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  • 2021-05-15 发布

成人高考数学历年真题整理精华的

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一、集合与简易逻辑 ‎2001年 ‎(1) 设全集,,,则是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2) 命题甲:A=B,命题乙:. 则( )‎ ‎(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (B) 甲是乙的充分必要条件;‎ ‎(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件; (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。‎ ‎2002年 ‎(1) 设集合,集合,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2) 设甲:,乙:,则( )‎ ‎(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件;‎ ‎(C)甲是乙的充分必要条件; (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.‎ ‎2003年 ‎(1)设集合,集合,则集合M与N的关系是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)设甲:,且 ;乙:直线与平行。则 ‎(A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件;‎ ‎(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2004年 ‎(1)设集合,,则集合 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)设甲:四边形ABCD是平行四边形 ;乙:四边形ABCD是平行正方,则 ‎(A)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件;‎ ‎(C)甲是乙的充分必要条件; (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.‎ ‎2005年 ‎(1)设集合,,则集合 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)设命题甲:,命题乙:直线与直线平行,则 ‎(A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件;‎ ‎(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2006年 ‎(1)设集合,,则集合 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)设甲:;乙:.‎ ‎(A)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件;‎ ‎(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2007年 ‎(8)若为实数,设甲:;乙:,。则 ‎(A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件;‎ ‎(C)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。‎ ‎2008年 ‎(1)设集合,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)设甲:,则 ‎(A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件;‎ ‎(C)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。‎ 二、不等式和不等式组 ‎2001年 ‎(4) 不等式的解集是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2002年 ‎(14) 二次不等式的解集为( )‎ ‎(A) (B)(C) (D)‎ ‎2003年 ‎(5)、不等式的解集为( )‎ ‎(A) ( B) (C) (D)‎ ‎2004年 ‎(5)不等式的解集为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2005年 ‎(2)不等式的解集为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2006年 ‎(2)不等式的解集是 ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎(9)设,且,则下列不等式中,一定成立的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2007年 ‎(9)不等式的解集是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2008年 ‎(10)不等式的解集是 ‎(A) (B) (C) Ö(D)‎ ‎(由)‎ 三、指数与对数 ‎2001年 ‎(6) 设,,,‎ 则的大小关系为( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(是减函数,时,为负;是增函数,时为正.