成人高考数学历年真题整理精华的 33页

一、集合与简易逻辑 ‎2001年 ‎(1) 设全集，，，则是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2) 命题甲：A=B，命题乙：. 则（ ）‎ ‎(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；‎ ‎(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。‎ ‎2002年 ‎（1） 设集合，集合，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2） 设甲：，乙：，则（ ）‎ ‎（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件；‎ ‎（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.‎ ‎2003年 ‎（1）设集合，集合，则集合M与N的关系是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）设甲：，且 ；乙：直线与平行。则 ‎（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；‎ ‎（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2004年 ‎（1）设集合，，则集合 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形 ；乙：四边形ABCD是平行正方，则 ‎（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；‎ ‎（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.‎ ‎2005年 ‎（1）设集合，，则集合 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则 ‎（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；‎ ‎（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2006年 ‎（1）设集合，，则集合 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）设甲：；乙：.‎ ‎（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；‎ ‎（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2007年 ‎（8）若为实数，设甲：；乙：，。则 ‎（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；‎ ‎（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2008年 ‎（1）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）设甲：，则 ‎（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；‎ ‎（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。‎ 二、不等式和不等式组 ‎2001年 ‎(4) 不等式的解集是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2002年 ‎（14） 二次不等式的解集为（ ）‎ ‎（A） （B）（C） （D）‎ ‎2003年 ‎（5）、不等式的解集为（ ）‎ ‎（A） （ B） （C） （D）‎ ‎2004年 ‎（5）不等式的解集为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2005年 ‎（2）不等式的解集为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2006年 ‎（2）不等式的解集是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（9）设，且，则下列不等式中，一定成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2007年 ‎（9）不等式的解集是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2008年 ‎（10）不等式的解集是 ‎（A） （B） （C） Ö（D）‎ ‎(由)‎ 三、指数与对数 ‎2001年 ‎(6) 设，，，‎ 则的大小关系为（ ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(是减函数,时,为负；是增函数，时为正.故)‎ ‎2002年 ‎（6） 设，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10） 已知，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ ‎ ‎ ‎（16） 函数的定义域是。‎ ‎2003年 ‎（2）函数的反函数为 ‎（A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（6）设，则下列不等式成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）设，则等于 ‎（A）10 （B）0.5 （C）2 （D）4‎ ‎[ ]‎ ‎2004年 ‎（16） 12 ‎ ‎2005年 ‎（12）设且，如果，那么 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2006年 ‎（7）下列函数中为偶函数的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（13）对于函数，当时，的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（14）函数的定义域是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（19）-1 ‎ ‎2007年 ‎（1）函数的定义域为 ‎（A）R （B） （C） （D）‎ ‎（2）‎ ‎（A）3 （B）2 （C）1 （D）0‎ ‎（5）的图像过点 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（15）设，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2008年 ‎（3）‎ ‎（A）9 （B）3 （C）2 （D）1‎ ‎（6）下列函数中为奇函数的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）下列函数中，函数值恒大于零的是 ‎（A） Ö（B） （C） （D）‎ ‎（9）函数的定义域是 ‎（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（-∞，3]‎ ‎[由得，由得，故选（C）]‎ ‎（11）若，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 四、函数 ‎2001年 ‎(3) 已知抛物线的对称轴方程为,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(7) 如果指数函数的图像过点，则的值为（ ）‎ ‎(A) 2 (B) (C) (D) ‎ ‎(10) 使函数为增函数的区间是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(13)函数是（ ）‎ ‎(A) 是奇函数 (B) 是偶函数 ‎(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 ‎(16) 函数的定义域为____________。‎ ‎ (21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线对称，其中一个函数的表达式为,求另一个函数的表达式。‎ 解法一 函数的对称轴为，‎ 顶点坐标:，‎ ‎ 设函数与函数关于对称，则 函数的对称轴 顶点坐标: ，‎ ‎ 由得：，‎ ‎ 由得：‎ ‎ 所以，所求函数的表达式为 解法二 函数的对称轴为，所求函数与函数关于对称，则所求函数由函数向轴正向平移个长度单位而得。‎ ‎ 设是函数上的一点，点是点的对称点，则 ‎ ，，将代入 得:.即为所求。‎ ‎(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本元时，售出总量为本。如果售价上涨%，预计售出总量将减少%，问为何值时这种书的销售总金额最大。‎ 解 涨价后单价为元/本，售量为本。设此时销售总金额为，则：‎ ‎，令，得 所以，时，销售总金额最大。‎ ‎2002年 ‎（9） 若函数在上单调，则使得必为单调函数的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（10） 已知，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ ‎ ， ‎ ‎（13） 下列函数中为偶函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（21）（本小题12分） 已知二次函数的图像与轴有两个交点，且这两个交点间的距离为2，求的值。‎ 解 设两个交点的横坐标分别为和，则和是方程的两个根， ‎ 得：，‎ 又得：，‎ ‎（22）（本小题12分） 计划建造一个深为，容积为的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？‎ 解 设池底边长为、，池壁与池底造价的造价之和为，则，‎ ‎ ‎ 故当，即当时，池壁与池底的造价之和最低且等于：‎ ‎ 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 ‎2003年 ‎（3）下列函数中，偶函数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）函数在处的导数为 ‎（A）5 （B）2 （C）3 （D）4 ‎ ‎（11）的定义域是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（17）设函数，则函数 ‎（20）（本小题11分） 设，，，，求的值.‎ 解 依题意得：‎ ‎， ，‎ ‎（21）（本小题12分） 设满足，求此函数的最大值.‎ 解 依题意得：‎ ‎，即，得：‎ ‎，‎ 可见，该函数的最大值是8（当时）‎ ‎2004年 ‎（10）函数 ‎（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数 ‎（15），则 ‎（A）27 （B）18 （C）16 （D）12‎ ‎（17） -13 ‎ ‎，‎ ‎（20）（本小题满分11分） 设函数为一次函数，，，求 解 依题意设，得，得，，‎ ‎（22）（本小题满分12分） 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄；若多种一株，每株减产。试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值.‎ 解 设种（）株葡萄时产量为S，依题意得 ‎ ，，‎ ‎ 所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600.‎ ‎2005年 ‎（3）设函数，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）函数的定义域是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）下列选项中正确的是 ‎（A） 是偶函数 （B） 是奇函数 ‎（C） 是偶函数 （D） 是奇函数 ‎（18）设函数，且，，则的值为 7 ‎ 注：‎ ‎（23）（本小题满分12分）‎ 已知函数的图像交y轴于A点，它的对称轴为；函数的图像交y轴于B点，且交于C.