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  • 2021-06-15 发布

数学理卷·2018届福建省龙海第二中学高二上学期期末考试(2017-01)

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龙海二中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二数学(理科)试卷 (考试时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 A、B、C、D 的四个 选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号填到答题卷相应位置.) 1.高三(1)班有学生 52 人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号、31 号、44 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是(   ) A.8       B.13       C.15         D.18 2.下列命题中,真命题是(   ) A.∀x∈R,x2>0  B.∀x∈R, 1 1i i= + 输出s 结束 否 是 第 6 题 2( 1)s s= + A.在区间( 2,1)上 f(x)是增函数 B.在(1,3)上 f(x)是减函数 C.在(4,5)上 f(x)是增函数 D.当 x=4 时,f(x)取极大值 10.函数 是定义域为 的函数,对任意实数 都有 成立.若当 时 , 不 等 式 成 立 , 设 , , ,则 , , 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 11.如图,在正三棱柱 中,若 , 则异面直线 与 所成 角的余弦值为( ) A. B. C. D. 12. 为 坐 标 原 点 , 为 抛 物 线 的 焦 点 , 为 上 一 点 ,若 ,则 的面积为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卷相应横线上.) 13. 已 知 命 题 : 任 意 , 则 非 是 _________________________ . 14. 正方体 的 棱长为 ,在正方体内随机取一点 ,则点 落 在三棱锥 内的概率为 . 15. 已知 为原点,椭圆 上一点 到左焦点 的距离为 4, 是 的中点.则 = .  16.对于函数 (1) 是 的单调递减区间; (2) 是 的极小值, 是 的极大值; (3) 有最大值,没有最小值; (4) 没有最大值,也没有 最小值.其中判断正确的是 . 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.解答写在答题卡 ( )f x x ( ) (2 )f x f x= − 1x ≠ ( 1) ( ) 0x f x′− ⋅ < (0.5)a f= 4( )3b f= (3)c f= a b c b a c> > cba >> abc >> bca >> − R ABC A B C′ ′ ′− 2AA AB′ = AB′ BC′ 0 3 8 3 5 7 10 O F 2: 4 2C y x= P C 4 2PF = POF∆ 2 2 2 2 3 4 p ,sin 1x R x∈ ≤ p 1111 DCBAABCD − a M M 111 BCAB − O 2 2 125 9 x y+ = P 1F M 1PF OM 2( ) (2 ) xf x x x e= − ( 2, 2)− ( )f x ( 2)f − ( )f x ( 2)f ( )f x ( )f x ( )f x (第 9 题图) 上的指定区域内.) 17.(本小题满分 10 分)某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间, 将测试结果按如下方式分成五组;第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100], 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 60 且小于 80,认为合 格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有 学 生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m、n,求事件“|m n|>10”的概率. 18.(本小题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准 线的距离为 2. (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)若直线 与抛物线相交于 A,B 两点,求 AB 的长度. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 处取得极值为 c 16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[ 3,3]上的最小值. 20.(本题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (1)证明 AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1 C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. − 12: += xyl − − x y C B NM T O A 21.( 本 题 满 分 12 分)已 知 函 数 . (Ⅰ)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,求函数 的 单调区间; (Ⅱ)若对于 都有 成立,试求 的取值范围; 22.(本题满分 12 分)如图,圆 与 轴相切于点 ,与 轴正半轴相交于两点 (点 在点 的左侧),且 . (Ⅰ)求圆 的方程; (Ⅱ)过点 任作一条直线与椭圆 相交于两点 ,连接 ,求证: . 龙海二中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二数学(理科)参考答案 2( ) ln 2 0)f x a x ax = + − > ( ( )y f x= (1, (1))P f 2y x= + ( )y f x= (0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a> − a 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B A A C B A C A D C C y ( )0,2T x ,M N M N 3MN = C M 2 2 : 14 8 x yΓ + = A B、 AN BN、 ANM BNM∠ = ∠ 13.存在 14..      15.  3 16.②③ 17. (1)由直方图知,成绩在[60,80)内的人数为 50×10×(0.018+0.040)=29, 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有 29 人..............4 分 (2)由直方图知,成绩在[50,60)的人数为 50×10×0.004=2,设成绩为 x、y;成绩在[90,100] 的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, 若 m、n∈[50,60),则只有 xy 一种情况..............5 分 若 m、n∈[90,100],则有 ab、bc、ac 三种情况,..............6 分 若 m、n 分别在[50,60)和[90,100]内,则有   a   b   c x  xa  xb  xc  共 6 种情况. y  ya  yb  yc..............8 分 所以基本事件总数为 10 种,事件“|m-n|>10”所包含的基本事件有 6 种,.......9 分 ∴P(|m-n|>10)= 6 10=3 5...............10 分 18.解(1)由题意可知 p=2。……2 分∴抛物线标准方程为:x2=4y…………5 分 (2)直线 l:y=2x+l 过抛物线的焦点 ,设 联立 得 x2-8x-4=0………………8 分 ∴x1+x2=8……………10 分 ∴ ……………12 分 19.