故)‎ ‎2002年 ‎(6) 设,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10) 已知,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C)1 (D)2‎ ‎ ‎ ‎(16) 函数的定义域是。‎ ‎2003年 ‎(2)函数的反函数为 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(6)设,则下列不等式成立的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)设,则等于 ‎(A)10 (B)0.5 (C)2 (D)4‎ ‎[ ]‎ ‎2004年 ‎(16) 12 ‎ ‎2005年 ‎(12)设且,如果,那么 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2006年 ‎(7)下列函数中为偶函数的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(13)对于函数,当时,的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(14)函数的定义域是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(19)-1 ‎ ‎2007年 ‎(1)函数的定义域为 ‎(A)R (B) (C) (D)‎ ‎(2)‎ ‎(A)3 (B)2 (C)1 (D)0‎ ‎(5)的图像过点 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(15)设,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2008年 ‎(3)‎ ‎(A)9 (B)3 (C)2 (D)1‎ ‎(6)下列函数中为奇函数的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)下列函数中,函数值恒大于零的是 ‎(A) Ö(B) (C) (D)‎ ‎(9)函数的定义域是 ‎(A)(0,∞) (B)(3,∞) (C)(0,3] (D)(-∞,3]‎ ‎[由得,由得,故选(C)]‎ ‎(11)若,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 四、函数 ‎2001年 ‎(3) 已知抛物线的对称轴方程为,则这条抛物线的顶点坐标为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(7) 如果指数函数的图像过点,则的值为( )‎ ‎(A) 2 (B) (C) (D) ‎ ‎(10) 使函数为增函数的区间是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(13)函数是( )‎ ‎(A) 是奇函数 (B) 是偶函数 ‎(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 ‎(16) 函数的定义域为____________。‎ ‎ (21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线对称,其中一个函数的表达式为,求另一个函数的表达式。‎ 解法一 函数的对称轴为,‎ 顶点坐标:,‎ ‎ 设函数与函数关于对称,则 函数的对称轴 顶点坐标: ,‎ ‎ 由得:,‎ ‎ 由得:‎ ‎ 所以,所求函数的表达式为 解法二 函数的对称轴为,所求函数与函数关于对称,则所求函数由函数向轴正向平移个长度单位而得。‎ ‎ 设是函数上的一点,点是点的对称点,则 ‎ ,,将代入 得:.即为所求。‎ ‎(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本元时,售出总量为本。如果售价上涨%,预计售出总量将减少%,问为何值时这种书的销售总金额最大。‎ 解 涨价后单价为元/本,售量为本。设此时销售总金额为,则:‎ ‎,令,得 所以,时,销售总金额最大。‎ ‎2002年 ‎(9) 若函数在上单调,则使得必为单调函数的区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎(10) 已知,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C)1 (D)2‎ ‎ , ‎ ‎(13) 下列函数中为偶函数的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(21)(本小题12分) 已知二次函数的图像与轴有两个交点,且这两个交点间的距离为2,求的值。‎ 解 设两个交点的横坐标分别为和,则和是方程的两个根, ‎ 得:,‎ 又得:,‎ ‎(22)(本小题12分) 计划建造一个深为,容积为的长方体蓄水池,若池壁每平方米的造价为20元,池底每平方米的造价为40元,问池壁与池底造价之和最低为多少元?