毕业论文—势阱中粒子运动状态的研究 19页

黄山学院本科毕业论文本科生毕业论文（设计）题目势阱中粒子运动状态的研究姓名：董贤宝指导教师：马堃院系：信息工程学院专业：物理学提交日期：2010年5月7日18\n黄山学院本科毕业论文目录中文摘要………………………………………………………………………………2外文摘要……………………………………………………………………………3引言…………………………………………………………………………………41．一维无限深势阱…………………………………………………………………42．一维半无限深势阱………………………………………………………………72.1模型1………………………………………………………………………72.2模型2………………………………………………………………………103．一维有限深势阱…………………………………………………………………123.1势阱外……………………………………………………………………133.2势阱内……………………………………………………………………133.2.1偶宇称态……………………………………………………………143.2.2奇宇称态……………………………………………………………144．总结………………………………………………………………………………15参考文献……………………………………………………………………………17致谢…………………………………………………………………………………1818\n黄山学院本科毕业论文势阱中粒子运动状态的研究06物理董贤宝指导教师马堃（黄山学院信息工程学院，黄山，安徽）摘要：本文将对粒子在一维势阱中的行为进行系统的研究。具体地，将针对不同位置的一维有限深、无限深势阱对应薛定谔方程的解法进行探讨，并对以上势阱中的粒子运动行为进行研究，总结出不同势阱对粒子运动行为的影响。得知一维无限深势阱是一维半无限深势阱的特例，而一维半无限深势阱是一维有限深势阱的特例。所以我们只要掌握了一维有限深势阱的情况，那么对于一维半无限深势阱和一维无限深势阱的情况，就很容易了解了。关键词：势阱，波函数，能量18\n黄山学院本科毕业论文PotentialwellinthestateofparticlemotionPhysics06DongxianbaoDirector：MaKun(CollegeofInformationEngineering,HuangshanUniversity,Anhui,China,)Abstract:Thebehavioroftheparticlewhichinone-dimensionalpotentialwellhasbeenstudiedinthispaper.CorrespondstothesolutionoftheSchrodingerequationgavebeengiven.Thentheinfectionofpotentialwelltothebehavioroftheparticlebeensummarizedatlast.Weknowthatonedimensionalinfinitepotentialwellisone-dimensionalsemi-infinitewellofthespecialcaseandone-dimensionalsemi-infiniteone-dimensionalpotentialwellisaspecialcaseoffinitepotentialwell.Oncewehaveonlyalimitedgraspoftheone-dimensionalpotentialwellofthesituation.Thenwecanclearlyunderstandone-dimensionalsemi-infinitewellandtheone-dimensionalinfinitewellcase(Wavefunctionandenergylevelformulas).KeyWords:Potentialwell,Wavefunction,Energy18\n黄山学院本科毕业论文引言量子力学最基本的任务就是求解薛定谔方程，而薛定谔方程的求解的难易主要取决与势函数的形式，目前可以精确求解的薛定谔方程很少，这主要是由于具体问题中的势函数所带来的计算困难。目前，国内外初等量子力学教材中[1-3]，都普遍地将一维无限深势阱模型作为可以精确求解的一个例子。然而，教材中多以单个模型势阱进行了讲解，没有扩展到一般的情况。