‎ ‎（Ⅰ）求的面积 ‎（Ⅱ）设，求AC的长 解（Ⅰ）的对称轴方程为：‎ 依题意可知各点的坐标为、、‎ 得：‎ 在中，AB边上的高为1（），因此，‎ ‎（Ⅱ）当时，点C的坐标为C（1，3），故 ‎2006年 ‎（4）函数的一个单调区间是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）下列函数中为偶函数的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）设一次函数的图像过点（1，1）和（-2，0），则该函数的解析式为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知二次函数的图像交轴于（-1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（17）已知P为曲线上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（20）直线的倾斜角的度数为 ‎2007年 ‎（1）函数的定义域为 ‎（A）R （B） （C） （D）‎ ‎（5）的图像过点 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）二次函数图像的对称轴方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知二次函数的图像过原点和点，则该二次函数的最小值为 ‎（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12‎ ‎ ‎ ‎（18）函数在点处的切线方程为 ‎ ‎（21）设，则 ‎2008年 ‎（5）二次函数图像的对称轴方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）下列函数中为奇函数的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）下列函数中，函数值恒大于零的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）曲线与直线只有一个公共点，则k= ‎ ‎（A）-2或2 （B）0或4 （C）-1或1 （D）3或7‎ ‎（9）函数的定义域是 ‎（A）（0，∞） （B）（3，∞） Ö（C）(0，3] （D）（-∞，3]‎ ‎[由得，由得，故选（C）]‎ ‎（13）过函数上的一点P作轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则的面积为 ‎（A）6 （B）3 （C）12 （D）1‎ ‎[设Q点的坐标为，则]‎ 五、数列 ‎2001年 ‎(11) 在等差数列中，，前5项之和为10，前10项之和等于（ ）‎ ‎(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70‎ 注：，‎ ‎ ‎ ‎(23) (本小题11分) 设数列，满足，且。‎ ‎ (i)求证和都是等比数列并求其公比；‎ ‎ (ii)求，的通项公式。‎ 证(i) ‎ ‎ :‎ ‎ :‎ ‎ 可见与的各项都不为0.‎ ‎， 所以，是等比数列且其公比为 ‎ 所以，是等比数列且其公比为 ‎(ii) 由得 ‎， 得：‎ ‎2002年 ‎（12） 设等比数列的公比，且，则等于（ ）‎ ‎（A）8 B．16 （C）32 （D）64‎ ‎（24）（本小题12分）数列和数列的通项公式分别是，。‎ ‎（Ⅰ）求证是等比数列； ‎ ‎（Ⅱ）记，求的表达式。‎ 证（Ⅰ）因，，故为正数列。当时 ‎ ‎ ‎ 可见的公比是常数，故是等比数列。‎ ‎（Ⅱ）由，得：‎ ‎2003年 ‎（23）已知数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式，‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和.‎ 解（Ⅰ）当时，，故，‎ 当时，，‎ 故，，所以，‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∵ ，∴不是等比数列 ‎∵， ∴是等差数列 的前n项和：‎ ‎2004年 ‎（7）设为等差数列，，，则 ‎（A）24 （B）27 （C）30 （D）33 ‎（23）（本小题满分12分） 设为等差数列且公差d为正数，，，，成等比数列，求和.‎ 解 由，得， ‎ 由，，成等比数列，得 由，得，‎ ‎2005年 ‎（13）在等差数列中，，，则 ‎（A）19 （B）20 （C）21 （D）-22‎ ‎（22）（本小题满分12分） 已知等比数列的各项都是正数，，前3项和为14。求：‎ ‎（Ⅰ）数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前20项之和。‎ 解（Ⅰ），‎ 得，，所以，‎ ‎（Ⅱ）， ‎ 数列的前20项的和为 ‎2006年 ‎（6）在等差数列中，，，则 ‎（A）-11 （B）-13 （C）-15 （D）-17‎ ‎（22）（本小题12分） 已知等比数列中，，公比。求：‎ ‎（Ⅰ）数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列的前7项的和。‎ 解（Ⅰ），，，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎2007年 ‎（13）设等比数列的各项都为正数，，，则公比 ‎（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3‎ ‎（23）（本小题满分12分） 已知数列的前n项和为,‎ ‎（Ⅰ）求该数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）判断是该数列的第几项.‎ 解（Ⅰ） 当时，‎ 当时，，满足，‎ 所以，‎ ‎（Ⅱ） ，得.‎ ‎2008年 ‎（15）在等比数列中, ，， ‎ ‎（A）8 （B）24 （C）96 （D）384‎ ‎（22）已知等差数列中，，‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式 ‎（Ⅱ）当为何值时，数列的前项和取得最大值，并求该最大值 解（Ⅰ）设该等差数列的公差为，则 ‎，，‎ 将代入得：，‎ 该等差数列的通项公式为 ‎（Ⅱ）数列的前项之和 ‎，，‎ 六、导数 ‎2001年 ‎(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本元时，售出总量为本。如果售价上涨%，预计售出总量将减少%，问为何值时这种书的销售总金额最大。‎ 解 涨价后单价为元/本，售量为本。设此时销售总金额为，则：‎ ‎, 令，得 所以，时，销售总金额最大。‎ ‎2002年 ‎（7） 函数的最小值是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（22）（本小题12分） 计划建造一个深为，容积为的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？