‎ 解 设池底边长为、,池壁与池底造价的造价之和为,则,‎ ‎ ‎ 故当,即当时,池壁与池底的造价之和最低且等于:‎ ‎ 答:池壁与池底的最低造价之和为22400元 ‎2003年 ‎(3)下列函数中,偶函数是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)函数在处的导数为 ‎(A)5 (B)2 (C)3 (D)4 ‎ ‎(11)的定义域是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(17)设函数,则函数 ‎(20)(本小题11分) 设,,,,求的值.‎ 解 依题意得:‎ ‎, ,‎ ‎(21)(本小题12分) 设满足,求此函数的最大值.‎ 解 依题意得:‎ ‎,即,得:‎ ‎,‎ 可见,该函数的最大值是8(当时)‎ ‎2004年 ‎(10)函数 ‎(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也又是偶函数 ‎(15),则 ‎(A)27 (B)18 (C)16 (D)12‎ ‎(17) -13 ‎ ‎,‎ ‎(20)(本小题满分11分) 设函数为一次函数,,,求 解 依题意设,得,得,,‎ ‎(22)(本小题满分12分) 在某块地上种葡萄,若种50株,每株产葡萄;若多种一株,每株减产。试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值,并求出这个最大值.‎ 解 设种()株葡萄时产量为S,依题意得 ‎ ,,‎ ‎ 所以,种60株葡萄时产量达到最大值,这个最大值为3600.‎ ‎2005年 ‎(3)设函数,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)函数的定义域是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)下列选项中正确的是 ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 ‎(C) 是偶函数 (D) 是奇函数 ‎(18)设函数,且,,则的值为 7 ‎ 注:‎ ‎(23)(本小题满分12分)‎ 已知函数的图像交y轴于A点,它的对称轴为;函数的图像交y轴于B点,且交于C.‎ ‎(Ⅰ)求的面积 ‎(Ⅱ)设,求AC的长 解(Ⅰ)的对称轴方程为:‎ 依题意可知各点的坐标为、、‎ 得:‎ 在中,AB边上的高为1(),因此,‎ ‎(Ⅱ)当时,点C的坐标为C(1,3),故 ‎2006年 ‎(4)函数的一个单调区间是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)下列函数中为偶函数的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)设一次函数的图像过点(1,1)和(-2,0),则该函数的解析式为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)已知二次函数的图像交轴于(-1,0)和(5,0)两点,则该图像的对称轴方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(17)已知P为曲线上的一点,且P点的横坐标为1,则该曲线在点P处的切线方程是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(20)直线的倾斜角的度数为 ‎2007年 ‎(1)函数的定义域为 ‎(A)R (B) (C) (D)‎ ‎(5)的图像过点 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)二次函数图像的对称轴方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)已知二次函数的图像过原点和点,则该二次函数的最小值为 ‎(A)-8 (B)-4 (C)0 (D)12‎ ‎ ‎ ‎(18)函数在点处的切线方程为 ‎ ‎(21)设,则 ‎2008年 ‎(5)二次函数图像的对称轴方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)下列函数中为奇函数的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)下列函数中,函数值恒大于零的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)曲线与直线只有一个公共点,则k= ‎ ‎(A)-2或2 (B)0或4 (C)-1或1 (D)3或7‎ ‎(9)函数的定义域是 ‎(A)(0,∞) (B)(3,∞) Ö(C)(0,3] (D)(-∞,3]‎ ‎[由得,由得,故选(C)]‎ ‎(13)过函数上的一点P作轴的垂线PQ,Q为垂足,O为坐标原点,则的面积为 ‎(A)6 (B)3 (C)12 (D)1‎ ‎[设Q点的坐标为,则]‎ 五、数列 ‎2001年 ‎(11) 在等差数列中,,前5项之和为10,前10项之和等于( )‎ ‎(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70‎ 注:,‎ ‎ ‎ ‎(23) (本小题11分) 设数列,满足,且。‎ ‎ (i)求证和都是等比数列并求其公比;‎ ‎ (ii)求,的通项公式。‎ 证(i) ‎ ‎ :‎ ‎ :‎ ‎ 可见与的各项都不为0.