的频率分别是和且与和。由此，迭代的初始值为（，）和（，）。(2)几次迭代实验之后，可以得到第n此迭代的值为对应于的频率为可以在实验中记录下来。(3)比较和，如果两者之间相差很小（这个很小的数可以由实验者自行按具体情况而定），就可以停止迭代了。如果不是回到上一步骤。经过几次自动迭代，最终的频率就会与真实值极其接近，因此最终106\n博士学位论文频率被认为就是。所以被控对象在处的模值及相位能够通过计算求得。利用式(4.79)，就能够得到的近似值。更进一步来说，四种类型的分数阶控制器的参数值就可以通过计算方法获得了。4.5几种受控对象模型的控制方法及仿真在前面讨论的FOPI及FO[PI]控制器设计方法在这里将通过一些仿真例子进行说明，(4.97)(4.98)(4.99)4.5.1高阶模型考虑在(4.55)中模型，参数设定为：及。通过提出的方法，FOPI控制器传递函数形式为同样通过推导FO[PI]控制器的传递函数形式为图4.2对于的FOPI系统Bode图106\n博士学位论文图4.3的FO[PI]系统Bode图从图4.2和图4.3的系统波特图中可以看出在附近的相位曲线是平直的，且相位裕度大约为。对于被控对象，FOPI和FO[PI]控制器的闭环系统阶跃响应曲线示于图4.4和4.5中。在图中，可以看到通过提出的方法设计的FOPI及FO[PI]控制器是有效的。在系统增益变化的时候，阶跃响应的超调量基本上为常数，此即意味着系统对于增益变化具有鲁棒性。图4.4对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应106\n博士学位论文图4.5对于在增益变化及负载扰动下FO[PI]控制器阶跃响应图4.6是FOPI和FO[PI]两个闭环控制系统的阶跃响应比较图。从图4.6，我们能够看到FOPI控制器的阶跃响应大大少于FO[PI]控制器。图4.6对于利用FOPI和FO[PI]控制器的阶跃响应比较图4.5.2带积分的被控对象对于被控对象，设计参数设定为：，。利用提出的整定方法FOPI控制器的传递函数为FO[PI]控制器的传递函数为：106\n博士学位论文图4.7对于的FOPI系统Bode图图4.8对于的FO[PI]系统Bode图图4.7和图4.8为系统的波特图，从图中可以看到相位曲线在附近为平直的。相位裕度大约为。106\n博士学位论文图4.9对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应图4.10对于在增益变化及负载扰动下FO[PI]控制器阶跃响应控制对象的闭环系统阶跃响应示于图4.9和图4.10中。可以从图中看到，通过文章中所提出方法设计的FOPI及FO[PI]控制器是有效的。在增益变化时系统超调不变也说明了此方法对此对象具有鲁棒性。106\n博士学位论文图4.11对于利用FOPI和FO[PI]控制器的阶跃响应比较图在图4.11中为对应的FOPI及FO[PI]控制对象的阶跃响应比较图。从图中我们可以看到，系统的阶跃响应基本是一样的。4.5.3带延时对象对于被控对象，系统设计参数设定为：，。利用提出的方法FOPI控制器的整定参数为FO[PI]控制器传递函数为图4.12对于的FOPI系统Bode图106\n博士学位论文图4.13对的FO[PI]系统Bode图图4.12和4.13分别为他们的波特图。从图中可以看到在处相位曲线是平直的，相位裕度大约为。图4.14对于在增益变化及负载扰动下FOPI控制器阶跃响应106\n博士学位论文图4.15对于在增益变化及负载扰动下FO[PI]控制器阶跃响应对于的FOPI及FO[PI]控制器的闭环系统阶跃响应示于图4.14和图4.15。从图中可以看到利用此方法设计FOPI及FO[PI]控制器能够使得系统稳定，且对增益变化表现出了较强的鲁棒性。图4.16对于利用FOPI和FO[PI]控制器的阶跃响应比较图从图4.16中，通过比较FOPI和FO[PI]的阶跃响应可以看到，FOPI控制系统超调与FO[PI]基本上差不多。从这些仿真结果上可以断定本章提出的自整定方法是满足设计要求的。在仿真中，是利用和的值通过计算得到的，所以是准确的。