2021国家开放大学电大本科《常微分方程》期末试题及答案（试卷号：1076） 5页

2021 国家开放大学电大本科《常微分方程》期末试题及答案（试卷号：1076） 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 3. 二阶方程/ + 2x>r "xy=0 的等价方程组是（，）. A ly =义 计=2.+” / =yt y /- 2jr>, — x> 4.三阶线性齐次微分方程的所有解构成-个< A ・】维 & C, 3 维 D. 方程 D 心二（，+l>dy =0 唐有曾栽尊是 了•方 S ^=1 y 偏呈 FJffiW 存在且暗一的 KM> & RIBftS m,匕也〉・•••.>」”线性将关的 9. 方程；+1 +* -e 的任 争的图煤星三维空向“口 J）中的 [Ai _ ... 2 ・豆 1 ・・贝）呈方程貌 dy 奇电的充分条件垦 求下列方程的 IS 攀或通物分, 1. 一阶线性微分方程亏+ p（«r）y 二 q（」〉的枳分因于是〈 J“・ wA. 〃 =e • C.、= 2. 方程芸=5 H A.无奇解" B- C•有奇解，—I D. D. w 奇耕》=土 I 有奇解 y=- y =>i 板｝' = 一 4-J-v ）线性空间. 2 维 4 维 5.方程组， 的奇点（（）•（））的类型是（ A.焦点 C.鞍点 a D. 中心 结点 擀分 评整人 二安翘（每小题 3 分.尊磨共 15 分） D. 塔分 评卷入 三■计 H8U 每小超 8 分.太廷共，分） 11 ・求费■祁分 H 力程 tan^dj — eoLf ■。的 H. R 求一阶成.ft 使井次 Zf fl! £ + y ■• Xre ,的■. I3 ・术全 flt 分方 fV’tlr > （jr1 4- In/ ）d> 一 0 的 tl. M.衣 H 眼偌方的■. 15.求的亨峰欢方筮 4»lr ・■。的■. l«. 4tT«AWffl 的通・.・ d， 17.征聊：一阶 Wt 分力程 如_ ・ iny dr —」y* + I 的任-饼的存在区间必足（-g.i）. 试题答案及评分标准 一・・ qi 盘胃・（・小・，分.*■乳 is 分） Lt） 2 ・ A XB 4.C S.H 二.单空・（■小・ 3 分.孝■共“分） 6. , ■ — I — I r 金平 at &必* «. »ati 10.P（>«•>.） »Q（xtvyt> ・ 0 三 JtH ・（•小 AU 分.本■共 4。分） H.求交•鲫分 H 方创 unxdz-eo^dy-。的・. M X * 4<.A-0t±U ±2.««««!»« f - ■ f + Jn i C I •♦……..♦•・・•・•・・••・・・・•.•♦.•••《I 分）J tany J con m 分 ff«A 四・ ttH■（事■共 15 分） 得分 怦卷人 五、旺明 10（本詹共 15 分） I 巾"I = — In | com | -b In | C I 我枳分为 m, • CCMT * C ••…•……一…•.•一♦.....♦♦♦i•…”♦………………………（8 分〉 】 二求一盼雄性葬齐次方辑冬+ 宇》・ 3 才^・的 II. 解 先常齐次方祝.通解为 C J^--[^dr+C 令葬齐次方百的待*为 xy-C（x） ? 代入原方程.求出十 C 原方程的通第为 7 =」（了・+C） 用通解公式求出方程通解，阿样培分. 13.求全微分方程'& + （.尸+1 心>处=0 的解. X 解 因为 举= _!_ = ?*.所以/方理是全微分方程. By X dx 取（邛•力）=（】,0〉•填方程的通积分为，......... J；三心+£/如 四,计算 18（本题共 15 分） 《3 分） C6 分） 即 ylrtr +了丁 —（• ......................................... *......... . 求克菜洛方程》=工/+>”的解. 克菜洛方程,通解为，y=d+C‘ ................................... 求恰当导数方程 y/-F （W f 3/ =0 的解. 原万程是恰当导效方程，可写成，怎 y'+D'u。 yy + J=C, ........................................................................................ （8 分） 14 . 解 成 解 即 （8 分） （I 分） 分离变览解此方辉•通枳分为：!y'=C” G （8 分） （5 分）（A 4-1XA 1） =0 dx 石=2i ・ 3y 如 O 2i — 3 1 -2T特征根为小=1.，=一 1 解特征方程 I A -AE I 16.求下列方程坦的通解.- （7 分） '和 A, M6J 的特征向 fit 分别是「:和]" S（方程组的通的是[v]*C, "[" 五、证明网（本题共 15 分） 17.证明'一阶微分方程 （12 分） （15 分〉 dy _ ftiny d-r x1 + y' +1 的任一解的存在区间必是（一 8,+8）. 证明 方程在全平面上滴足解的存在唯一性定理的条件•又' 」=0 ・土 1，±2,・・・. .......................... ...................................................................................................................................... 对平面上任取的（】.»<,） 若火的是常数解 y =如，其存在区间@然是（一 8. +8〉 若《如,"+ 1〉2,则过诙点的解可以向平面无穷远无限延晨.但是上下又不匪穿越 和丁〜木+ l）ir,于是解的存在区间必是《一口，+8）........................................《15 分）