[解析]  (1)∵f(x)=ax3+bx+c,∴f ′(x)=3ax2+b,..............1 分 ∵f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ∴Error!即Error!..............3 分 化简得Error!解得Error!..............5 分 (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c,f ′(x)=3x2-12, 令 f ′(x)=0,得 x1=-2,x2=2, 当 x∈(-∞,-2)时,f ′(x)>0,f(x)在(-∞,-2)上为增函数,..............6 分 当 x∈(-2,2)时,f ′(x)<0,f(x)在(-2,2)上为减函数,..............7 分 1,sin 00 >∈ xRx 6 1 )1,0(F ),(),( 2211 yxByxA ,    = += yx xy 4 12 2 204)(2212122 212121 =++=++++=++= xxxxyyAB 当 x∈(2,+∞)时 f ′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上为增函数..............8 分 故 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x2=2 处取得极小值 f(2)=c-16, 由题设条件知 16+c=28 得 c=12,..............10 分 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4, 因此 f(x)上[-3,3]的最小值为 f(2)=-4. ..............12 分 20. (1) 证明:取 AB 中点 E,连结 CE, , , ∵AB= , = ,∴ 是正三角形, ∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 , ∴AB⊥ ; ..............5 分 (2)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, ⊥AB, 又∵面 ABC ⊥面 , 面 ABC∩ 面 =AB, ∴EC ⊥面 , ∴EC ⊥ , ..............6 分 ∴EA,EC, 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长 度,建立如图所示空间直角坐标系 , ..............7 分 有题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则 =(1,0, ), = =(-1,0, ), =(0,- , ), ..............8 分 设 = 是平面 的法向量, 则 ,即 ,可取 =( ,1,-1), ..............9 分 ∴ = , ..............11 分 ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .............12 分 1A B 1A E 1AA 1BAA∠ 060 1BAA∆ 1A E 1CE A E∩ 1CEA 1AC 1EA 1 1ABB A 1 1ABB A 1 1ABB A 1EA 1EA EA x EA O xyz− 1A 3 3 BC 3 1BB 1AA 3 1AC 3 3 n ( , , )x y z 1 1CBB C 1 0 0 BC BB  • = • =   n n 3 0 3 0 x z x y  + = + = n 3 1cos , ACn 1 1 | AC AC •   n | n || 10 5 10 5 x y C B NM T O A 21. (12 分) 解: (I) 直线 的斜率为 1.函数 的定义域为 , ∵ , ∴ , ∴ . ∴ . .由 解得 ;由 解得 . ∴ 的单调增区间是 ,单调减区间是 . ..............5 分 (II) ,由 解得 ;由 解得 . ∴ 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. ..............7 分 ∴当 时,函数 取得最小值, ...............8 分 ∵对于 都有 成立,∴ 即可. ..............10 分 则 . 由 解得 .∴ 的取值范围是 . .............12 分 22.(本小题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)设圆 的半径为 ( ),依题意,圆 心坐标为 . ..............1 分 ∵  ∴  ,解得 ............................3 分 ∴ 圆 的方程为 ...............5 分 (Ⅱ)把 代入方程 ,解得 ,或 , 即点 , . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 (1)当 轴时,由椭圆对称性可知 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 (2)当 与 轴不垂直时,可设直线 的方程为 . 联立方程 ,消去 得, .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 设直线 交椭圆 于 两点,则 , . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 ∵  , ∴  2y x= + ( )f x (0, )+∞ 2 2( ) af x x x ′ = − + 2 2(1) 11 1 af ′ = − + = − 1a = 2( ) ln 2f x xx = + − 2 2( ) xf x x −′ = ( ) 0f x′ > 2x > ( ) 0f x′ < 0 2x< < ( )f x (2, )+∞ (0,2) 2 2 2 2( ) a axf x x x x −′ = − + = ( ) 0f x′ > 2x a > ( ) 0f x′ < 20 x a < < ( )f x 2( , )a + ∞ 2(0, )a 2x a = ( )f x min 2( )y f a = (0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a> − 2( ) 2( 1)f aa > − 2 2ln 2 2( 1)2 a aa a + − > − 2lna aa > 20 a e < < a 2(0, )e C r 0r > ( ,2)r 3MN = 2 2 23 22r  = +   2 25 4r = C ( )2 25 2522 4x y − + − =   0y = ( )2 25 2522 4x y − + − =   1x = 4x = ( )1,0M ( )4,0N AB x⊥ ANM BNM∠ = ∠ AB x AB ( )1y k x= − ( ) 2 2 1 2 8 y k x x y  = −  + = y ( )2 2 2 22 2 8 0k x k x k+ − + − = AB Γ ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y、 2 1 2 2 2 2 kx x k + = + 2 1 2 2 8 2 kx x k −⋅ = + ( ) ( )1 1 2 22 , 2y k x y k x= − = − ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2 1 1 4 4 4 4AN BN k x k xy yk k x x x x − −+ = + = +− − − − 第 22 题图 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ∵ , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 ∴  , . 综上所述, .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 2 1 4 1 4 4 4 k x x k x x x x − − + − −= − − ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 8 101 4 1 4 2 5 8 8 02 2 k kx x x x x x x x k k − − − + − − = − + + = − + =+ + 0AN BNk k+ = ANM BNM∠ = ∠ ANM BNM∠ = ∠