106\n博士学位论文4.6本章小结本章提出了一种针对于未知、稳定、最小相位系统的分数阶控制器的整定方法。通过设定正切相位、正切频率以及在正切频率处相位平直的三个条件，设计出了控制器整定的三个方程。利用三个方程，在文中分别推导了分数阶PI、[PI]、PD、[PD]四种控制器参数的整定算法。通过三个方程整定的分数阶控制器能够保证系统对增益变化具有鲁棒性。在推导过程中被控对象的模型一直都是未知的，系统相位及增益的信息是可以通过文中介绍的继电反馈实验得到的。为进一步验证设计过程的正确性，通过Matlab/Simulink对系统进行了仿真验证，仿真结果说明了此方法能够使系统稳定，并可让系统具有iso-damping特性。106\n博士学位论文第5章分数阶PID控制器在多电机同步追踪系统中的应用5.1引言精确的同步追踪控制是应用比较广泛的一种控制策略。特别在没有耦合的系统中，需要多个系统的速度或频率保持一致，对系统的控制器设计的要求是相当高的。在这些控制系统中，通常将参考信号与测量位置信号之间的误差定义为追踪误差。这种误差的存在会导致机械性能的下降。为减小这种误差，许多学者提出了一些有价值的方法。之所以这些问题受到重视是因为在工业机械中，多轴或者多系统的同步对于运动控制系统是非常重要的。对于一个理想系统，认为每个轴都能快速跟随参考位置信号的变化，追踪误差通常不会存在。然而，由于系统的非线性特性、环境干扰等因素的影响，追踪误差在实际系统中是普遍存在的。因此，为了达到很好的同步追踪效果，追踪误差需要被有效地控制。一些学者开发出了一些新的控制算法以提高追踪的准确性[102-104]。传统的PID反馈控制系统对减少误差也有较有效的办法，Tomizuka利用零相位误差跟踪控制（ZPETC）系统进行追踪控制在减少追踪误差方面做出了杰出的贡献[105]。然而这些都要求准确的系统模型和精确地模型参数。在实际应用中，干扰和摩擦都将导致参数的变化，所以控制性能会下降。交叉耦合控制结构虽然对减小误差的作用比较大[106、107]，但是结构上比较复杂，特别是很多时候系统交叉耦合会导致系统的稳定性变差。另外随着工业网络的发展，让远距离的系统可以实现通讯，并让多系统控制成为可能。然而网络控制在网络数据传输时，不可避免的会出现时间延时。时间延迟问题也成为了控制界的一个难题，通常情况下会导致系统控制性能下降[108]，更有甚者会导致系统的不稳定。之前有许多学者提出了一些方法来补偿延时。其中Smith预测控制器就是一种应用比较广泛的方法，它能够有效的减少系统延时并稳定系统。在文献[109,110]106\n博士学位论文中，传输扰动观测器（CBOD）被提出。利用这种方法时间延时可以不进行精确检测，因此它可以更为灵活的应用于许多延时系统中。然而延时带来的影响仍然存在于系统传递函数的分子之中，这将导致系统性能的下降。依据此，本章提出了一种新结构使得延时归一化，让系统延时不会对同步性造成影响。分数阶控制器的阶的灵活性可以使得系统的增益和相位得到有效的调整。在多轴控制系统中，这个特点使得系统在保证稳定性同时还能保持系统的鲁棒性。这一章提出了一种利用分数阶控制器实现两组控制系统同步的方法。我们提出了一种新的结构使得两个控制器实现同步，无论时间常数是常数，还是变化的。我们利用分数阶控制器改进同步性能以及追踪性能。当延时值范围增加时，我们提出了一种简化了的计算过程，使得调整参数不需要增加过多的计算量。仿真结果证明了这个方法可以改进系统性能并有效减少同步误差。5.2系统分析5.2.1多轴控制系统结构图5.1多轴控制系统结构图图5.1描述了多轴控制系统的结构图，其中，为被控对象。他们是位置伺服控制系统，其传递函数为(5.1)(5.2)式中分别为，的延时。106\n博士学位论文要使两个系统实现同步功能，需要使得两轴的能够尽可能快的与参考量保持一致。之前，有许多学者提出了一些控制算法来减少追踪误差[111-114]，其中包括Tomizuka介绍的零相位误差追踪控制（ZEPTC），这种算法能有效的减少追踪误差。但是对模型的准确性依赖很大。在网络化运动控制系统中，因为存在延时环节，所以常常难以对模型准确辨识。同时延时的存在也影响着追踪的性能，或有可能导致系统不稳定。