专题53 坐标系（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料 8页

‎1．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径。‎ 解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy。圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，可得ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－4＝0，‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径r＝。‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝。‎ ‎(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。‎ 当且仅当θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号。‎ ‎∴Q点到直线l距离的最小值为。‎ ‎3．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合。若直线的极坐标方程为ρsin＝3。‎ ‎(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；‎ ‎(2)已知P为椭圆C：＋＝1上一点，求P到直线的距离的最大值。‎ 解析：(1)把直线的极坐标方程为ρsin＝3展开得ρ＝3，化为ρsinθ－ρcosθ＝6，得到直角坐标方程x－y＋6＝0。‎ ‎(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，‎ ‎∴可设P(4cosα，3sinα)，‎ 利用点到直线的距离公式得 d＝＝≤＝。‎ 当且仅当sin(α－φ)＝－1时取等号，‎ ‎∴P到直线的距离的最大值是。‎ ‎4．在极坐标系xOy中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2。‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值。‎ ‎∴曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值为1＋。‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积。‎ 解析：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0。‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，‎ 解得ρ1＝2，ρ2＝。‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝。‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为。‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：ρ2－4ρcosθ＋2＝0。‎ ‎(1)将极坐标方程化为普通方程；‎ ‎(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值。‎ ‎∴(x＋y)∈[0,4]，其最大值、最小值分别为4,0。‎ ‎7．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a＞0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点。‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值。‎ 解析：(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a＞0)，变形ρ2＝2ρacosθ，化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2。‎ ‎∴曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆。‎ 由l：ρcos＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，‎ ‎∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0。‎ 由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1。‎ ‎(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cos，‎ 当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2。‎ ‎8．在极坐标系中，设圆C1：ρ＝4cosθ与直线l：θ＝(ρ∈R)交于A，B两点。‎ ‎(1)求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；‎ ‎(2)在圆C1上任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值。‎ ‎9．在极坐标系中，求点到直线ρsin＝1的距离．‎ 解：点化为直角坐标为(，1)，‎ 直线ρsin＝1化为ρ＝1，‎ 得y－x＝1， ‎ 即直线的方程为x－y＋2＝0，‎ 故点(，1)到直线x－ y＋2＝0的距离d＝＝1.‎ ‎10．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎11．在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．‎ 解：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.‎ 直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x，‎ 结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．‎ 圆心(0，4)到直线y＝x的距离为＝2，又圆的半径r＝4，‎ 所以圆上的点到直线的最大距离为6.‎ ‎12．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R(2 ，)．‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ 此时点P的直角坐标为(，)．‎ ‎13．从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．‎ 解：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)则ρρ0＝12.‎ ‎∵ρ0cos θ＝4，‎ ‎∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程．‎ ‎(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，‎ 得x2＋y2＝3x，‎ 即＋y2＝.‎ 知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．‎ 直线l的直角坐标方程是x＝4.‎ 结合图形易得|RP|的最小值为1.‎ ‎ ‎