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- 2021-05-17 发布
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成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析(五)
一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.
1.当x→0时,x2是x-1n(1+x)的( ).
A.较高阶的无穷小量
B.等价无穷小量
C.同阶但不等价的无穷小量
D.较低阶的无穷小量
2.设函数ƒ(sinx)=sin2 x,则ƒˊ(x)等于( ).
A.2cos x
B.-2sin xcosx
C.%
D.2x
3.以下结论正确的是( ).
A.函数ƒ(x)的导数不存在的点,一定不是ƒ(x)的极值点
B.若x0为函数ƒ(x)的驻点,则x0必为ƒ(x)的极值点
C.若函数ƒ(x)在点x0处有极值,且ƒˊ(x0)存在,则必有ƒˊ(x0)=0
D.若函数ƒ(x)在点x0处连续,则ƒˊ(x0)一定存在
4.
A.
B.
C.exdx
D.exIn xdx
5.函数y=ex-x在区间(-1,1)内( ).
A.单调减少
B.单调增加
C.不增不减
D.有增有减
6.
A.F(x)
B.-F(x)
C.0
D.2F(x)
7.设y=ƒ(x)二阶可导,且ƒˊ(1)=0,ƒ″(1)>0,则必有( ).
A.ƒ(1)=0
B.ƒ(1)是极小值
C.ƒ(1)是极大值
D.点(1,ƒ(1))是拐点
8.
A.ƒ(3)- ƒ(1)
B.ƒ(9)- ƒ(3)
C.1[f(3)-f(1)
D.1/3[ƒ(9)- ƒ(3)]
9.
A.2x+1
B.2xy+1
C.x2+1
D.x2
10.设事件A,B的P(B)=0.5,P(AB)=0.4,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率P(A | B)=( ).
A.O.1
B.0.2
C.0.8
D.0.9
二、填空题:11~20小题,每小题4分,共40分.把答案填在题中横线上.
11.
12.当x→0时,1-cos戈与xk是同阶无穷小量,则k= __________.
13.设y=in(x+cosx),则yˊ __________.
14.
15.
16.设ƒ(x)的导函数是sin 2x,则ƒ(x)的全体原函数是 __________.
17.
18.曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __________.
19.
20.
三、解答题:21~28小题,共70分.解答应写出推理、演算步骤.
21.
22.
23.
24.
25.(本题满分8分)一枚5分硬币,连续抛掷3次,求“至少有1次国徽向上”的概率.
26.(本题满分10分)在抛物线y2=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形,其一边在x=2 上,另外两个顶点在抛物线上,求此矩形面积最大时的长和宽,最大面积是多少?
27.(本题满分10分)设z=z(x,y)由方程ez-x2+y2+x+z=0确定,求出.
28.(本题满分10分)求由曲线y=x,y=lnx及y=0,y=1围成的平面图形的面积S,并求
此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.
参考答案及解析
一、选择题
1.【答案】应选C.
【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较.
比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限,从而确定正确的选项.本题即为计算:
由于其比的极限为常数2,所以选项C正确.
请考生注意:由于分母为x-ln(1+x),所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x,否则将导致错误的结论.
与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为:确定一个无穷小量的“阶”.例如:当x→0时,x-In(1+x)是x的
A.1/2阶的无穷小量
B.等价无穷小量
C.2阶的无穷小量
D.3阶的无穷小量
要使上式的极限存在,则必须有k-2=0,即k=2.
所以,当x→0时,x-in(1坝)为x的2阶无穷小量,选C.
2.【答案】应选D.
【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算.
本题的解法有两种:
解法1先用换元法求出ƒ(x)的表达式,再求导.
设sinx=u,则ƒ(x)=u2,所以ƒˊ(u)=2u,即ƒˊ(x)=2x,选D.
解法2将ƒ(sinx)作为ƒ(x),u=sinx的复合函数直接求导,再用换元法写成ƒˊ(x)的形式.
等式两边对x求导得
ƒˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx,ƒˊ(sin x)=2sinx.