因此，为了得到优良的追踪性能，延时环节必须被认真对待。为达到很好的同步性能，不仅延时对系统的影响需要被考虑，而且系统性能同时还要能够保证。5.2.2带延时系统的同步性设计根据图5.1，每个轴的闭环传递函数为(5.3)那么传递函数的整定方程可以得到(5.4)从上式可以看到延时会出现在闭环系统整定方程中，那么如果延时得不到很好的补偿那么将影响系统的稳定。5.2.3延时补偿为了使延时不影响系统的稳定性，一种广泛应用的方法便是Smith预测控制器。图5.2Smith延时预测结构在图5.2中，Smith预测控制器被用于系统之中。由此，传递函数和系统整定方程是(5.5)(5.6)整定106\n博士学位论文方程中延时环节已经消去，即意味着系统的稳定性与延时无关了。这种方法的确有效也简便，但是延时的大小需要被精确检测。实际应用中，延时部分往往是很难被精确检测的。在文章[90]中，一种延时控制系统的经典结构被提出。这种方法被称作信号扰动观测器，它能够在不需要知道延时大小的情况消除延时对系统的影响。此结构示于图5.3。图5.3信号扰动观测器结构根据图5.3，时间延时被有效地补偿，且系统传递函数与(5.5)相同。5.2.4时间延时的同步对于不同的网络系统，延迟时间是不同的，即与不同。如果延时环节是一样的，系统同步将不会被延时部分所影响。但是这只是一种假设的情况，实际中延时部分往往是不同的。这里我们提出了一种对于系统延时新的结构，如图5.4。图5.4提出的处理延时结构首先，我们假设小于。为了使得系统同步，我们在每个轴上增加了一些延时，使得系统的延时达到。在每个轴上，新结构的传递函数为(5.7)106\n博士学位论文是常数，可以被事先设定。但是设定过大的延时将导致系统性能的下降，后面会将这一问题进行讨论，同时将给出在不同情况下在线调整控器参数的方法。5.3控制器设计方法在每个控制支路，控制目标是追踪参考量，并实现同步。根据在5.2中讨论的每条支路的传递函数如式(5.7)。假设与相等，那么将与相等。两个运动控制系统的传递函数将是一样的。为了稳定系统并改进追踪性能，将还需要设计一个控制器来改进追踪性能。图5.5改进后的系统结构图图5.5为系统结构图。在图中为内部闭环控制器，他们被用来实现系统参数的统一。是外部你控制器用来改善系统性能并稳定系统。同时，还需要实现系统控制的鲁棒性。5.3.1内环控制器设计基于前面的分析，内环106\n博士学位论文控制器设计目标就是使得各支路系统实现一致。根据结构，选择了一个PI控制器，那么的传递函数为：(5.8)(5.9)为使得与相等，他们的传递函数分别为(5.10)(5.11)如果等于，等于，那么方程(5.10),(5.11)，将变为(5.12)(5.13)当等于，将等于。那么，每个轴的传递函数将一样。因此传递函数将统一为(5.14)5.3.2外环控制器设计方法106\n博士学位论文为了保证追踪性能并使得系统稳定，有几个问题需要考虑：控制器需要使得系统对参考信号的追踪既迅速又准确；控制器应该使得系统稳定；控制器的整定需要方便灵活。这些要求对传统的PID控制器来说是很难实现的。因此，可以将注意力集中到分数阶PID控制器以解决上述问题。有很多文章将分数阶PID控制器作为研究对象，说明了分数阶PID控制器的优点，以及应用领域[114-118]。在整定控制器参数时，可以选用式（2.3）（2.4）（2.5）的整定方程，因为前面分析过，利用此办法整定的分数阶PID控制器对于系统增益有较强的鲁棒性。比较几种分数阶PID控制器结构，可以发现，FO[PD]控制器在响应速度方面以及调整时间方面优于其他几种分数阶控制器，因此这里选用FO[PD]控制器作为系统的控制器研究对象。根据式（2.3）和式（2.5）有(5.15)(5.16)其中。如果存在A同时满足上两式，即方程组存在解的话，我们有(5.17)(5.18)那么可以合并得到：(5.19)的解可以被和来表示。如果已经给定，那么为(5.20)其中。由此可以推出FO[PD]控制器的阶由来决定。和106\n博士学位论文的关系可见图5.6。同时，由于是关于的函数，那么也是的函数。如果是一个定值常数，那么中和也将是唯一的。