【数学】2019届一轮复习人教A版理第6章第5节　直接证明与间接证明教案 7页

第五节　直接证明与间接证明 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．‎ ‎(对应学生用书第99页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 框图表示 →→…→ →→…→ 文字语言 因为……所以……或由……得……‎ 要证……只需证……即证……‎ ‎2.间接证明 反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(2)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．(　　)‎ ‎(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)‎ ‎(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．用分析法证明时出现：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的(　　)‎ A．充分条件　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由题意可知②⇒①，故①是②的必要条件．]‎ ‎3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A．]‎ ‎4．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)‎ A．都大于2‎ B．都小于2‎ C．至少有一个不大于2‎ D．至少有一个不小于2‎ D　[∵＋＋ ‎＝＋＋≥6，‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号，‎ ‎∴三个数中至少有一个不小于2.]‎ ‎5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．‎ 等边　[由题意2B＝A＋C，‎ 又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ ‎∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，‎ ‎∴A＝C，∴A＝B＝C＝，‎ ‎∴△ABC为等边三角形．]‎ ‎(对应学生用书第100页)‎ 综合法 ‎　(2017·江苏高考)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．‎ ‎(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；‎ ‎(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．‎ ‎[证明]　(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则 an＝a1＋(n－1)d，‎ 从而，当n≥4时，‎ an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d ‎＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，‎ 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，‎ 因此等差数列{an}是“P(3)数列”．‎ ‎(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，‎ 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an， ①‎ 当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ②‎ 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)， ③‎ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)． ④‎ 将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，‎ 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.‎ 在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，‎ 在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，‎ 所以数列{an}是等差数列．‎ ‎[规律方法]　用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写.综合法的适用范围：‎ (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；‎ (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.‎ ‎[跟踪训练]　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.‎ 证明：(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1. 【导学号：97190211】‎ ‎[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，‎ 即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 所以＋＋≥1.‎ 分析法 ‎　已知函数f(x)＝3x－2x，求证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.‎ ‎[证明]　要证明≥f，即证明≥3－2·，因此只要证明－(x1＋x2)≥3－(x1＋x2)，即证明≥3，‎ 因此只要证明≥，‎ 由于x1，x2∈R，所以3x1＞0,3x2＞0，‎ 由基本不等式知≥成立，故原结论成立．‎ ‎[规律方法]　1.分析法的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.‎ ‎2.利用分析法证明问题的思路与书写格式 分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性.‎ ‎[跟踪训练]　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ ‎[证明]　要证＋＝，‎ 即证＋＝3，也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ 反证法 ‎　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，‎ 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0