用x换sin x,得ƒˊ(x)=2x,所以选D.
请考生注意:这类题是基本题型之一,也是历年考试中经常出现的.熟练地掌握基本概念及解题的基本方法,必能较大幅度地提高考生的成绩.为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握,特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下:
(2004年)设函数ƒ (cosx)=1+cos3x,求ƒˊ(x).(答案为3x2)
3.【答案】应选C.
【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念,驻点与极值点等概念的相互关系,熟练地掌握这些概念是非常重要的.要否定一个命题的最佳方法是举一个反例,
例如:
y=|x|在x=0处有极小值且连续,但在x=0处不可导,排除A和D.
y=x3,x=0是它的驻点,但x=0不是它的极值点,排除B,所以命题C是正确的.
4.【答案】应选A.
【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A,也可以直接求微分得到dy.
5.【答案】应选D.
【解析】本题需先求出函数的驻点,再用y″来判定是极大值点还是极小值点,若是极值点,则在极值点两侧的yˊ必异号,从而进一步确定选项.
因为yˊ=ex-1,令yˊ=0,得x=0.
又y″=ex>0,x∈(-1,1),且y″|x=0=1>0,所以x=0为极小值点,故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增,则当x∈(-1,1)时,函数有增有减,所以应选D.
6.【答案】应选B.
【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来,再确定选项.
7.【答案】应选B.
【提示】根据极值的第二充分条件确定选项.
8.【答案】应选D.
【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法.本题可以直接换元或用凑微分法.
9.【答案】应选B.
【解析】用二元函数求偏导公式计算即可.
10.【答案】应选C.
【解析】利用条件概率公式计算即可.
二、填空题
11.【答案】应填e-2.
【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件,可知k=e-2.
12.【答案】应填2.
【解析】根据同阶无穷小量的概念,并利用洛必达法则确定k值.
13.
【解析】用复合函数求导公式计算.
14.【答案】应填6.
15.
【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导.
将等式两边对x求导(此时y=y(x)),得
16.
【解析】 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念.
17.
18.【答案】应填x+y-e=0.
【解析】 先求切线斜率,再由切线与法线互相垂直求出法线斜率,从而得到法线方程.
19.【答案】 应填2π.
【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质.
20.
【提示】 将函数z写成z=ex2·ey,则很容易求得结果.
三、解答题
21.本题考查的是型不定式极限的概念及相关性质.
【解析】含变上限的型不定式极限直接用洛必达法则求解.
22.本题考查的知识点是复合函数的求导计算.
【解析】 利用复合函数的求导公式计算.
23.本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法.
【解析】 本题被积函数的分子为二项之差,一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分.
另外由于被积函数中含有根式,所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分.
解法1
解法2三角代换去根号.
24.本题考查的知识点是反常积分的计算.
【解析】 配方后用积分公式计算.
25.本题考查的知识点是古典概型的概率计算.
26.本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法.
【解析】 本题的关键是正确列出函数的关系式,再求其最大值.
解如图2-7-1所示,设A点坐标为(x0,y0),则AD=2-x0,矩形面积
27.本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法.
利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x,y,z)=ez-x2+y2+x+z,
然后将等式两边分别对x,y,z求导.考生一定要注意:对x求导时,y,z均视为常数,而对y或z求导时,另外两个变量同样也视为常数.也即用公式法时,辅助函数F(x,y,z)中的三个变量均视为自变量.
解法1直接求导法.
等式两边对x求导得
解法2公式法.
解法3微分法.
对等式两边求微分得
三种解法各有优劣,但公式法更容易理解和掌握.建议考生根据自己的熟悉程度,牢记一种方法.
28.本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法.
【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形,然后根据此图形的特点选择对x积分还是对),积分.选择的原则是:使得积分计算尽可能简单或容易算出.本题如果选择对x积分,则有
这显然要比对y积分麻烦.
在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转.历年的试题均是绕x轴旋转,而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积.
旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是:
解 画出平面图形,如图2-7-2所示的阴影部分,则有阴影部分的面积
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