‎ 解 设池底边长为、，池壁与池底造价的造价之和为，则，‎ ‎ ‎ 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 ‎2003年 ‎（10）函数在处的导数为 ‎ ‎（A）5 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎2004年 ‎（15），则 ‎（A）27 （B）18 （C）16 （D）12‎ ‎2005年 ‎（17）函数在处的导数值为 5 ‎ ‎（21）求函数在区间的最大值和最小值（本小题满分12分）‎ 解 令，得，（不在区间内，舍去）‎ 可知函数在区间的最大值为2，最小值为-2.‎ ‎2006年 ‎（17）已知P为曲线上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2007年 ‎（12）已知抛物线上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（18）函数在点（1，2）处的切线方程为 ‎ ‎［，，即］‎ ‎2008年 ‎（8）曲线与直线只有一个公共点，则 ‎ ‎（A）-2或2 （B）0或4 （C）-1或1 （D）3或7‎ ‎（25）已知函数，且 ‎（Ⅰ）求的值 ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值 解（Ⅰ），，‎ ‎（Ⅱ）令，得：，，‎ ‎，，，，‎ 所以，在区间上的最大值为13，最小值为4.‎ 七、平面向量 ‎2001年 ‎(18)过点且垂直于向量的直线方程为。‎ ‎ ‎ ‎2002年 ‎（17）已知向量，向量与方向相反，并且，则等于。‎ ‎ 解 设，因向量与方向相反（一种平行），故，即，‎ ‎ 将①与②组成方程组： ，解得：，故 ‎ 也可这样简单分析求解：‎ 因，，是的二倍，与方向相反，故 ‎2003年 ‎(13)已知向量、满足，，，则 ‎（A） （B） （C）6 （D）12‎ ‎2004年 ‎（14）如果向量，，则等于 ‎（A）28 （B）20 （C）24 （D）10‎ ‎2005年 ‎（14）已知向量满足，，且和的夹角为，则 ‎（A） （B） （C）6 （D）-6‎ ‎2006年 ‎（3）若平面向量，，，则的值等于 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎2007年 ‎（3）已知平面向量，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2008年 ‎（18）若向量，，，则 八、三角的概念 ‎2001年 ‎(5) 设角的终边通过点，则等于（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ ‎ ‎（5） 已知，，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）－1‎ ‎2003年 ‎（4）已知，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2007年 ‎（11）设，为第二象限角，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 九、三角函数变换 ‎2002年 ‎（3） 若，，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2003年 ‎（19）函数的最大值是 ‎2004年 ‎（9） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（17）函数的最小值为 -13 ‎ ‎2005年 ‎（10）设，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2006年 ‎（12）在中，，则的值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2007年 ‎（19）的值为 ‎ 十、三角函数的图像和性质 ‎2001年 ‎(14)函数的最小正周期和最大值分别是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2005年 ‎（4）函数的最小正周期是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（20）（本小题满分11分）‎ ‎（Ⅰ）把下表中的角度值化为弧度值，计算的值填入表中：‎ 的角度值 的弧度值 ‎(精确到0.0001)‎ ‎（Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数在区间上的图像 解（Ⅰ）‎ 的角度值 的弧度值 ‎0‎ ‎(精确到0.0001)‎ ‎0‎ ‎0.0019‎ ‎0.0159‎ ‎0.0553‎ ‎0.1388‎ ‎0.2929‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎2006年 ‎（18）函数的最小正周期是 ‎ ‎2007年 ‎(4)函数的最小正周期为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2008年 ‎（2）函数的最小正周期是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 十一、解三角形 ‎2001年 ‎(20) (本小题11分) 在中，已知，，，求（用小数表示，结果保留到小数点后一位）。‎ 解 ， ， ‎ ‎2002年 ‎（20)（本小题11分） 在中，已知，且，求（精确到）。‎ 解 ‎ ‎2003年 ‎（22）（本小题12分）‎ 如图，某观测点B在A地南偏西方向，由A地出发有一条走向为南偏东的公路，由观测点B发现公路上距观测点的C点有一汽车沿公路向A驶去，到达D点时，测得，，问汽车还要行驶多少km才可到达A地（计算结果保留两位小数）‎ 解 ‎ ‎ ∵，，‎ ‎∴是等边直角三角形，‎ ‎ ‎ 答：为这辆汽车还要行驶才可到达A地 ‎2004年 ‎（21）（本小题满分12分） 已知锐角的边长AB=10，BC=8，面积S=32.求AC的长（用小数表示，结果保留小数点后两位）‎ ‎2006年 ‎（23）（本小题12分） 已知在中，，边长，.