图5.6和的关系如果T可以被调整使得总是常数，那么不论L的值如何改变，我们总可以很快的得到满足鲁棒性要求的分数阶PID控制器。这个方法使得我们可以实现在线的控制器参数调整并很大程度上减少整定时间。基于这个原因，控制器应该选择PI控制器。同时能够通过下式算出(5.21)这里，我们用一个实际算例进行说明。我们选择的被控对象的传递函数形式如式(5.19)，将系统参数设定为：通过计算，可以得到，同时因为(5.22)计算结果为1.1683。根据式（5.21），得到106\n博士学位论文。所以，此系统FO[PD]传递函数是开环系统的Bode图于图5.7中。从图中可以看到系统的相位曲线在穿越频率处是平直的，即意味着系统对开环增益具有鲁棒性，也证明提出的快速整定方法满足设计要求。图5.7FO[PD]开环系统Bode图5.3.3控制器参数整定流程如前所述，如果为常数，那么控制器的主要部分已经被参数决定了。在外部控制器中，我们已经知道是T，它能够通过调整外部PI控制器来实现。对于不同的的值，我们只需要做以下的工作：1）调整外环控制器的值使得为系统可整定范围内的常数；2）调整，让和分别等于；3）调整分数阶[PD]控制器的增益。5.4系统仿真为说明控制器设计方法的有效性，通过106\n博士学位论文利用Matlab/Simulink进行系统仿真。这里选取了两个位置控制系统，他们的传递函数分别为(5.23)(5.24)因此，根据研究的方法设计的内环PI控制器的传递函数为由于应该比被控对象的两个延时量都要大，那么我们设定。那么对于外部控制器而言，被控对象为为了与整数阶PID作比较，我们通过用同样的方法整定了一组整数阶PID控制器，控制器参数如下：从图5.8中可以观察到FO[PD]和IOPID控制系统的阶跃响应。图5.8FO[PD]和IOPID控制系统阶跃响应比较106\n博士学位论文图5.9FO[PD]与IOPID系统同步误差图5.9为FO[PD]与IOPID系统同步性能误差比较。从图5.9的结果可以观察到FO[PD]的同步误差远远小于IOPID，也即FO[PD]控制系统的同步性能好过IOPID控制系统。为了进一步说明这一点，通过让双轴画圆的方式来观察同步误差以及追踪性能。在图5.10中，观察画圆的效果图，发现在这个具有不对称延时的系统中，用此种设计方法画圆的效果好。由此，说明了通过延时补偿，可以实现较好的同步性。图5.10FO[PD]控制系统画圆效果为了验证我们提出的快速整定方法的正确性，我们将系统延时增加到一个新的。通过重复5.4.3106\n博士学位论文的流程将PI控制器参数调整到相应的值那么和的值不变。得到的FO[PD]控制器的传递函数为图5.11延时为系统Bode图系统Bode图示于图5.11中。同步误差及双轴画圆示分别示于图5.12和图5.13。仿真结果检验了本文提出的FO[PD]控制器快速整定方法的正确性。图5.12系统同步误差106\n博士学位论文图5.13FO[PD]系统画圆5.5本章小结本章分析了多轴控制系统的结构特点。由于时间延时不可避免的存在于网络化系统中，我们提出了一种新的结构使得控制系统同步。当延迟时间增加时，我们提出了一种分数阶控制器快速整定方法。通过计算和仿真验证了提出的设计方法的有效性，并能有效地减少计算时间。最后，我们通过仿真比较验证了提出的结构的正确性以及系统同步效果。106\n博士学位论文第6章基于LabVIEW的分数阶控制系统实验平台6.1引言前面几章对分数阶控制器的整定问题作了较为详细的介绍，通过仿真对参数整定算法进行了验证。分数阶微积分的验证手段较之传统控制器来说，至今为止还是相当缺乏的。一些学者对分数阶微积分控制器的研究仍然停留在理论分析和仿真研究的基础上。为验证分数阶微积分在实时控制方面的实际效果以及推动分数阶控制器在实时控制方面的应用，搭建一个分数阶控制系统实验平台对研究分数阶控制器是很有意义的。传统的控制实验平台通常是基于一些固定的硬件设备，一般情况下缺乏通用性和灵活性，因此实验平台的建设需要花费大量的人力物力。随着计算机技术的发展，一种基于LabVIEW（LaboratoryVirtualInstrumentationEngineeringWorkbench）软件的硬件平台引起了很多学者的注意。