【数学】2018届一轮复习人教A版第52讲立体几何里寻找平行线或垂线的方法学案 5页

‎【知识要点】‎ 立体几何里寻找平行线或垂线的方法一般有两种：在平面的已知线里找和在平面里构造辅助线.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 在平面的已知线段里寻找 使用情景 平面里存在满足题意的平行线或垂线.‎ 解题步骤 对平面里的线逐一研究，找出满足题意的平行线或垂线.也可以直接研究那些有平行关系或垂直关系的直线.‎ ‎【例1】如图，在三棱锥中，，平面，,分别为,的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）由于,分别为,的中点，所以由中位线定理得到,‎ 就是平面内和平行的直线，所以本题是直接在已知平面内找平行直线.（2）第2问证明面面垂直，要在其中一个平面内找一条直线和另外一个平面垂直，先在已知直线里找，直线就满足题意，因为可以证明，.‎ ‎【反馈检测1】如图，在三棱锥中，分别为棱，，的中点．已知，，,.‎ 求证：（1）直线；（2）平面⊥平面．‎ 方法二 在平面里构造辅助线 使用情景 平面里已知的直线中不存在满足题意的平行线或垂线.‎ 解题步骤 把平行线平移到平面的特殊点（中点等），构造辅助的平行线；发挥想象力，把平面的垂线平移到平面的特殊点，构造辅助的垂线.‎ ‎【例2】如图，底面为正三角形，面， 面，，设为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（2）为正三角形，为中点，，‎ 面，面，，‎ 面，面，‎ ‎，面，‎ 为在面上的射影，‎ 所以为直线与平面所成角，‎ 在中，，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． ‎ ‎【点评】通过观察分析，平面内的已知直线中不存在和平行的直线，所以要构造新的直线和平行，发挥想象力，把往平面 内平移（可以把你的笔当作直线比划），平移到点处时，好像可以，所以取的中点H,再证明.学 ‎ ‎【反馈检测2】已知侧棱垂直于底面的四棱柱,的底面是菱形，且，点为棱的中点，点为线段的中点.‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)求证：平面⊥平面.‎ D1‎ A111‎ A B C D B1 ‎ C1‎ F M ‎ ‎ ‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第52讲：‎ 立体几何里寻找平行线或垂线的方法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【反馈检测2详细解析】（1）延长交的延长线于点，连接.‎ ‎∵是的中点，∴为的中点，为的中点，‎ ‎∴又因为为线段的中点，∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∥平面.‎ 连接BD，由题知平面AB-CD，又平面，.‎ 四边形为菱形，.‎ 又,平面,平面,平面.‎ 在四边形中，,且,，四边形为平行四边形，，平面.又平面，平面⊥平面.‎