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- 2021-06-15 发布
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3.4.3 简单线性规划的应用
[A 基础达标]
1.某学校用800元购买A、B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A、B两种教学用品应各买的件数为( )
A.2件,4件 B.3件,3件
C.4件,2件 D.不确定
解析:选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件,剩下的钱为z元,
则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).
2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )
A.5种 B.6种
C.7种 D.8种
解析:选C.设购买软件x片,磁盘y盒,则画出线性约束条件表示的平面区域,可行域内的整点有(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2)共7个整点.
3.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元.对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A.36万元 B.31.2万元
C.30.4万元 D.24万元
解析:选B.设对项目甲投资x万元,对项目乙投资y万元,
则
目标函数z=0.4x+0.6y.作出可行域如图所示,由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值,代入得zmax=0.4×24+0.6×36=31.2,所以选B.
8
4.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工.每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
解析:选B.设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱(x,y∈N),根据题意,得约束条件
画出可行域如图.目标函数z=280x+200y,
即y=-x+,
作直线y=-x并平移,得最优解A(15,55).
所以当x=15,y=55时,z取最大值.
5.车间有男工25人,女工20人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组要求有5名男工,3名女工,乙组要求有4名男工,5名女工,并且要求甲种组数不少于乙种组数,乙种组数不少于1组,则要使组成的组数最多,甲、乙各能组成的组数为( )
A.甲4组、乙2组 B.甲2组、乙4组
C.甲、乙各3组 D.甲3组、乙2组
解析:选D.设甲种x组,
乙种y组.则
8
总的组数z=x+y,作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分,寻找整点分析,x=3,y=2时,为最优解.
6.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
解析:由题意,设产品A生产x件,产品B生产y件,利润z=2 100x+900y,线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示,又由x∈N,y∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100),所以zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).
答案:216 000
7.小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具,作为礼品送给山区的学生.已知科普书每本6元,文具每套10元,并且买的文具的数量不少于科普书的数量.那么最多可以买的科普书与文具的总数是________.
解析:设买科普书x本,文具y套,总数为z=x+y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示,
将z=x+y化为y=-x+z,作出直线y=-x并平移,使之经过可行域,易知经过点A
8
时,纵截距最大,但因x,y均属于正整数,故取得最大值时的最优解应为(18,19),此时z最大为37.
答案:37
8.某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品,甲种产品每件体积为5 m3,重量为2吨,运出后,可获利润10万元;乙种产品每件体积为4 m3,重量为5吨,运出后,可获利润20万元,集装箱的容积为24 m3,最多载重13吨,装箱可获得最大利润是________.
解析:设甲种产品装x件,乙种产品装y件(x,y∈N),总利润为z万元,
则且z=10x+20y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.
作直线l0:10x+20y=0,即x+2y=0.当l0向右上方平移时z的值变大,平移到经过直线5x+4y=24与2x+5y=13的交点(4,1)时,zmax=10×4+20×1=60(万元),即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大,最大利润为60万元.
答案:60万元
9.A,B两仓库各有麻袋50万个、30万个,现需调运到甲地40万个,乙地20万个,已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个,180元/万个,从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个,150元/万个,怎样安排调运,能使总运费最少?最少总运费为多少?
解:设从A仓库调运x万个到甲地,y万个到乙地,则从B仓库调40-x万个到甲地,20-y万个到乙地,总运费记为z元,
则有
z=120x+180y+100(40-x)+150(20-y),
即z=20x+30y+7 000,作出可行域及直线l0:20x+30y=0,经平移知直线经可行域上点M(30,0)时与原点距离最小,即x=30,y=0时,z有最小值,zmin=20×30+30×0+7 000=7 600(元),即从A仓库调运30万个到甲地,从B仓库调运10万个到甲地,20万个到乙地总运费最小,其最小值为7 600元.
8
10.雾霾大气严重影响人们的生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品,策划部制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且还要考虑可能出现的亏损,经过市场调查,公司打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%,可能的最大亏损率分别为20%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元.
(1)若投资人用x万元投资甲项目,y万元投资乙项目,试写出x,y所满足的条件,并在直角坐标系内作出表示x,y范围的图形.
(2)根据(1)的规划,投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
解:(1)由题意,知x,y满足的条件为
上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界).
(2)根据第一问的规划和题设条件,可知目标函数为z=x+0.6y.
如图所示,作直线l0:x+0.6y=0.
当直线l0经平移过直线x+y=10与0.2x+0.1y=1.6的交点A时,其纵截距最大,解方程组解得
即A(6,4),此时z=6+0.6×4=8.4(万元),
所以当x=6,y=4时,z取得最大值.
即投资人用6万元投资甲项目,4万元投资乙项目,才能确保亏损不超过1.6万元,且使可能的利润最大.
[B 能力提升]
11.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg,生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg,B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )
8
A.500元 B.700元
C.400元 D.650元
解析:选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x,y件,
则x,y满足
利润z=30x+20y.
不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点,根据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x+2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zmax=30×15+20×10=650.
12.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务,该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元,B型卡车为504元.每天调配A型卡车______辆,B型卡车______辆,可使公司所花的成本费用最低.
解析:设每天调出A型卡车x辆,B型卡车y辆,公司所花的成本为z元,依题意有
目标函数z=320x+504y(其中x,y∈N).
作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分,即可行域.
由图易知,直线z=320x+504y在可行域内经过的整数点中,点(8,0)使z=320x+504y
8
取得最小值,
zmin=320×8+504×0=2 560(元).
答案:8 0
13.某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂,流经第一化工厂的河流流量为500万m3/天,在两个化工厂之间还有一条流量为200万m3/天的支流并入大河(如图).第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m3;第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m3,从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前,有20%可自然净化.环保要求:河流中工业废水的含量应不大于0.2%,因此,这两个工厂都需各自处理部分工业废水,第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万m3,第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m3.试问:在满足环保要求的条件下,两个化工厂应各自处理多少工业废水,才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小?
解:设第一化工厂每天处理工业废水x万m3,
需满足:≤0.2%,0≤x≤2;
设第二化工厂每天处理工业废水y万m3,需满足:
≤0.2%,0≤y≤1.4.
两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z=1 000x+800y元.
问题即为:在约束条件
即
8
求目标函数z=200(5x+4y)的最小值.如图,作出可行域.可知当x=1,y=0.8时目标函数有最小值,即第一化工厂每天处理工业废水1万m3,第二化工厂每天处理工业废水0.8万m3,能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小.
14.(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.
解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+, 这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组得点M的坐标为(20,24).
所以zmax=2×20+3×24=112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.
8