本节开始要将粘滞效应放入流体运动的微分分析我们要回... 3页

6.8本節開始要將粘滯效應放入流體運動的微分分析。我們要回到流體運動通用方程式，審視這些式子，以及連續方程式，我們發現還需要有表面正向應力(及切應力)與速度的關係，才算完整。對不可壓縮的牛頓流體，有下面的定律關係，，，，，（另外也有圓柱座標下的寫法，在此省略）注意如將正向應力相加，可得，是三個方向正向應力的平均。將這些關係代入運動方程式，我們就有納維爾-斯托克方程式(Navier-Stokes)。這個方程式是描述不可壓縮牛頓流體運動的基本微分方程式（是統制微分方程式，governingdifferentialequations）。三個方向各為，他們是非線性，二階的偏微分方程式，加上連續方程式，一共有四個未知(u,v,w,及p)，四個方程式。加上適當的邊界條件便可。6.9利用前節的結果，討論一些簡單的解析解(analyticalsolutions)。第一個是在兩個無限大固定平行板之間（相隔2h）的穩態單向水平層流流動，流動方向只在x方向，v=w=0，重力在負y方向。從這些條件，我們將連續方程式及三個動量方程式簡化，所有對時間的微分都為零，連續方程式也告訴我們u的x微分也為零。\n，，所以，z方向的壓力為常數，y方向是流體靜壓(與高度有關)，u只是y的函數，第一式成為，不是y的函數，上式積分兩次，利用，u=0的邊界條件，得到這是一個拋物線的速度分布。有了速度分布，我們便能求體積流率，便能求平均速度，以及最大速度值。在中心有最大速度，最大速度值是平均速度的1.5倍。前面的兩個平行板，現在假設上面的平板有向右移動的固定速度U，稱為庫頁流動(Couetteflow)。我們仍有相同的微分方程式，但是邊界條件不同。y自下面平板算起，y=0處，u=0。在上面平版，y=b，u=U，假如壓力在x的方向等於零，此時流體只是被移動的上平板拖著運動。速度分布只剩下簡單的直線分布。這種情形可以應用在軸頸軸承的細縫中的潤滑問題。另外在圓形管的幾何形狀中，我們也有一些解析解。看穩定狀態、不可壓縮、層流、固定截面積、直線水平圓形管的流動。這種流動稱為哈根-普瓦休(Hagen-Poiseuille)流動。管內半徑為R，用圓柱座標表示，z是流動方向。r及q方向的速度皆為零，連續方程式告訴我們z方向的速度只跟r有關，。z方向的運動方程式，r及q方向的運動方程式只告訴我們z方向的壓力梯度為常數，與r及q無關。利用如下邊界條件，在管中心r=0處，vz是有限的；在管壁上r=R，vz為零。再一次速度分布是拋物線函數。根據速度分布便可以求體積流率，最大速度與平均速度。令L長的圓管，壓力降是Dp，我們有體積流率，最大速度是平均速度的兩倍，速度分布改寫成，將上面的結果延伸到環狀圓形管流動，利用不同的邊界條件，內壁r=ri，外壁r=ro，vz皆為零。可得速度分布，\n