‎ ‎, 所以,是等比数列且其公比为 ‎ 所以,是等比数列且其公比为 ‎(ii) 由得 ‎, 得:‎ ‎2002年 ‎(12) 设等比数列的公比,且,则等于( )‎ ‎(A)8 B.16 (C)32 (D)64‎ ‎(24)(本小题12分)数列和数列的通项公式分别是,。‎ ‎(Ⅰ)求证是等比数列; ‎ ‎(Ⅱ)记,求的表达式。‎ 证(Ⅰ)因,,故为正数列。当时 ‎ ‎ ‎ 可见的公比是常数,故是等比数列。‎ ‎(Ⅱ)由,得:‎ ‎2003年 ‎(23)已知数列的前项和.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式,‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前n项和.‎ 解(Ⅰ)当时,,故,‎ 当时,,‎ 故,,所以,‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎∵ ,∴不是等比数列 ‎∵, ∴是等差数列 的前n项和:‎ ‎2004年 ‎(7)设为等差数列,,,则 ‎(A)24 (B)27 (C)30 (D)33 ‎(23)(本小题满分12分) 设为等差数列且公差d为正数,,,,成等比数列,求和.‎ 解 由,得, ‎ 由,,成等比数列,得 由,得,‎ ‎2005年 ‎(13)在等差数列中,,,则 ‎(A)19 (B)20 (C)21 (D)-22‎ ‎(22)(本小题满分12分) 已知等比数列的各项都是正数,,前3项和为14。求:‎ ‎(Ⅰ)数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前20项之和。‎ 解(Ⅰ),‎ 得,,所以,‎ ‎(Ⅱ), ‎ 数列的前20项的和为 ‎2006年 ‎(6)在等差数列中,,,则 ‎(A)-11 (B)-13 (C)-15 (D)-17‎ ‎(22)(本小题12分) 已知等比数列中,,公比。求:‎ ‎(Ⅰ)数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)数列的前7项的和。‎ 解(Ⅰ),,,‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎2007年 ‎(13)设等比数列的各项都为正数,,,则公比 ‎(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3‎ ‎(23)(本小题满分12分) 已知数列的前n项和为,‎ ‎(Ⅰ)求该数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ)判断是该数列的第几项.‎ 解(Ⅰ) 当时,‎ 当时,,满足,‎ 所以,‎ ‎(Ⅱ) ,得.‎ ‎2008年 ‎(15)在等比数列中, ,, ‎ ‎(A)8 (B)24 (C)96 (D)384‎ ‎(22)已知等差数列中,,‎ ‎(Ⅰ)求等差数列的通项公式 ‎(Ⅱ)当为何值时,数列的前项和取得最大值,并求该最大值 解(Ⅰ)设该等差数列的公差为,则 ‎,,‎ 将代入得:,‎ 该等差数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)数列的前项之和 ‎,,‎ 六、导数 ‎2001年 ‎(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本元时,售出总量为本。如果售价上涨%,预计售出总量将减少%,问为何值时这种书的销售总金额最大。‎ 解 涨价后单价为元/本,售量为本。设此时销售总金额为,则:‎ ‎, 令,得 所以,时,销售总金额最大。‎ ‎2002年 ‎(7) 函数的最小值是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(22)(本小题12分) 计划建造一个深为,容积为的长方体蓄水池,若池壁每平方米的造价为20元,池底每平方米的造价为40元,问池壁与池底造价之和最低为多少元?‎ 解 设池底边长为、,池壁与池底造价的造价之和为,则,‎ ‎ ‎ 答:池壁与池底的最低造价之和为22400元 ‎2003年 ‎(10)函数在处的导数为 ‎ ‎(A)5 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎2004年 ‎(15),则 ‎(A)27 (B)18 (C)16 (D)12‎ ‎2005年 ‎(17)函数在处的导数值为 5 ‎ ‎(21)求函数在区间的最大值和最小值(本小题满分12分)‎ 解 令,得,(不在区间内,舍去)‎ 可知函数在区间的最大值为2,最小值为-2.‎ ‎2006年 ‎(17)已知P为曲线上的一点,且P点的横坐标为1,则该曲线在点P处的切线方程是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2007年 ‎(12)已知抛物线上一点P到该抛物线的准线的距离为5,则过点P和原点的直线的斜率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(18)函数在点(1,2)处的切线方程为 ‎ ‎[,,即]‎ ‎2008年 ‎(8)曲线与直线只有一个公共点,则 ‎ ‎(A)-2或2 (B)0或4 (C)-1或1 (D)3或7‎ ‎(25)已知函数,且 ‎(Ⅰ)求的值 ‎(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值 解(Ⅰ),,‎ ‎(Ⅱ)令,得:,,‎ ‎,,,,‎ 所以,在区间上的最大值为13,最小值为4.