【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8--1直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案 12页

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎1．直线的倾斜角❶‎ ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．‎ ‎(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.‎ ‎(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.‎ ‎(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)❷在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式❸‎ Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0‎ 平面内所有直线 平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．‎ 如果y2＝y1，x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1，x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．‎ 斜率与倾斜角的关系 ‎(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．‎ ‎(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大．‎ ‎(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．‎ ‎(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在∪ 上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．‎ ‎ (1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：‎ ‎①化为截距式：Ax＋By＝－C，即＋＝1.‎ ‎②化为斜截式：y＝－x－.‎ ‎ (2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，‎ 若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；‎ 若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线. ‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)‎ ‎(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)‎ ‎(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)‎ ‎(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ 二、选填题 ‎1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　)‎ A．0　　　　　　 B. C. D．不存在 解析：选C　因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为.‎ ‎2．直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设直线的倾斜角为α，则tan α＝，‎ ‎∵α∈[0，π)，∴α＝.‎ ‎3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)‎ A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　∵A·C＜0，B·C＜0，Ax＋By＋C＝0，∴y＝－x－，∴A·B＞0，－＞0，∴－＜0，∴直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，故选C.‎ ‎4．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝________.‎ 解析：由k＝＝1，得m＝1.‎ 答案：1‎ ‎5．过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为_____________．‎ 解析：由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan 45°(x－2)，即x－y－5＝0.‎ 答案：x－y－5＝0‎ 考点一 直线的倾斜角与斜率 [师生共研过关]‎ ‎ [典例精析]‎ ‎(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)‎ A．[0，π)　　　　　 B.∪ C. D.∪ ‎(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ ‎[解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，‎ 则有tan θ＝－sin α，‎ 又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，‎ 所以0≤θ≤或 ≤θ＜π.‎ ‎(2)如图，因为kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ 所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．‎ ‎[答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ ‎[解题技法]‎ 斜率取值范围的2种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 ‎[过关训练]‎ ‎1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)‎ A．k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2‎ C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2‎ 解析：选D　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D.‎ ‎2．已知点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．‎ 解析：点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)＞0，解得－＜a＜－1，即直线l的斜率的范围是(－，－1)，故其倾斜角的取值范围是.‎ 答案： 考点二 直线的方程 [师生共研过关]‎ ‎ [典例精析]‎ ‎(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．‎ ‎(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．‎ ‎[解]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.‎ ‎(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.‎ 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.‎ ‎[解题技法]‎ 求直线方程的方法 ‎(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；‎ ‎(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．‎ ‎[提醒]　(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.‎ ‎(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.‎ ‎[过关训练]‎ ‎　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．‎ ‎(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．‎ ‎(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．‎ 解：(1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，‎ 所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，设l的方程为＋＝1，‎ 因为l过点(4,1)，所以＋＝1，‎ 所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.‎ 因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．‎ 故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ 考点三 直线方程的综合问题 [师生共研过关]‎ ‎[典例精析]‎ ‎(1)(2019·成都模拟)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为__________________．‎ ‎(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.‎ ‎[解析]　(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，故当a＝时，四边形的面积最小．‎ ‎[答案]　(1)x＋2y－4＝0　(2) ‎[解题技法]‎ 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．‎ ‎(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．‎ ‎[过关训练]‎ ‎1．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B. C．2 D．3‎ 解析：选D　当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a ‎－1)＋.因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 ＝9.‎ 当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．故选D.‎ ‎2．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，‎ O为坐标原点．‎ ‎(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．‎ ‎(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．‎ 解：设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.‎ ‎(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，‎ 当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，‎ 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，‎ 此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.‎ ‎(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，‎ 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.‎ ‎ 一、题点全面练 ‎1．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)‎ 解析：选B　由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．‎ ‎2．(2019·惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，－1)∪ 解析：选D　设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.‎ ‎3．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)‎ A．3x－y－6＝0 B.3x＋y＋6＝0‎ C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0‎ 解析：选C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.‎ ‎4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．‎ ‎5．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　由f ＝f 知，函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f ，所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为，故选D.‎ ‎6．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．‎ 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值－2和最大值2.∴b的取值范围是[－2,2]．‎ 答案：[－2,2]‎ ‎7．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为__________________．‎ 解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，‎ 因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，‎ 所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，‎ 所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，‎ 即4x－3y－4＝0.‎ 答案：4x－3y－4＝0‎ ‎8.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程为____________________________．‎ 解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ 答案：(3＋)x－2y－3－＝0‎ ‎9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3,4)；‎ ‎(2)斜率为.‎ 解：(1)由题意知，直线l存在斜率．‎ 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，‎ 它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，‎ 由已知，得(3k＋4)＝±6，‎ 解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，‎ 则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.‎ ‎∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎10．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：‎ ‎(1)BC边所在直线的方程；‎ ‎(2)BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．‎ 解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，‎ 由两点式得BC的方程为＝，‎ 即x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，‎ 则x＝＝0，y＝＝2.‎ BC边的中线AD经过A(－3,0)，D(0,2)两点，‎ 由截距式得AD所在直线的方程为＋＝1，‎ 即2x－3y＋6＝0.‎ ‎(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，‎ 则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.‎ 由(2)知，点D的坐标为(0,2)．‎ 由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，‎ 即2x－y＋2＝0.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－4]∪ B. C. D. 解析：选A　如图所示，‎ ‎∵kPN＝＝，‎ kPM＝＝－4，‎ ‎∴要使直线l与线段MN相交，‎ 当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；‎ 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，‎ ‎∴k≥或k≤－4.‎ ‎2．直线l过点(－2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为________________．‎ 解析：若a＝b＝0，则直线l过(0,0)与(－2,2)两点，直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，‎ 即x＋y＝0.‎ 若a≠0，b≠0，设直线l的方程为＋＝1，‎ 由题意知解得 此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.‎ 答案：x＋y＝0或x－y＋4＝0‎ ‎3．过点(－10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为________________．‎ 解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为x＋y＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1，把点(－10,10)代入可得a＝，故直线方程为＋＝1，即x＋4y ‎－30＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y＝0或x＋4y－30＝0.‎ 答案：x＋y＝0或x＋4y－30＝0‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎4．[与不等式交汇]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．‎ 解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．‎ ‎(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，‎ 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，‎ 故k的取值范围是.‎ ‎(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．‎ 又－<0且1＋2k>0，∴k>0.‎ 故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)‎ ‎＝≥(4＋4)＝4，‎ 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．‎ 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