湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学（理）（五）试卷 11页

湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学（理）（五）试卷 理科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设,,，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线的两个实轴顶点为，点为虚轴顶点，且，则双曲线的离心率的范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知向量，函数在区间上单调，且的最大值是，则 （ ）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎7．如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 （ ）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎8．设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则 （ ）‎ A．6 B．16 C．24 D．48‎ ‎9．设满足约束条件，则的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知数列满足,，‎ 则展开式中的常数项为 （ ）‎ A． B． C．80 D．160‎ ‎11．如图，已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．已知抛物线，是上的一点，若焦点关于的对称点落在轴上，则 .‎ ‎14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为 其中为上底边长，为下底边长，为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有层，最下层(即下底)由个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：根据以上材料，我们可得 .‎ ‎15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为，则俯视图的面积为 .‎ ‎16．在中，分别是的中点，且，若 的面积不小于，则的最小值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）已知数列的前项和记为,，；‎ 等差数列中，且的前项和为，.‎ ‎（1）求与的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，求的前项和.‎ ‎18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”‎ 传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.‎ ‎（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：‎ 京剧票友 一般爱好者 合计 ‎50岁以上 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50岁以下 ‎3‎ ‎12‎ ‎15‎ 合计 ‎18‎ ‎22‎ ‎40‎ 试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？‎ ‎（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜次，求随机变量的分布列与期望.‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：‎ ‎19．（12分）在如图（1）梯形中，，‎ 过作于，，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线与轴的交点为,过点的直线与椭圆相交与两点，连接点并延长,交轨迹于一点.求证：.‎ ‎21．（12分）已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，对于，的值域为，若，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 已知直线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，将直线向右平移2个单位后得到直线，又点的极坐标.‎ ‎（1）求直线以及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求三角形的面积值.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.‎ 数学答案与解析 ‎1．【答案】B【解析】因为，所以．‎ ‎2．【答案】C【解析】由得，所以，所以对应的点在第三象限.‎ ‎3．【答案】A【解析】因为幂函数在区间上是奇函数，所以，‎ 即，因为，又为增函数，所以.‎ ‎4．【答案】A【解析】根据题意，，所以为钝角，所以，所以.‎ ‎5．【答案】C【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；，‎ 所以.‎ ‎6．【答案】D【解析】‎ ‎，‎ 由题意：,,，即，‎ 所以.‎ ‎7．【答案】C【解析】输入的，程序框图运行如下：‎ ‎，;，；‎ ‎，;，；‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，；所以输出的 ‎8．【答案】B【解析】因为，在向量的射影为，‎ 所以.‎ ‎9．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 令，则表示点和两点的距离，由图可得，,‎ 联立，解得，所以 过作于，则，故.‎ ‎10．【答案】D【解析】因为，所以数列为等比数列，所以，所以，‎ 所以，其中展开式的第r+1项为,令，得（舍去），令可得，所以二项式展开式中常数项为．‎ ‎11．【答案】B【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以几何体的体积为.‎ ‎12．【答案】B【解析】当时，，所以，又时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，‎ ‎.;‎ ‎，所以的值域为，设与相切时的切点为，所以切线方程为，代入，得，‎ 故切线的斜率为，所以与的图象如下：‎ 根据题意，，故，所以实数的取值范围为.‎ ‎13．【答案】6【解析】根据题意，为的中点，所以的横坐标为，所以.‎ ‎14．【答案】【解析】观察规律令，可得.‎ ‎15．【答案】【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为，几何体的体积为，即点到平面的距离为，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为，‎ ‎16．【答案】【解析】根据题意，画出图形，如图所示：‎ 又点分别为的中点，则，‎ 所以在中，由余弦定理得 ‎,，‎ 所以，‎ 又若的面积不少于6，‎ 所以 当取最大时，有最小值，最小值为.‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1），‎ 又，，所以数列为等比数列，（3分）‎ 设数列的公差为，.（6分）‎ ‎（2）由题意得：（9分）‎ 所以前项和.（12分）‎ ‎18．【解析】‎ ‎（1）因为，（3分）‎ 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.‎ ‎（5分）‎ ‎（2）由题意，随机变量的取值分别为.（6分）‎ ‎,，‎ ‎,，（10分）‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ （11分）‎ 随机变量的期望为：.（12分）‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）连接与交于点，，则 ‎，，（2分）‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.（4分）‎ ‎（2）证明：由，得四边形为平行四边形，所以，，所以，‎ 所以，（6分）‎ 又，所以平面，所以，‎ 又，平面ADE.（8分）‎ 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 所以，（9分）‎ 设平面BMD的一个法向量为，‎ 所以 令，则，（10分）‎ 又平面得一个法向量为，（10分）‎ 所以，‎ 又平面与平面所成的二面角显然为锐角，‎ 所以平面与平面所成的二面角的余弦值.（12分）‎ ‎20．【解析】‎ ‎（1）根据题意，（1分）‎ 又设，所以，所以，（3分）‎ 故，从而椭圆的标准方程为.（4分）‎ ‎（2）根据题意，，所以设直线的方程，‎ 联立，消得，‎ ‎，即. ‎ 设，则.‎ 由根与系数的关系得，.（7分）‎ 设直线的方程为，‎ 所以，得，‎ ‎.（10分）‎ 所以 故，所以.（12分）‎ ‎21．【解析】‎ 因为，所以，‎ 又，故.（2分）‎ ‎（1）由题意得，若函数存在单调减区间，‎ 则即存在取值区间，‎ 即存在取值区间，所以.（5分）‎ ‎（2）因为，所以 ‎①当时，，在上单调递减，由，‎ 所以，即，得；（7分）‎ ‎②当时，，在上单调递增，‎ 所以，即，得，（8分）‎ ‎③当时，在，，在上单调递减，‎ 在，，在上单调递增，‎ 所以，即.（10分）‎ 令,，则，所以在上单调递减，‎ 故，而，所以不等式（）无解，‎ 综上所述，.（12分）‎ ‎22．【解析】‎ ‎（1）直线的普通方程为，直线的极坐标方程，（3分）‎ 曲线的普通方程，‎ 所以.（5分）‎ （2） 由（1）得，‎ 所以，（8分）‎ 点到直线的距离为，所以.（10分）‎ ‎23．【解析】‎ ‎（1）根据题意，‎ ‎，（3分）‎ 解，或，得或，‎ 所以解集为.（5分）‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当时，等号成立，（8分）‎ 又，所以，‎ 所以的最小值为，所以.所以 ‎.（10分）‎