近年，在教学和科研方面，也有不少学者针对这一问题进行了研究[4-10]，2006年，刘敏等[4]通过作图研究了一维无限深势阱中引入势垒后的能级变化情况，随着双势阱的垒高不断增大，相邻的奇宇称能级与偶宇称能级逐渐接近，当势垒高度趋于无穷大时，二者相等，能级由原来的非简并变成了简并；2007年，梁麦林等[5]对无限深势阱中自旋为0和1/2的相对论粒子进行了研究，分别计算了坐标、动量以及速度算符的矩阵元；同年，徐建良等利用数值计算的方法，研究了一维对称双势阱的透射系数与势阱的深度、两势阱间距以及入射粒子能量之间的变化规律，并分析产生共振透射的条件；2008年，尹建武[6]用数值计算方法求出了一维有限深不对称方势阱中束缚粒子的能级和归一化波函数及其图示，所得结果在势阱深度趋于无穷大时与无限深势阱的结果一致；2009年，李柏林[7]使用Matlab软件求解了一维半无限深势阱问题，得到相应的能级表达式。本文将对粒子在一维势阱中的行为进行系统的研究，具体地将针对不同位置的一维有限深、无限深势阱对应薛定谔方程的解法进行研究，并对以上势阱中的粒子运动行为进行研究，总结出不同势阱对粒子运动行为的影响。从研究结果发现，对于无限深势阱中的粒子是无法越出势阱的，即粒子在势阱外的概率为0。对与半无限深势阱中粒子也只能越出一边。其运动情况具有一定规律性。一一维无限深势阱质量为的粒子在一维无限深势阱(如图1)，其势能函数可以表示为（1）18\n黄山学院本科毕业论文图1一维无限深势阱在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱，即粒子在势阱外的概率为0。因此粒子只能被限制在阱内运动，在势阱内，一维定态薛定谔方程就退化为一个简单的二阶常系数齐次线性常微分方程，即（2）可以方便地得到这个方程的解，（3）其中，，是归一化常数，需要通过边界条件来确定，即（4）所以可得，，再根据归一化条件可得质量为的粒子在一维无限深势阱中的波函数为（5）再根据及可得，质量为的粒子在一维无限深势阱中的能量为18\n黄山学院本科毕业论文，（6）下面我们对这个解进行讨论(1)粒子能量不能取连续值，因此我们可以由，得，从结果可以清楚的看出：能量取分立值(能级)，所以能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。(2)粒子的最小能量不等于零最小能量我们把最小能量也称为基态能或零点能。(3)当很小时，粒子在势阱内出现概率密度分布不满足经典粒子分布规律，当很大时，粒子在势阱内出现概率密度分布满足经典粒子分布规律，下图是我们借助Mathematica软件绘制出的一维无限深势阱中粒子的波函数分布图以及粒子在势阱中出现的概率分布图势阱中波函数分布势阱中粒子概率分布18\n黄山学院本科毕业论文二一维半无限深势阱2.1模型1质量为的粒子在一维半无限深势阱(如图2)，图2一维半无限深势阱其势能函数可以表示为（7）下面我们将分区间讨论在各个区间内的薛定谔方程的解1在时，薛定谔方程为（8）由于在处，所以有（9）两边作变换，得令（10）从而可得方程(9)的通解为18\n黄山学院本科毕业论文在根据边界条件得即则，上式可进一步简化为（11）2在时，于是有（12）作变换得令（13）则（14）由波函数的连续性条件，可知即（15）令，（16）将（16）式代入（15）式得到（17）同时结合（10）、（13）和（16）式得到和满足的超越代数方程组18\n黄山学院本科毕业论文（18）到这里我们知道式（17）与（18）是与满足的超越代数方程组，可用数值计算求解，或用图解法近似的求解。我们这里采用图解法来求解：根据式（15）得到：（19）为了使图解法变得简洁一点我们再次对式（19）进行变形：（20）式中（20）式也是超越方程，画出图如下图所示，图中直线与曲线在的第二和四象限的交点，，，…所对应的，，，…值，按，即可算出相应的能级-一维半无限深势阱模型1能级图解图18\n黄山学院本科毕业论文2.2模型2图3一维半无限深势阱质量为的粒子在一维半无限深势阱(如图3)，其势能函数可以表示为（21）下面我们将分区间讨论在各个区间内的薛定谔方程的解1在时，薛定谔方程为变形该方程得（22）令（23）得到（24）2在时，薛定谔方程为（25）现在令（26）18\n黄山学院本科毕业论文将（26）代入式（25）得到（27）得到（28）由于在时，波函数，则，即所以有所以波函数可写成（29）由波函数的连续性条件，并求导得到（30）解得（31）令，（32）将（32）式代入（31）得（33）同时结合（23）、（26）和（32）式得了和满足的超越代数方程组（34）到这里我们发现模型2情况同模型1是一样的，下面分析也同模型2。由（31）式得：18\n黄山学院本科毕业论文为了使图解法变得简洁一点我们再次对式（31）进行变形：（35）式中，（35）式也是超越方程，画出图如下图所示，图中直线与曲线在的第二和四象限的交点，，，…所对应的，，，…值，按，即可算出相应的能级一维半无限深势阱模型2能级图解图三一维有限深势阱质量为的粒子在一维有限深势阱(如图4)，图4一维有限深势阱其势能函数可以表示为18\n黄山学院本科毕业论文（37）其中为势阱宽度，为势阱高度。