‎ ‎ （Ⅰ）求BC的长 ‎（Ⅱ）求值 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎2007年 ‎（22）（本小题满分12分） 已知的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求 ‎（Ⅰ）的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）的面积.‎ 解（Ⅰ），‎ ‎（Ⅱ）的面积 ‎2008年 ‎（20）在中，若，，，则AB= ‎ ‎（23）如图，塔与地平线垂直，在点测得塔顶的仰角，沿方向前进至点，测得仰角，A、B相距，求塔高。（精确到）‎ 解 由已知条件得：，，‎ 十二、直线 ‎2001年 ‎(18)过点且垂直于向量的直线方程 。‎ ‎2002年 ‎（4）点关于轴的对称点的坐标为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（18）在轴上截距为3且垂直于直线的直线方程为 。‎ ‎2003年 ‎（16）点到直线的距离为 ‎ ‎2004年 ‎（4）到两定点和距离相等的点的轨迹方程为 .‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）通过点且与直线垂直的直线方程是 .‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（20）（本小题满分11分） 设函数为一次函数，，，求 解 依题意设，得，得，，‎ ‎2005年 ‎（16）过点且与直线垂直的直线方程为 ‎2006年 ‎（8）设一次函数的图像过点）和，则该函数的解析式为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（20）直线的倾斜角的度数为 ‎2008年 ‎（14）过点且与直线垂直的直线方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎［直线的斜率为，所求直线的斜率为，由点斜式方程可知应选（A）］‎ ‎（19）若是直线的倾斜角，则 十三、圆 ‎2006年 ‎（24）（本小题12分） ‎ 已知的圆心位于坐标原点, 与轴的正半轴交于A，与轴的正半轴交于B，‎ ‎ （Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为上的一点，且，求点的坐标。‎ 解（Ⅰ）依题设得，，‎ 故的方程：‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以AB的斜率为。‎ 过且平行于AB的直线方程为.‎ 由得：，‎ 所以，点的坐标为或 ‎2008年 ‎（24）已知一个圆的圆心为双曲线的右焦点，并且此圆过原点. ‎ ‎（Ⅰ）求该圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线被该圆截得的弦长.‎ 解（Ⅰ），‎ 双曲线的右焦点坐为 ，‎ 圆心坐标，圆半径为。‎ 圆的方程为 ‎（Ⅱ）因直线的倾角为，‎ 故 所以，直线被该圆截得的弦长为 十四、圆锥曲线 ‎2001年 ‎(3) 已知抛物线的对称轴方程为,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8) 点为椭圆上一点，和是焦点，则的值为（ ）‎ ‎(A) 6 (B) (C) 10 (D) ‎ ‎(9) 过双曲线的左焦点的直线与这双曲线交于A,B两点，且，是右焦点，则的值为（ ）‎ ‎(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27 ‎ ‎， ‎ ‎(24) (本小题11分) 已知椭圆和点，设该椭圆有一关于 轴对称的内接正三角形，使得为其一个顶点。求该正三角形的边长。‎ 解 设椭圆的关于 轴对称的内接正三角形为，，则：‎ ‎，，，， ‎ ‎ ‎ 由于，所以，‎ 因，，，于是的边长为 ‎2002年 ‎（8） 平面上到两定点，距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（23）（本小题12分） 设椭圆的焦点在轴上，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两 点，使得OP所在直线的斜率为1，，若的面积恰为，求该椭圆的焦距。‎ 解 设、，因，故.又因所在直线的斜率为1，故 ‎。‎ 将代入，得：‎ ‎，即，‎ 解得：‎ 由得该椭圆的焦距：‎ ‎2003年 ‎（14）焦点、且过点的双曲线的标准方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（15）椭圆与圆的公共点的个数是 ‎（A）4 （B）2 （C）1 （D）0‎ ‎（24）已知抛物线的焦点为F，点A、C在抛物线上（AC与轴不垂直）.‎ ‎（Ⅰ）若点B在抛物线的准线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证；‎ ‎（Ⅱ）若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆相内切.‎ 证明：（Ⅰ）由得抛物线准线方程，‎ 设、，则 ， ‎ 的斜率， 的斜率 ‎∵ ， ∴ ‎ ‎（Ⅱ）设的斜率为，则A、C、F所在的直线的方程为 设、，因A、C在抛物线上（AC与轴不垂直），故满足下列方程组：‎ ‎ 将①代入②消去得：‎ ‎，，‎ 因 故 将代入②消去得：，‎ 因 故，，因此，以AC为直径的圆的圆心为 因，，故，得：‎ AC为直径的圆的半径， 又定圆心为，半径，可得 因此，这两个圆相内切 ‎2004年 ‎（6）以椭圆的标准方程为的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形的周长等于 ‎（A）12 （B） （C）13 （D）18‎ ‎（13）如果抛物线上的一点到其焦点的距离为8，则这点到该抛物线准线的距离为 ‎（A）4 （B）8 （C）16 （D）32‎ ‎（24）（本小题满分12分） 设A、B两点在椭圆上，点是A、B的中点.‎ ‎（Ⅰ）求直线AB的方程 ‎（Ⅱ）若椭圆上的点C的横坐标为，求的面积 解（Ⅰ）所求直线过点，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为，‎ A、B两点既在直线，又在椭圆，即A、B两点的坐标满足方程组 ‎，将②代入①得：‎ 此方程的判别式：‎ 因此它有两个不等的实数根、.