在Labview中能创建许多虚拟的仪器设备，因此利用Labview搭建实验平台，可大大降低费用，提高硬件系统的灵活性[119-121]。本章实验将一台小型电机作为被控对象，利用了LabVIEW提供的部分虚拟设备实现了一种半实物的实验环境。在实验平台上进行了整数阶PID、FO-PD及FO[PD]三种控制器的实验研究。实验的结果验证了前面提出的参数鲁棒性算法的正确性，并证明了FOPD及FO[PD]优于整数阶PID控制器这一结论。6.2实验系统介绍LabVIEW是基于NI（NationalInstruments）公司开发的图形编程语言建立的一种平台和开发环境。它属于虚拟仪器的一种，即一种基于计算机的仪器。由于利用LabVIEW可以在计算机中构建开发者要求的虚拟仪器，现在成为了工程界、学术界等领域都较为认可的软件之一。Labview使用的语言是一种图形化编程语言，它不同于传统的代码编程的计算机语言，这种语言大量的是用直观的图形作为程序的组成部分。这种图形语言又被称为“G”语言，它利用图标代替了一行行的程序代码。LabVIEW应用程序由前面板（frontpanel）、流程图（blockdiagram）以及图标/连结器(icon/connector)三部分组成。前面板是图形用户界面，也就是VI的虚拟仪器面板，106\n博士学位论文在其平台上设计的结果类似于设计实际仪器的操作面板，这一界面上有用户输入和显示输出两类对象，具体表现有开关、旋钮、图形以及其他控制（control）和显示对象（indicator）。流程图提供VI的图形化源程序，类似于实际仪器的后台结构设计平台，在流程图中对VI编程，以控制和操纵定义在前面板上的输入和输出功能。流程图中包括前面板上的控件的连线端子，还有一些前面板上没有，但编程必须有的东西，例如函数、结构和连线等。图标/连接器VI具有层次化和结构化的特征。一个VI可以作为子程序，这里称为子VI（subVI），被其他VI调用。图标与连接器在这里相当于图形化的参数。LabVIEW终端板：此终端板由NI公司开发，将其插入计算机PCI插槽中以进行数据收集和转换简称DAQ板（dataacquisition）。图6.1Labview硬件系统结构图Labview系统跟很多外围设备兼容，并且在软件系统中为很多设备提供了专门的接口设计，Quancer系统就是其中之一。在Labview中加载了Quancer软件之后，可以在Labview软件系统中直接找到Quancer系统的程序图标。这些图标中包括了系统模拟/数字的输入/输出的一些接口驱动程序，为编程者提供了很多程序设计上的便利。本次实验用的外围Quancer设备由QuancerE系列I/O终端板，电源模块以及QuancerSRV02-ET电机组成。其中，I/O终端板有8个模拟信号输入口，2个模拟信号输出口，以及2个编码器输入口。我们的功率模块可以提供的直流电源。实验中使用的Quancer电机属于直流电机，内置位置和速度传感器，可提供位置和速度的反馈信号。106\n博士学位论文图6.2实验系统实物图6.3系统设计实验平台中选用的电机是Quancer公司推出的实验电机，其型号为QuancerSRV-02-ET直流电机。为了更好的得到被控对象的传递函数，经过简单地系统辨识得到了电机速度伺服系统的数学模型：本实验的主要目的是验证前面所阐述方法的正确性，并将分数阶控制器与传统的PID控制器进行比较，根据前面介绍的方法，分别整定了三种控制器的参数。首先介绍传统的PID控制器实验。令和分别设定为10(rads/s)以及。根据讨论的方法，我们可以得到PID参数为：。其传递函数可以表示为在图6.3中，通过G语言编程，在Labview中实现了整数阶PID的控制算法。106\n博士学位论文图6.3IO-PID的VI程序在图中，有两个控制图程序，上面的框图实现了控制器算法，完成的功能是：（1）将反馈信号与设定点的信号作比较；（2）计算并得到控制信号；（3）输出控制信号驱动电机；（4）从终端板读取反馈信号。控制系统的程序是一个循环体，在控制程序实现框图下面是一个循环体控制程序，循环程序的结构可以在LabVIEW提供的多个循环体结构中选择。