‎ 七、平面向量 ‎2001年 ‎(18)过点且垂直于向量的直线方程为。‎ ‎ ‎ ‎2002年 ‎(17)已知向量,向量与方向相反,并且,则等于。‎ ‎ 解 设,因向量与方向相反(一种平行),故,即,‎ ‎ 将①与②组成方程组: ,解得:,故 ‎ 也可这样简单分析求解:‎ 因,,是的二倍,与方向相反,故 ‎2003年 ‎(13)已知向量、满足,,,则 ‎(A) (B) (C)6 (D)12‎ ‎2004年 ‎(14)如果向量,,则等于 ‎(A)28 (B)20 (C)24 (D)10‎ ‎2005年 ‎(14)已知向量满足,,且和的夹角为,则 ‎(A) (B) (C)6 (D)-6‎ ‎2006年 ‎(3)若平面向量,,,则的值等于 ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎2007年 ‎(3)已知平面向量,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2008年 ‎(18)若向量,,,则 八、三角的概念 ‎2001年 ‎(5) 设角的终边通过点,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ ‎ ‎(5) 已知,,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C)1 (D)-1‎ ‎2003年 ‎(4)已知,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2007年 ‎(11)设,为第二象限角,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 九、三角函数变换 ‎2002年 ‎(3) 若,,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2003年 ‎(19)函数的最大值是 ‎2004年 ‎(9) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(17)函数的最小值为 -13 ‎ ‎2005年 ‎(10)设,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2006年 ‎(12)在中,,则的值等于 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2007年 ‎(19)的值为 ‎ 十、三角函数的图像和性质 ‎2001年 ‎(14)函数的最小正周期和最大值分别是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2005年 ‎(4)函数的最小正周期是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(20)(本小题满分11分)‎ ‎(Ⅰ)把下表中的角度值化为弧度值,计算的值填入表中:‎ 的角度值 的弧度值 ‎(精确到0.0001)‎ ‎(Ⅱ)参照上表中的数据,在下面的直角坐标系中画出函数在区间上的图像 解(Ⅰ)‎ 的角度值 的弧度值 ‎0‎ ‎(精确到0.0001)‎ ‎0‎ ‎0.0019‎ ‎0.0159‎ ‎0.0553‎ ‎0.1388‎ ‎0.2929‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎2006年 ‎(18)函数的最小正周期是 ‎ ‎2007年 ‎(4)函数的最小正周期为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2008年 ‎(2)函数的最小正周期是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 十一、解三角形 ‎2001年 ‎(20) (本小题11分) 在中,已知,,,求(用小数表示,结果保留到小数点后一位)。‎ 解 , , ‎ ‎2002年 ‎(20)(本小题11分) 在中,已知,且,求(精确到)。‎ 解 ‎ ‎2003年 ‎(22)(本小题12分)‎ 如图,某观测点B在A地南偏西方向,由A地出发有一条走向为南偏东的公路,由观测点B发现公路上距观测点的C点有一汽车沿公路向A驶去,到达D点时,测得,,问汽车还要行驶多少km才可到达A地(计算结果保留两位小数)‎ 解 ‎ ‎ ∵,,‎ ‎∴是等边直角三角形,‎ ‎ ‎ 答:为这辆汽车还要行驶才可到达A地 ‎2004年 ‎(21)(本小题满分12分) 已知锐角的边长AB=10,BC=8,面积S=32.求AC的长(用小数表示,结果保留小数点后两位)‎ ‎2006年 ‎(23)(本小题12分) 已知在中,,边长,.‎ ‎ (Ⅰ)求BC的长 ‎(Ⅱ)求值 ‎ ‎ ‎ (Ⅱ)‎ ‎2007年 ‎(22)(本小题满分12分) 已知的三个顶点的坐标分别为A(2,1)、B(1,0)、C(3,0),求 ‎(Ⅰ)的正弦值;‎ ‎(Ⅱ)的面积.‎ 解(Ⅰ),‎ ‎(Ⅱ)的面积 ‎2008年 ‎(20)在中,若,,,则AB= ‎ ‎(23)如图,塔与地平线垂直,在点测得塔顶的仰角,沿方向前进至点,测得仰角,A、B相距,求塔高。(精确到)‎ 解 由已知条件得:,,‎ 十二、直线 ‎2001年 ‎(18)过点且垂直于向量的直线方程 。‎ ‎2002年 ‎(4)点关于轴的对称点的坐标为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(18)在轴上截距为3且垂直于直线的直线方程为 。