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- 2021-06-15 发布
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宜昌市部分示范高中教学协作体2017年春期中联考
高二(理科)数学
(全卷满分:150分 考试用时:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题,那么¬是( )
A. B.
C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知一个线性回归方程为,其中的取值依次为1,7,5,13,19,则( )
A. B. C. D.
4.“”是“方程为双曲线的方程”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B.
C. D.
6.圆与圆的位置关系为( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
7.二项式展开式中,的系数是( )
A. B. C. D.
8.执行如右图所示的程框图,则输出的结果为( )
A. B. C. D.
9.椭圆的焦距为,则的值等于( )
A.或 B.或 C.或 D.或
10.已知,则方程是与在同一坐标系内的图形可能是 ( )
11.某班文艺晚会,准备从等个节目中选出个节目,要求:两个节目至少有一个选中,且同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序的种数为( )
A. B. C. D.
12.如图所示,在直三棱柱中,,,点分别是棱的中点,当二面角为时,直线和所成的角为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将正确答案填写在答题卡相应的位置上
13.已知抛物线的方程为,则此抛物线的焦点坐标为
14. 已知双曲线的方程为,则此双曲线的离心率为 渐近线方程为
15.已知圆,直线,圆上任意一点到直线的距离小于的概率为
16.已知矩形的长,宽,
将其沿对角线折起,得到四面体,
如图所示,给出下列结论:
①四面体体积的最大值为;
②四面体外接球的表面积恒为定值;
③若分别为棱的中点,则恒有且;
④当二面角为直二面角时,直线所成角的余弦值为;
⑤当二面角的大小为时,棱的长为.
其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本题满分10分)已知命题:函数在上为增函数;命题:
有两个不相等的实根,若为假,为真,求实数的取值范围 .
18.(本题满分12分)已知圆,直线过定点
(1) 若直线与圆相切,求直线的方程。
(2) 若直线与圆相交于两点,且,求直线的方程。
19.(本题满分12分)四棱锥中,底面为矩形,,为的中点.
(1)证明:;
(2)设,三棱锥的体积,求二面角DAEC的大小
20.(本题满分12分)某小组共人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为,,的人数分别为,,.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.
(I)设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”,求事件发生的概率;
(II)设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望.
21.(本题满分12分)已知椭圆的离心率为,,,,的面积为,
(1)求椭圆的标准方程
(2)设直线与椭圆相交于两点,是否存在这样的实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,请求出的值:若不存在,请说明理由.
22.(本题满分12分)已知,,边所在直线的斜率之积为定值,
(1)求动点的轨迹方程;
(2)当时,过点的直线与曲线相交于两点,求两点的中点的轨迹方程
理科数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
A
D
A
B
B
C
B
A
C
B
13、 14、, 15、 16、②③④
17、解:若为真,则,-------------------------------------------------2分
若为真,则
即或,-------------------------------------------4分
又为假,为真,
则为真为假,或为假为真,----------------------------------------------------5分
当为真为假时,------------------------------------------7分
当为假为真时,-----------------------------------------9分
综上可得或-----------------------------------------------------------------10分
18、解:(1)圆的圆心,半径为2,
当直线的斜率不存在时,为,显然满足条件,-----------------------------------2分
当直线的斜率存在时,设的方程为即------------------3分
圆心到的距离,所以,的方程为
综上得所求的方程为或.-------------------------------------------------6分
(2)由题意得圆心到的距离为-------------------------------------------------------------8分
由(1)知当直线的斜率不存在时,不满足题意-----------------------------------------------9分
当直线的斜率存在时,设的方程为即
圆心到的距离,所以,-----------------------------11分
的方程为或-------------------------------------------------------------12分
19、解:(1)连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点
又E为的PD的中点,所以EO//PB
EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC------------------------------------------4分
(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直
如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz,
三棱锥的体积, -------------------5分
则A(0, 0 ,0), D(0, ,0),B(,0,0),E(0, ,),C (, ,0),
则=(0, ,), =(, ,0),--------------------------------------------------------7分
设为平面ACE的法向量,
则 即
令,得,,则------------------------------------------9分
又为平面DAE的法向量,
,-------------------------------------------------------11分
如图可得二面角为锐角,所以二面角为---------------------12分
20、解:由已知得:
所以,事件发生的概率为.--------------------------------------------------------------------5分
随机变量的所有可能取值为-------------------------------------------------------6分
,----------------------------7分
,------------------------8分
.------------------------------------9分
所以,随机变量分布列为
随机变量的数学期望.-----------------12分
21、解:(1)由题意得: 解得
所以椭圆的标准方程为------------------------------------------------------------5分
(2)假设存在这样的实数,使其满足题意,设
联立方程组,----------------------------------------------------------------------6分
消去得:,
由题意得:是此方程的解
所以
--------------------------------------------------------9分
因为为直径的圆过原点,
所以,即
解得,所以假设不成立,
所以,不存在这样的实数,使得以为直径的圆过原点.-------------------------12分
22、解:以边所在直线为轴,以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系
则
(1) 设点的坐标为,
则
----------------------------------------------------------------------------------2分
当时,动点的轨迹方程为,
表示轴所在直线去掉两点剩下的部分--------------------------------------------3分
当时,动点的轨迹方程为
表示焦点在轴上的双曲线去掉两点剩下的部-----------------------------------4分
当时,动点的轨迹方程为
表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分-----------------------------------5分
当时,动点的轨迹方程为
表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分------------------------------------6分
当时,动点的轨迹方程为
表示以为直径的圆去掉两点剩下的部分---------------------------------------7分
(2)当时,动点的轨迹方程为,--------------------8分
当直线的斜率不存在时,显然不可能与有交点,舍去;
当直线的斜率存在时,设的方程为,设,
联立方程组,
消去得:
由题意得:是此方程的解
所以
所以
,所以得---------------------------------------------------------------10分
又直线与动点的轨迹方程有两个不同的焦点,
则 且且,
或
所以两点的中点的轨迹方程为
或---------------------------------------------12分