这里，我们是运用“while”条件框来实现的。跟传统条件语句相同，“while”条件语句完成的功能是在系统满足设定条件之前一直循环执行命令。在下面的循环体控制程序中，我们不仅能设定系统循环程序停止的条件，而且能实现系统工作的采样频率以及完成前端板显示器的设计。图6.4IO-PID基于Labview的前端显示板106\n博士学位论文图6.4为前端板的显示界面。在我们的设计中，需要一个虚拟示波器以观察波形，同时可以通过前端板按钮来直接调整控制器参数。因此，前端板是一个由G语言编写的人机交互的虚拟仪器设备。从图6.4中可以读得整数阶PID控制的相关数据（其反应延时为，调整时间为，超调为）。6.4几种控制器的实验验证6.4.1FO-PD控制器实现基于比较的公平性，系统参数我们作同样的设定。通过计算得到控制器参数为：，，。我们通过用高阶函数近似分数阶PD传递函数在Labview中实现。这里我们通过脉冲响应不变离散（IRID）方法来得到分数阶控制器传递函数，事实上，IRID方法关键是近似计算的离散时间有限维z传递函数。当，是分数阶差分器，当，为分数阶积分器。因此，FO-PD控制器的离散传递函数为（采样时间是0.001s）图6.5FO-PD控制器VI程序图6.5为分数阶FOPD控制系统的LabviewVI程序。图6.6106\n博士学位论文为分数阶FOPD控制器的前端板，性能指标也可以从中读到，。图6.6FOPD基于Labview的前端显示板6.4.2FO-[PD]控制器实现在文献[79][80]中，介绍了通过用离散时间有限维去逼近连续时间分数阶低通滤波器。其传递函数形式为其中。由此可以得到FO-[PD]的离散时间传递函数（令）：离散化以后的传递函数，可以在Labview中表示出来。前台板的结构跟FO-PD是一样的（如图6.5），只是其中传递函数为FO-[PD]高阶离散函数。图6.7是FO-[PD]的前端显示板，反映了FO-[PD]控制器的控制性能：系统延时为，调整时间为，超调为。106\n博士学位论文图6.7FO[PD]基于Labview的前端显示板6.4.3性能比较研究前面我们介绍了分数阶控制器在Labview中实现的方法，并分别给出了几个控制系统的后台程序及前台显示板，为了更好的比较三者性能将三种控制器的阶跃响应曲线提取出来，加以比较。在图6.7中，对这三种控制器的控制性能作了比较。可以得出以下结论：图6.8三种控制器性能比较（1）单位阶跃响应下IOPID的调整时间最长，FO-PD的调整时间次之，而FO[PD]的调整时间最短；（2）IOPID与FO-PD的阶跃响应存在超调，而FO[PD]的阶跃响应没有超调；（3）106\n博士学位论文我们可以在图上明显看到分数阶FO[PD]控制器的控制性能在三种控制器中性能最佳。由于整定参数的目的是为了使得系统在稳定的前提下同时满足系统的鲁棒性能，为了验证鲁棒性，将系统的直流增益作了一些改变。图6.9整数阶PID控制器系统增益改变时鲁棒性验证在图6.8中，对整数阶PID系统的直流增益改变了。可以看到系统的超调只变化了１％。我们同样对分数阶PD控制系统和分数阶［PD］控制系统的直流增益作了相应的改变，在图6.9，6.10中可以看到，系统的超调基本没有变化。根据比较的结果，验证了提出的方法对系统增益的变化具有鲁棒性。图6.10分数阶PD控制器系统增益改变时鲁棒性验证图6.11分数阶[PD]控制器系统增益改变时鲁棒性验证6.5本章小结106\n博士学位论文第一次通过Labview结合硬件设备对分数阶控制器进行了研究，试验的结果证明了所提出方法的正确性。同时，也验证了在同样的控制算法下，分数阶PD和[PD]的性能优于传统的整数阶PID控制器。106\n博士学位论文结论与展望本文的研究工作主要是对分数阶PID鲁棒控制器参数整定问题提出了一套完整的方法。通过频域分析手段，对分数阶PID控制器整定问题进行了深入的分析和研究，得出了一种系统性的整定方法。通过对FOPI、FO[PI]、FOPD、FO[PD]四种控制器的自整定算法进行推导，得到了一些有用的结论。