下面我们将分区间讨论在各个区间内的薛定谔方程的解3.1在势阱外，即，定态波动方程为（38）令（39）则方程(34)有如下指数形式的解考虑到束缚边界条件处，于是波函数应取如下形式（40）上式中常数A和B待定，当（无限深势阱），即则上式3.2在势阱内，即，薛定谔方程为（41）令（42）则方程(40)有如下形式的解，或但考虑到势阱具有空间的反射不变性，则必有确定的宇称，因此只能取或形式。下面作如下的讨论：18\n黄山学院本科毕业论文3.2.1偶宇称态，（43）则由连续性可有（44）解得（45）显然有（46）令，（47）（48）此外按照（39）、（42）与（47），得到与满足的超越代数方程组有（49）3.2.1奇宇称态，（50）与偶宇称类似，利用的连续条件有（51）可求得（52）同理令，（53）代入上（52）式有（54）18\n黄山学院本科毕业论文将（54）联立（49），可确定参数和，从而确定能量本征值。在一维有限深势阱下，无论的值多小，方程（48）和（49）至少有一个根，换言之至少存在一个束缚态（基态），其宇称为偶，当增大，使时，（55）则将出现偶宇称第一激发态。当继续增大，还将一次出现更高的激发能级。但奇宇称与上述情况不一样。只当（56）即（57）只在上述情况下才可能出现最低的奇宇称能级。四总结以上对一维无限深势阱、一维半无限深势阱和一维有限深势阱中粒子运动状态进行了简单的探讨。得到如下结论：1、在无限深势阱中，粒子被“束缚”在势阱内，无法越出势阱，即势阱外波函数为零。粒子在一维无限深势阱中的能量为，并且能量是分立取的；2、在一维半无限深势阱中，我们分了模型1和模型2来分析的。通过分析可知我们所采用的模型1和模型2其量子行为是相同的。3、从一维半无限深势阱能级图解图中，我们发现：当，即时，一维半无限深势阱就会变成一维无限深势阱，且，，，…分别与，，，…重合，从而可得到更加一般性的结论，即与重合，相应的，，，由于在结论2中势阱宽度为，将换成18\n黄山学院本科毕业论文。即一维无限深势阱的势阱宽度相同。则能级公式变为，。从而可以看出，一维半无限深势阱便自然过渡到一维无限深势阱能级公式。说明一维无限深势阱是一维半无限深势阱在两边势壁无限高无限高，阱宽相同的特例。4、一维有限深势阱的波函数：4.1在势阱外一维有限深势阱两边势阱高度都为，式中常数A和B待定，当一边，即则上式有一个。4.2在势阱内或5、一维半无限深势阱的波函数：5.1在势阱外模型1：模型2：5.2在势阱内模型1和模型2：从以上分析可知，一维半无限深势阱只是一维有限深势阱的特例；上面我们总结了一维无限深势阱势是一维半无限深势阱的特例。所以我们只要掌握了一维有限深势阱的情况。那么对于一维半无限深势阱和一维无限深势阱的情况（波函数和能级公式），就很容易了。18\n黄山学院本科毕业论文参考文献[1]曾谨言.量子力学导论(第二版)[M].北京:北京大学出版社,1998,57-60.[2]汪德新.量子力学[M].武汉:湖北科学技术出版社,2000,187-191[3]苏汝铿.量子力学[M],上海:复旦大学出版社,1997,37-40[4]刘敏,韩广兵,孙艳等.双阱势能级研究[J].原子与分子物理学报.2006,23(6):1159-1161[5]梁麦林,张福林,袁兵.无穷深势阱中相对论粒子的矩阵元及其经典近似[J].物理学报,2007,56(7):3683-3687[6]尹建吾,张勇和,李大农.方势阱中束缚态粒子能级的数值方法和波函数的图示[J].大学物理,2008,27(3):33-36[7]李柏林.Matlab求解一维半边无限高方势阱[J].黄冈师范学院学报,2009,29(3):33-37[8]刘益明.势阱中粒子的波函数和能级[J].青海师专学报(自然科学),2000,(6):46-49[9]李文安,陈浩.一维无限深势阱中粒子运动的路径积分解法.大学物理[J].2007,26(01):10-12[10]唐洁.用最小二乘发求无限深势阱基态能量和波函数.物理与工程[J].2007,17(01):59-6118\n黄山学院本科毕业论文致谢本文的撰写是在马堃老师的关怀和悉心指导下完成的。在专升本两年的求学生涯中，老师以其严谨、求实的治学态度，敏锐深邃的洞察力，高度的责任心和敬业精神，一直深深地影响和激励着我，使我在学习上和生活上受益匪浅。在近半年完成论文的写作过程中马老师对我们极其关心负责,帮助我们解决了许多难点和疑点,使我对知识有了一个全新的认识和领悟,在此我向他表示忠心的感谢和崇高的敬意。衷心感谢我的所有大学老师，没有他们无私的教育和关怀，我无法完成本科阶段的学习。同时，感谢我的同学，他们给我的大学生活注入了新的活力，在此我向他们表示感谢，并祝他们以后生活得幸福快乐！最后，我希望这篇论文成为对所有帮助和关怀我的人的最好的回报。董贤宝二〇一〇年五月于黄山18