‎ 由得：，解得 将代入得直线AB的方程：‎ ‎（Ⅱ）将代入方程③，解得，又得，‎ 即A、B两点的坐标为A（0，1），B（2，0），于是 由于椭圆上的点C的横坐标为，故点C的坐标为C（，）‎ 点C到直线AB的距离为：‎ ‎ 或 ‎ 所以，的面积为：‎ ‎ 或 ‎ ‎2005年 ‎（5）中心在原点，一个焦点在且过点的椭圆方程是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）双曲线的焦距是 ‎（A） （B） （C）12 （D）6‎ ‎（24）（本小题满分12分）‎ 如图，设、是椭圆：长轴的两个端点，‎ 是的右准线，双曲线： ‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为与的一个交点，直线PA1与的另一个交 点为Q，直线PA2与的另一个交点为R.求 解（Ⅰ）椭圆的半焦距，右准线的方程 ‎（Ⅱ）由P为与的一个交点的设定，得或。由于是对称曲线，故可在此两点中的任意一点取作图求，现以P进行计算。‎ 由题设和直线的两点式方程得PA1的方程为，PA2的方程为 ‎ 解 得，解 得，‎ ‎2006年 ‎（15）设椭圆的标准方程为，则该椭圆的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2007年 ‎（12）已知抛物线上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为 ‎（A）或 （B） （C） （D）‎ ‎（14）已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为 ‎（A）8 （B）6 （C）4 （D）2‎ ‎（24）（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于3，并且过点，求：‎ ‎ （Ⅰ）双曲线的标准方程 ‎（Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程 解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为，‎ 故，‎ 将点代入，‎ 得：‎ 故双曲线的标准方程为 ‎（Ⅱ）双曲线焦点坐标：，双曲线准线方程：‎ 十五、排列与组合 ‎2001年 ‎(12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法总数为（ ）‎ ‎(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60‎ 解法一 分步法 ‎ ①将同一厂家的2部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为；‎ ‎②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为。‎ 根据分步计数原理，总排列数为 解法二 分类法 ‎ 将同一厂家的2部手机看成手机“”.‎ ‎①手机“”排在1位，有种排法（、、、、）；‎ ‎②手机“”排在2位，有种排法；‎ ‎③手机“”排在3位，有种排法；‎ ‎④手机“”排在4位，有种排法；‎ 上述排法共24种，每种排法中手机“”各有二种排法，故总排列数为：‎ ‎2002年 ‎（11） 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数共有（ ）‎ ‎（A）6个 （B）12个 （C）18个 （D）24个 ‎ 解法一 ①从0，1，2，3这四个数字中取出四个数字的总排列数为；‎ ‎ ②将0排在首位的排列数为，而0不能排在首位；‎ ‎ 总排列数减去0排在首位的排列数即为所求。因此，‎ 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数的个数为 ‎ 解法二 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有种取法；‎ ‎ 第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有种取法；‎ 第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有种取法；‎ 第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有种取法.‎ 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。‎ ‎.‎ 解法三 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有种取法；‎ ‎ 第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有种取法；‎ 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。‎ 解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有；‎ ‎ 第二类：把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、个位的排法有；‎ ‎ 第三类：把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、个位的排法有；‎ 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有：‎ ‎2003年 ‎（7）用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的不同3位数共有 ‎（A）64个 （B）16个 （C）48个 （D）12个 解法一 ①从0，1，2，3，4这五个数字中取出三个数字的总排列数为；‎ ‎ ②将0排在首位的排列数为，而0不能排在首位；‎ ‎ 总排列数减去0排在首位的排列数即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数的个数为 解法二 第一步：.从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有种取法；‎ ‎ 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取一个排在第二位，有种取法；‎ 第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有种取法；‎ 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。