‎ ‎2003年 ‎(16)点到直线的距离为 ‎ ‎2004年 ‎(4)到两定点和距离相等的点的轨迹方程为 .‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(12)通过点且与直线垂直的直线方程是 .‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(20)(本小题满分11分) 设函数为一次函数,,,求 解 依题意设,得,得,,‎ ‎2005年 ‎(16)过点且与直线垂直的直线方程为 ‎2006年 ‎(8)设一次函数的图像过点)和,则该函数的解析式为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(20)直线的倾斜角的度数为 ‎2008年 ‎(14)过点且与直线垂直的直线方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎[直线的斜率为,所求直线的斜率为,由点斜式方程可知应选(A)]‎ ‎(19)若是直线的倾斜角,则 十三、圆 ‎2006年 ‎(24)(本小题12分) ‎ 已知的圆心位于坐标原点, 与轴的正半轴交于A,与轴的正半轴交于B,‎ ‎ (Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P为上的一点,且,求点的坐标。‎ 解(Ⅰ)依题设得,,‎ 故的方程:‎ ‎(Ⅱ)因为,,所以AB的斜率为。‎ 过且平行于AB的直线方程为.‎ 由得:,‎ 所以,点的坐标为或 ‎2008年 ‎(24)已知一个圆的圆心为双曲线的右焦点,并且此圆过原点. ‎ ‎(Ⅰ)求该圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求直线被该圆截得的弦长.‎ 解(Ⅰ),‎ 双曲线的右焦点坐为 ,‎ 圆心坐标,圆半径为。‎ 圆的方程为 ‎(Ⅱ)因直线的倾角为,‎ 故 所以,直线被该圆截得的弦长为 十四、圆锥曲线 ‎2001年 ‎(3) 已知抛物线的对称轴方程为,则这条抛物线的顶点坐标为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8) 点为椭圆上一点,和是焦点,则的值为( )‎ ‎(A) 6 (B) (C) 10 (D) ‎ ‎(9) 过双曲线的左焦点的直线与这双曲线交于A,B两点,且,是右焦点,则的值为( )‎ ‎(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27 ‎ ‎, ‎ ‎(24) (本小题11分) 已知椭圆和点,设该椭圆有一关于 轴对称的内接正三角形,使得为其一个顶点。求该正三角形的边长。‎ 解 设椭圆的关于 轴对称的内接正三角形为,,则:‎ ‎,,,, ‎ ‎ ‎ 由于,所以,‎ 因,,,于是的边长为 ‎2002年 ‎(8) 平面上到两定点,距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(23)(本小题12分) 设椭圆的焦点在轴上,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两 点,使得OP所在直线的斜率为1,,若的面积恰为,求该椭圆的焦距。‎ 解 设、,因,故.又因所在直线的斜率为1,故 ‎。‎ 将代入,得:‎ ‎,即,‎ 解得:‎ 由得该椭圆的焦距:‎ ‎2003年 ‎(14)焦点、且过点的双曲线的标准方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(15)椭圆与圆的公共点的个数是 ‎(A)4 (B)2 (C)1 (D)0‎ ‎(24)已知抛物线的焦点为F,点A、C在抛物线上(AC与轴不垂直).‎ ‎(Ⅰ)若点B在抛物线的准线上,且A、B、C三点的纵坐标成等差数列,求证;‎ ‎(Ⅱ)若直线AC过点F,求证以AC为直径的圆与定圆相内切.‎ 证明:(Ⅰ)由得抛物线准线方程,‎ 设、,则 , ‎ 的斜率, 的斜率 ‎∵ , ∴ ‎ ‎(Ⅱ)设的斜率为,则A、C、F所在的直线的方程为 设、,因A、C在抛物线上(AC与轴不垂直),故满足下列方程组:‎ ‎ 将①代入②消去得:‎ ‎,,‎ 因 故 将代入②消去得:,‎ 因 故,,因此,以AC为直径的圆的圆心为 因,,故,得:‎ AC为直径的圆的半径, 又定圆心为,半径,可得 因此,这两个圆相内切 ‎2004年 ‎(6)以椭圆的标准方程为的任一点(长轴两端除外)和两个焦点为顶点的三角形的周长等于 ‎(A)12 (B) (C)13 (D)18‎ ‎(13)如果抛物线上的一点到其焦点的距离为8,则这点到该抛物线准线的距离为 ‎(A)4 (B)8 (C)16 (D)32‎ ‎(24)(本小题满分12分) 设A、B两点在椭圆上,点是A、B的中点.‎ ‎(Ⅰ)求直线AB的方程 ‎(Ⅱ)若椭圆上的点C的横坐标为,求的面积 解(Ⅰ)所求直线过点,由直线的点斜式方程得所求直线的方程为,‎ A、B两点既在直线,又在椭圆,即A、B两点的坐标满足方程组 ‎,将②代入①得:‎ 此方程的判别式:‎ 因此它有两个不等的实数根、.