本文的研究结果对分数阶微积分知识在控制方面的发展有一定的参考价值，并且对分数阶PID控制器在电气工程中的应用具有一定的推动作用，本文主要的创新成果有：本文详细分析了分数阶PID控制器对系统增益鲁棒性的问题，推导了四种类型的分数阶控制器（FOPI、FO[PI]、FOPD、FO[PD]）对系统增益鲁棒性的整定算法。由于计算过程中的某些非线性环节可能导致无法得到方程的解，我们将电机速度伺服系统作为对象，系统地分析了FOPD控制器及FO[PD]控制器解存在的范围，根据此结论让系统在选择合适的相位裕度，穿越频率等参数时提供了指导性的意见。由于某些系统对时间常数比较敏感，或系统时间常数容易受外界扰动，本文研究了时间常数对穿越频率和系统增益的影响，并首次提出了对时间常数鲁棒性的分数阶控制器整定方法。此种方法不仅可以满足系统对时间常数的鲁棒性，还能满足系统相位裕度和穿越频率的要求。为了完善此方法，对解的存在性问题进行了深入的分析，通过三种情况的分析，大大简化了控制器设计者们选定系统参数的问题。针对分数阶控制器计算复杂的问题，本文提出了一种在线整定算法，这样大大减少了控制器设计时的计算过程，为方便分数阶控制器实现工业应用提供了理论依据。基于未知稳定的最小相位系统，本文首次提出了一种分数阶控制器的自整定方法。此方法为保证系统的鲁棒性，同样基于系统相位平直特性。通过实验验证，此方法不仅能保证系统的稳定，还能保证系统的鲁棒性。这种方法的提出，对于分数阶PID控制器应用于某些未知特性系统提供了理论基础，并且为分数阶控制器的进一步推广起到了积极效果。106\n博士学位论文根据分数阶控制器的特点，本文对系统的同步追踪问题进行了探索研究。为实现两个具有不同固定延时系统的同步性，本文提出了一种统一延时的结构。系统的追踪性能由外环分数阶控制器来保证。为了简化系统的计算过程，而实现控制器算法的实际应用，我们分析发现了一种调整控制器参数的办法。通过仿真研究发现，此方法能很大程度上减少系统误差，并且对系统增益也有很强的鲁棒性。也验证了此方法在追踪控制方面的适用性。为开展分数阶PID控制器实用性研究，以及进一步验证分数阶算法的正确性，本文首次利用LabVIEW系统和Quanser实验仪器平台对分数阶控制系统进行了实验研究。通过一系列的电机实验，以及与传统PID控制器的实验比较研究，我们得到了在相同计算方法和相同实验条件下，分数阶控制器优于整数阶控制器的结论。同时我们将系统的增益改变对系统的鲁棒性进行验证。实验结果表明，系统增益改变后，系统的阶跃响应的超调量基本没有收到影响，证明了此分数阶鲁棒性整定方法的正确性。本文提出的分数阶控制器的整定方法为分数阶PID控制器的应用提供了很好的理论基础，与现有的分数阶PID控制器整定方法相比，具有简单、实用、准确等优点。利用分数阶PID控制器对系统增益鲁棒性和时间常数鲁棒性的问题分别进行了分析研究，系统性地提出了针对电机位置及速度伺服系统分数阶PID参数整定计算方法。本文的研究结论，对推广此方法奠定了良好的理论基础。由于受到实验条件，研究时间的限制，本文的研究工作还存在一些不足之处。研究工作的下一步将会对文中提出的整定算法应用到实际的电机控制系统中。基于文中对电机控制实验得到的较好的动态性能，为下一步工作奠定了良好的基础。同时，根据分数阶控制器的结构特点，我们将进一步探索分数阶控制器在变延时情况下的参数整定算法，期待能够建立控制器参数与最大延时之间的关系。106\n博士学位论文参考文献[1]K.B.OldhamandJ.Spanier.TheFractionalCalculus.NewYorkandLondon:AcademicPress,1974.[2]R.L.Magin.Fractionalcalculusinbioengineering.CriticalReviewsTMinBiomedicalEngineering,2004,32:1-4.[3]S.YamamotoandI.Hashimoto.Recentstatusandfutureneeds:TheviewfromJapaneseindustry.In:Proc.ofthe4thInt.Conf.ChemicalProcessControl,ChemicalProcessControl-CPCIV,1991.