‎ ‎.‎ 解法三 第一步：从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有种取法；‎ ‎ 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取二个排在十位、个位，有种取法；‎ 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。‎ 解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、十位的排法有；‎ ‎ 第二类：把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、个位的排法有；‎ ‎ 第三类：0不参加排列，1，2，3，4中任取三个的排法有；‎ 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：‎ 解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了)‎ ‎ 第一类：1排在百位的数是，共12个；‎ ‎ 第二类：2排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；‎ ‎ 第三类：3排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；‎ ‎ 第四类：4排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；‎ 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：个。‎ ‎2004年 ‎（8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是 ‎（A）50 （B）100 （C） （D）90（）‎ ‎2005年 ‎（11）从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有 ‎（A）12种 （B）8种 （C）6种 （） （D）4种 ‎2006年 ‎（11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有 ‎（A）3种 （B）6种 （C）12种 （） （D）24种 ‎2007年 ‎（16）在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？‎ ‎（A）400 （B）380 （C）240 （D）190‎ ‎2008年 ‎（12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有 ‎（A）4种 （B）8种 （C）10种 （D）20种 ‎（甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为）‎ 十六、概率与统计初步 ‎2001年 ‎(15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2002年 ‎（15） 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（19）设离散型随机变量的概率分布列是 ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．4‎ 则的数学期望是 0.3 （）。‎ ‎2003年 ‎（12）从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下 ‎99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110‎ 则该篮球队得分的样本方差为 56.16 ‎ ‎2004年 ‎（11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（19）从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为（单位cm）‎ ‎180， 188， 200， 195， 187‎ ‎ 则身高的样本方差为 47.6 ‎ ‎2005年 ‎（15）8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（19）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g）如下：‎ ‎98.6，100.1，101.4，99.5，102.2‎ ‎ 该样品的方差为 1.7 （）（精确到0.1）‎ 列表求解如下：‎ ‎98.6‎ ‎100.1‎ ‎101.4‎ ‎99.5‎ ‎102.2‎ -1.76‎ -0.26‎ ‎1.04‎ -0.86‎ ‎1.84‎ ‎3.0976‎ ‎0.0676‎ ‎1.0816‎ ‎0.7396‎ ‎3.3856‎ ‎2006年 ‎（16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有1，2，3这三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个小球，则取出的两个球上所标示数字的和为3的概率是 ‎（A） （B）() （C） （D）‎ ‎（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是（单位mm）‎ ‎13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6‎ 则该样本的方差为 0.2725 ‎ ‎2007年 ‎（17）已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为 ‎（A）0.01 （B）0.02 （C）0.28 （D）0.72‎ ‎（20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11‎ 则该样本的方差为 4.5 ‎ ‎2008年 ‎（16）5个人排成一行，则甲排在中间的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（21）用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下:‎ ‎1004 1001 998 999 1003‎ 则该样本的样本方差为 ‎5.2 cm2‎