‎ 由得:,解得 将代入得直线AB的方程:‎ ‎(Ⅱ)将代入方程③,解得,又得,‎ 即A、B两点的坐标为A(0,1),B(2,0),于是 由于椭圆上的点C的横坐标为,故点C的坐标为C(,)‎ 点C到直线AB的距离为:‎ ‎ 或 ‎ 所以,的面积为:‎ ‎ 或 ‎ ‎2005年 ‎(5)中心在原点,一个焦点在且过点的椭圆方程是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)双曲线的焦距是 ‎(A) (B) (C)12 (D)6‎ ‎(24)(本小题满分12分)‎ 如图,设、是椭圆:长轴的两个端点,‎ 是的右准线,双曲线: ‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P为与的一个交点,直线PA1与的另一个交 点为Q,直线PA2与的另一个交点为R.求 解(Ⅰ)椭圆的半焦距,右准线的方程 ‎(Ⅱ)由P为与的一个交点的设定,得或。由于是对称曲线,故可在此两点中的任意一点取作图求,现以P进行计算。‎ 由题设和直线的两点式方程得PA1的方程为,PA2的方程为 ‎ 解 得,解 得,‎ ‎2006年 ‎(15)设椭圆的标准方程为,则该椭圆的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2007年 ‎(12)已知抛物线上一点P到该抛物线的准线的距离为5,则过点P和原点的直线的斜率为 ‎(A)或 (B) (C) (D)‎ ‎(14)已知椭圆的长轴长为8,则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为 ‎(A)8 (B)6 (C)4 (D)2‎ ‎(24)(本小题12分)已知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于3,并且过点,求:‎ ‎ (Ⅰ)双曲线的标准方程 ‎(Ⅱ)双曲线焦点坐标和准线方程 解(Ⅰ)由已知得双曲线的标准方程为,‎ 故,‎ 将点代入,‎ 得:‎ 故双曲线的标准方程为 ‎(Ⅱ)双曲线焦点坐标:,双曲线准线方程:‎ 十五、排列与组合 ‎2001年 ‎(12) 有5部各不相同的手机参加展览,排成一行,其中2部手机来自同一厂家,则此2部手机恰好相邻的排法总数为( )‎ ‎(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60‎ 解法一 分步法 ‎ ①将同一厂家的2部手机看成“一”部手机,从“四”部手机任选“四”部的排列数为;‎ ‎②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列,排列数为。‎ 根据分步计数原理,总排列数为 解法二 分类法 ‎ 将同一厂家的2部手机看成手机“”.‎ ‎①手机“”排在1位,有种排法(、、、、);‎ ‎②手机“”排在2位,有种排法;‎ ‎③手机“”排在3位,有种排法;‎ ‎④手机“”排在4位,有种排法;‎ 上述排法共24种,每种排法中手机“”各有二种排法,故总排列数为:‎ ‎2002年 ‎(11) 用0,1,2,3可组成没有重复数字的四位数共有( )‎ ‎(A)6个 (B)12个 (C)18个 (D)24个 ‎ 解法一 ①从0,1,2,3这四个数字中取出四个数字的总排列数为;‎ ‎ ②将0排在首位的排列数为,而0不能排在首位;‎ ‎ 总排列数减去0排在首位的排列数即为所求。因此,‎ 用0,1,2,3可组成没有重复数字的四位数的个数为 ‎ 解法二 第一步:从1,2,3这三个数字中任取一个排在第一位,有种取法;‎ ‎ 第二步:从剩下的三个数字中任取一个排在第二位,有种取法;‎ 第三步:从剩下的二个数字中任取一个排在第三位,有种取法;‎ 第四步:从剩下的一个数字中任取一个排在第四位,有种取法.‎ 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有。‎ ‎.‎ 解法三 第一步:从1,2,3这三个数字中任取一个排在第一位,有种取法;‎ ‎ 第二步:把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位,有种取法;‎ 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有。‎ 解法四 第一类:把0固定在个位上,1,2,3排在千位、百位、十位的排法有;‎ ‎ 第二类:把0固定在十位上,1,2,3排在千位、百位、个位的排法有;‎ ‎ 第三类:把0固定在百位上,1,2,3排在千位、十位、个位的排法有;‎ 根据分类计数原理,可组成没有重复数字的四位数的个数共有:‎ ‎2003年 ‎(7)用0,1,2,3,4组成的没有重复数字的不同3位数共有 ‎(A)64个 (B)16个 (C)48个 (D)12个 解法一 ①从0,1,2,3,4这五个数字中取出三个数字的总排列数为;‎ ‎ ②将0排在首位的排列数为,而0不能排在首位;‎ ‎ 总排列数减去0排在首位的排列数即为所求。因此,用0,1,2,3可组成没有重复数字的四位数的个数为 解法二 第一步:.从1,2,3,4这四个数字中任取一个排在第一位,有种取法;‎ ‎ 第二步:从剩下的四个数字(含0)中任取一个排在第二位,有种取法;‎ 第三步:从剩下的三个数字中任取一个排在第三位,有种取法;‎ 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有。‎ ‎.‎ 解法三 第一步:从1,2,3,4这四个数字中任取一个排在第一位,有种取法;‎ ‎ 第二步:从剩下的四个数字(含0)中任取二个排在十位、个位,有种取法;‎ 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有。