四川省宜宾市第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（文）试题 10页

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为 ‎ ‎ ‎ A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元 ‎4．等差数列的前项的和等于前项的和，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．将三个数，，从小到大排列得 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数的图象以下说法正确的是 ‎ A．最大值为1，图象关于直线对称 B．在上单调递减，为偶函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为，图象关于点对称 ‎7．已知，在区间上任取一个实数，则的概率为 ‎ A． B． C． D．[来 ‎8．若，则cos2α=‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为 A．2 B． ‎ C．1 D．‎ ‎10．对于函数的图象，下列说法正确的是 ‎ A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 ‎11．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若实数满足约束条件，则的最大值为__________.‎ ‎14．已知函数的图象在点处的切线为，______．‎ ‎15．已知，则的值为____________.‎ ‎16．在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷，现从某市使用和两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：‎ ‎(I)已知抽取的100个使用未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；‎ ‎(II)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；‎ ‎(III)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从和两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥ABCD中，和都是等边三角形，平面PAD平面ABCD，且，．‎ ‎（I）求证：CDPA；‎ ‎（II）E，F分别是棱PA，AD上的点，当平面BEF//平面PCD时，求 四棱锥的体积．[来源:Zxxk.Com]‎ P D A E B C F ‎19．（12分）在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）设，.若在边上，且，求的长.‎ ‎20．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数.‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，为椭圆上两点，圆.‎ ‎（Ⅰ）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）求直线l及曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.‎ P D A E B C F ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，，且的解集为 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证 ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 文科数学参考答案 ‎1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．C 10．D 11．A 12．A ‎13． 14．1 15． 16．‎ ‎17．解：（1）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有个，分别记为甲，从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,.‎ 甲商家被抽到的情况如下：共10种．‎ ‎,,,,,,,,,记事件为甲商家被抽到，则.‎ ‎（2）依题意可得，使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为 ‎.‎ ‎（3）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ‎，所以选款订餐软件．‎ ‎18．证明：（I）因为，， ，所以， ，且．又是等边三角形，所以，即．…3分 因为平面平面， 平面平面，平面 所以平面． 所以CDPA． ……6分 ‎（II）因为平面BEF//平面PCD，所以BF//CD， EF//PD，且． ……8分 又在直角三角形ABD中，DF=，所以． ‎ 所以． ……10分 由（I）知平面，故四棱锥的体积．…12分 ‎19：（1）因为，由正弦定理可得，‎ 化简得：，‎ 所以，即.‎ 又因为，所以.则.‎ 因为，所以，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 因为，所以，即，‎ 因为，即，所以.‎ 在中，，‎ 由余弦定理得：，‎ 则，所以.‎ ‎20．解：（Ⅰ）因为， ‎ ‎①当时，，所以在上是增函数，无最小值； ‎ ‎②当时，又得，由得 ‎∴在上是减函数，在上是增函数， ‎ 若，则在上是减函数，则；‎ 若，则在上是减函数，在上是增函数，∴‎ 综上：当时，的最小值为； 当时，的最小值为 ‎（Ⅱ）由得 令，则，由得，由得，所以在上是减函数，在上是增函数，‎ 且，且，当时，，‎ 所以，当时，无有零点；当或时，有1个零点；‎ 当时，有2个零点.‎ ‎21．解：（1）因为椭圆的方程为，所以，，因为轴，所以， ‎ 根据对称性，可取， 则直线的方程为，即. ‎ 因为直线与圆相切，得，所以圆的方程为 .‎ ‎（2）圆的半径为2，可得圆的方程为. ‎ ‎①当轴时，，所以，得，‎ 此时得直线被圆截得的弦长为. ‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 首先由，得，‎ 即，所以（*）. ‎ 联立，消去得，‎ 在时，，代入（*）式，得，‎ 由于圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.综上，因为，‎ 所以直线被圆截得的弦长的最大值为. ‎ ‎22．（1）消去直线l参数方程中的t，得，‎ 由，得直线l的极坐标方程为，故．‎ 由点Q在OP的延长线上，且，得，设，则，‎ 由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为．‎ ‎（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，‎ 所以，， ‎ 所以，‎ 所以当时，取得最大值，为．‎ ‎23．，，故，由题意可得的解集为，即的解集为，故．‎ ‎（2）由，，，且，∴‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立．所以.‎