[4]B.Mandelbrot.Somenoiseswith1/fspectrum,abridgebetweendirectcurrentandwhitenoise.IEEETrans.Inform.Theory,13(1967):289-298．[5]M.Ichise,Y.NagayanagiandT.Kojima,Ananalogsimulationofnonintegerordertransferfunctionsforanalysisofelectrodeprocesses，J.Eleetroanal.Chem.33(1971):253-265.[6]H.H.Sun,B.OnaralandY.Tsao.Applicationofthepositiverealityprincipletometalelectrodelinearpolarizationphenomena.IEEETrans.Biomed.Eng.,31(1984):664-674.[7]O.Heaviside.ElectromagneticTheory,Chelsea,NewYork,1971.[8]S.Samko,A.KilbasandO.Marichev.FractionalIntegralsandDerivativesandSomeofTheirApplications.Russian:ScienceandTechnica,Miusk,1987.[9]李岩，分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中的应用：[山东大学博士学位论文].山东：山东大学，2008,9[10]IgorPodlubny.FractionalDifferentialEquations.Academicpress,1999.[11]AxtellandM,BiseME.Fractionalcalculusapplicationsincontrolsystems.In:ProceedingsoftheIEEENat.AerospaceandElectronicsConference.NewYork,USA,1990,563-566.[12]MaC,HoriY.Fractional-OrderControl:TheoryandApplicationsinMotionControl[PastandPresent].IEEEIndustrialElectronicsMagazine,2007,1(4):6-16.[13]ChenYQ,MooreKL.Analyticalstabilityboundforaclassofdelayedfractional-orderdynamicsystemsNonlinearDynamics.2002,106\n博士学位论文29:191-200.[14]XueD,ChenY.FractionalorderCalculusandItsApplicationsinMechatronicSystemControlsOrganizers.In:Proceedingsofthe2006IEEEInternationalConferenceonMechatronicsandAutomation.2006.[15]MonjeCA,VinagreBM,FeliuV,etal.Tuningandauto-tuningoffractionalordercontrollersforindustryapplications.In:IFAC:ControlEngineeringPractice.2008,16(7):798-812.[16]MonjeC.A.,VinagreB.M.,ChenY.Q.,etal.Proposalsforfractional-tuning.In:ProceedingsofthefirstIFACSymposiumonFractionalDif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