‎ 解法四 第一类:把0固定在个位上,1,2,3,4中任取二个排在百位、十位的排法有;‎ ‎ 第二类:把0固定在十位上,1,2,3,4中任取二个排在百位、个位的排法有;‎ ‎ 第三类:0不参加排列,1,2,3,4中任取三个的排法有;‎ 根据分类计数原理,可组成没有重复数字的三位数的个数共有:‎ 解法五 列举法(麻烦且容易漏列,但直接明了)‎ ‎ 第一类:1排在百位的数是,共12个;‎ ‎ 第二类:2排在百位,与1排在百位同理,2排在百位的数也是12个;‎ ‎ 第三类:3排在百位,与1排在百位同理,2排在百位的数也是12个;‎ ‎ 第四类:4排在百位,与1排在百位同理,2排在百位的数也是12个;‎ 根据分类计数原理,可组成没有重复数字的三位数的个数共有:个。‎ ‎2004年 ‎(8)十位同学互赠贺卡,每人给其他同学各寄出贺卡一张,那么他们共寄出贺卡的张数是 ‎(A)50 (B)100 (C) (D)90()‎ ‎2005年 ‎(11)从4本不同的书中任意选出2本,不同的选法共有 ‎(A)12种 (B)8种 (C)6种 () (D)4种 ‎2006年 ‎(11)4 个人排成一行,其中甲、乙两人总排在一起,则不同的排法有 ‎(A)3种 (B)6种 (C)12种 () (D)24种 ‎2007年 ‎(16)在一次共有20人参加的老同学聚会上,如果每二人握手一次,那么这次聚会共握手多少次?‎ ‎(A)400 (B)380 (C)240 (D)190‎ ‎2008年 ‎(12)某学生从6门课程中选修3门,其中甲课程必选修,则不同的选课方案共有 ‎(A)4种 (B)8种 (C)10种 (D)20种 ‎(甲课程必选,从其他5门课程任选2门的组合数为)‎ 十六、概率与统计初步 ‎2001年 ‎(15)任意抛掷三枚相同的硬币,恰有一枚国徽朝上的概率是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2002年 ‎(15) 袋中装有3只黑球,2只白球,一次取出2只球,恰好黑白各一只的概率是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(19)设离散型随机变量的概率分布列是 ‎-2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ 则的数学期望是 0.3 ()。‎ ‎2003年 ‎(12)从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演,选出的全是女生的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(18)某篮球队参加全国甲级联赛,任选该队参赛的10场比赛,其得分情况如下 ‎99, 104, 87, 88, 96, 94, 100, 92, 108, 110‎ 则该篮球队得分的样本方差为 56.16 ‎ ‎2004年 ‎(11)掷两枚硬币,它们的币值面都朝上的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(19)从篮球队中随机选出5名队员,他们的身高分别为(单位cm)‎ ‎180, 188, 200, 195, 187‎ ‎ 则身高的样本方差为 47.6 ‎ ‎2005年 ‎(15)8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑,其中有2名中国选手。按随机抽签的方式决定选手的跑道,2名中国选手在相邻的跑道上的概率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(19)从一批袋装食品中抽取5袋分别称重,结果(单位:g)如下:‎ ‎98.6,100.1,101.4,99.5,102.2‎ ‎ 该样品的方差为 1.7 ()(精确到0.1)‎ 列表求解如下:‎ ‎98.6‎ ‎100.1‎ ‎101.4‎ ‎99.5‎ ‎102.2‎ -1.76‎ -0.26‎ ‎1.04‎ -0.86‎ ‎1.84‎ ‎3.0976‎ ‎0.0676‎ ‎1.0816‎ ‎0.7396‎ ‎3.3856‎ ‎2006年 ‎(16)两个盒子内各有三个同样的小球,每个盒子内的小球分别标有1,2,3这三个数字,从两个盒子中分别任意取出一个小球,则取出的两个球上所标示数字的和为3的概率是 ‎(A) (B)() (C) (D)‎ ‎(21)任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个,它们的外径分别是(单位mm)‎ ‎13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6‎ 则该样本的方差为 0.2725 ‎ ‎2007年 ‎(17)已知甲打中靶心的概率为0.8,乙打中靶心的概率为0.9,两人各打靶一次,则两人都打不中的概率为 ‎(A)0.01 (B)0.02 (C)0.28 (D)0.72‎ ‎(20)经验表明,某种药物的固定剂量会使人心率增加,现有8个病人服用同一剂量的这种药物,心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11‎ 则该样本的方差为 4.5 ‎ ‎2008年 ‎(16)5个人排成一行,则甲排在中间的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(21)用一仪器对一物体的长度重复测量5次,得结果(单位:cm)如下:‎ ‎1004 1001 998 999 1003‎ 则该样本的样本方差为 ‎5.2 cm2‎