遵义专版2018年中考总复习第三编专训4：第3节运动型问题试题含考点分类汇编详解 6页

第三节　运动型问题近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．,中考重难点突破)　动点类【例1】(梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts(0≤t≤5)，连接MN.www-2-1-cnjy-com(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【解析】(1)由已知条件得出AB＝10，BC＝5.由题意知：BM＝2t，CN＝t，BN＝5－t，由BM＝BN得2t＝5－t，解方程即可；(2)分两种情况：当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD＝t，四边形ACNM的面积y＝△ABC的面积－△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【来源：21cnj*y.co*m】【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴AB＝10，BC＝5，BN＝5－t，由BM＝BN得2t＝5－t，解得t＝＝10－15；(2)①当△MBN∽△ABC时，∴＝，即＝，解得t＝；②当△NBM∽△ABC时，∴＝，即＝，解得t＝.∴当t＝或s时，△MBN与△ABC相似；(3)过M作MD⊥BC于点D.∵∠MBD＝∠ABC，∠BDM＝∠BCA＝90°，∴△BMD∽△BAC，\n∴＝，∴＝，∴MD＝t.设四边形ACNM的面积为y.∴y＝S△ABC－S△BMN＝AC·BC－BN·MD＝×5×5－(5－t)·t＝t2－t＋＝＋.∴根据二次函数的性质可知，当t＝时，y的值最小．此时，y最小＝.1．(2016遵义升学三模)如图，P，Q分别是等边△ABC的AB和AC边延长线上的两动点，点P由B向A匀速移动，同时点Q以相同的速度由C向AC延长线方向移动，连接PQ交BC边于点D，M为AC中点，连接PM，已知AB＝6.21教育网(1)若点P，Q的速度均为每秒1个单位，设点P运动时间为x，△APM的面积为y，试求出y关于x的函数关系式；21·cn·jy·com(2)当时间x为何值时，△APM为直角三角形？(3)当时间x为何值时，△PQM面积最大？并求此时y的值．解：(1)∵y＝×(6－x)×，∴y＝－x＋；(2)在Rt△APM中，当PM⊥AC时，则x＝0，当PM⊥AB时，∠AMP＝30°，AP＝AM＝，∴x＝6－＝；(3)S△PQM＝·(3＋x)·(6－x)，＝－(x＋3)(x－6)，当x＝＝时，△PQM的面积最大，此时y＝.2．(汇川升学一模)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y轴相交于点C(0，－4)．www.21-cn-jy.com(1)求该二次函数的解析式；(2)若点P，Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．2·1·c·n·j·y①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由；21·世纪*教育网\n②当P，Q运动到ts时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标．　　,备用图)解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－4)，∴解得∴y＝x2－x－4；(2)①存在．如答图，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，4)，O(0，0)，∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5.∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB＝4，∴AQ＝4.∵QD∥OC，∴＝＝，∴＝＝，∴QD＝，AD＝.ⅰ作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE＝EQ，即△AEQ为等腰三角形，设AE＝x，则EQ＝x，DE＝AD－AE＝|－x|，∴在Rt△EDQ中，＋＝x2，解得x＝.21世纪教育网版权所有∴OA－AE＝3－＝－，∴E；ⅱ以Q为圆心，AQ长为半径画圆，交x轴于E，此时QE＝QA＝4，∵ED＝AD＝，∴AE＝，∴OA－AE＝3－＝－，∴E；ⅲ当AE＝AQ＝4时，当E在A点左边时，∵OA－AE＝3－4＝－1，∴E(－1，0)．当E点在A点右边时，∵OA＋AE＝3＋4＝7，∴E(7，0)．综上所述，E点坐标为或或(－1，0)或(7，0)；\n②t＝，D点坐标为.　动线类【例2】(青岛中考)已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)(0＜t＜8)．解答下列问题：21cnjy.com(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？(2)设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式．【解析】本题考查相似三角形性质；二次函数的有关性质．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8.在Rt△AOB中，AB＝＝10.∵EF⊥BD，∴EF∥AC，∴△DFQ∽△DCO，∴＝，即＝，∴DF＝t.∵四边形APFD是平行四边形，∴AP＝DF.即10－t＝t，解得t＝，∴当t＝s时，四边形APFD是平行四边形；(2)过点C作CG⊥AB于点G.∵S菱形ABCD＝AB·CG＝AC·BD，即10·CG＝×12×16，∴CG＝，∴S梯形APFD＝(AP＋DF)·CG＝(10－t＋t)·＝t＋48.∵△DFQ∽△DCO，∴＝，即＝，∴QF＝t.同理，EQ＝t，∴EF＝QF＋EQ＝t，\n∴S△EFD＝EF·QD＝×t×t＝t2，∴y＝S梯形APFD－S△EFD＝－t2＝－t2＋t＋48.【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，以静制动，抓住其中的特殊位置或特殊图形，通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】3．(红花岗中考)如图，已知⊙O的直径AB＝4，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，且∠APC＝∠BAP，设PC的长为x(2＜x＜4)．(1)若直线l过点A，判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当x＝2.5时，在线段AP上是否存在一个点M，使得△AOM与△ABP相似．若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由；21*cnjy*com(3)当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？解：(1)直线l与⊙O相切．理由如下：∵∠APC＝∠BAP∴AB∥CP.∵PC⊥AC，∴BA⊥CA.∵AB为⊙O的直径，∴直线l与⊙O相切；(2)存在．当AM＝或时，△AOM与△ABP相似；(3)过O作OE⊥PD，垂足为E.∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED.又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE＝OA＝2.又∵PC＝x，∴PE＝ED＝PC－CE＝x－2，PD＝2(x－2)，∴CD＝PC－PD＝x－2(x－2)＝4－x，∴PD·CD＝2(x－2)·(4－x)＝－2x2＋12x－16＝－2(x－3)2＋2，∵2＜x＜4，∴当x＝3时，PD·CD的值最大，最大值是2.4．(湖州中考)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，2-1-c-n-j-y交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；【出处：21教育名师】\n(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标．(直接写出结果，不必写解答过程)【版权所有：21教育】解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y＝－x2＋bx＋c得解得∴二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋4，配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点M坐标为(1，5)；(2)设直线AC解析式为y＝kx＋b，把点A(3，1)，点C(0，4)代入，得解得∴直线AC解析式为y＝－x＋4.如图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E，点F，把x＝1代入直线AC解析式y＝－x＋4，解得y＝3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；(3)所有符合题意的点P坐标有4个，分别为P1，P2，P3(3，1)，P4(－3，7)。