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  • 2021-06-15 发布

2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学密卷一

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‎2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷一 数学Ⅰ 参考公式:‎ 样本数据的方差,其中 柱体的体积,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.‎ 锥体的体积,其中S是椎体的底面积,h是椎体的高.‎ 一.填空题:本题共14小题.请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1.已知集合,则A∩B=________.‎ ‎2.已知复数z满足(i为虚数单位),则z=________.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图,则输出的S值为________.‎ ‎4.下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数为________.‎ ‎5.直线x+y+a=0是圆x2+y2-4y=0的一条对称轴,则a=________.‎ ‎6.函数的定义域________.‎ ‎7.已知存在恒成立,则实数a的取值范围是 ‎________.‎ ‎8.在区间上随机取两个数x,y,则事件“x2+y2≤4”发生的概率为________.‎ ‎9.等差数列的前n项和Sn,若S2=4,S6=10,则S10=________.‎ ‎10.已知双曲线的右焦点为F,直线与C交于A,B两点,AF,BF的中点分别为M,N,若以线段MN为直径的圆经过原点,则双曲线C的离心率为________.‎ ‎11.已知函数的定义域为R,其导函数既是R上增函数,又是奇函数,则满足不等式的实数m的取值范围为________.‎ ‎12.已知球O与棱长为8的正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱都相切,点P是球O上一点,点Q是△A1C1B的外接圆上的一点,则线段PQ的取值范围是________.‎ ‎13.已知正数ab满足a+b=1,则的最小值为________.‎ ‎14.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,则________.‎ 二.解答题:本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎16.如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,,BC=CD=PD=2AD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD,E为PB的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PDC;‎ ‎(Ⅱ)求证:AE⊥BC.‎ ‎17.如图,一块弓形薄铁片EMF,点M为弧EF的中点,其所在圆O的半径为8dm(圆心O在弓形EMF内),.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗),,且点A,D在上,设.‎ ‎(Ⅰ)求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式 ‎(Ⅱ)当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时,求的值.‎ ‎18.已知点在椭圆上,分别为E的左、右顶点,直线A1M与A2M的斜率之积为,F为椭圆的右焦点,直线.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)直线m过点F且与椭圆E交于B,C两点,直线BA2,CA2分别与直线l交于P,Q两点,以PQ为直径的圆过定点,求直线m的方程.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当x>1时,恒成立,求a的取值范围.‎ ‎20.在数列中,若,且,则称为“J数列”.设为“J数列”,记的前n项和为Sn.‎ ‎(Ⅰ)若a1=10,求S3n的值;‎ ‎(Ⅱ)若S3=17,求a1的值;‎ ‎(Ⅲ)证明:中总有一项为1或3.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21【选做题】:本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-2:矩阵与变换]‎ 给定矩阵.‎ ‎(Ⅰ)求矩阵A的特征值;‎ ‎(Ⅱ)证明:和是矩阵A的特征向量.‎ B.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中,直线l的方程,曲线C的方程为,直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值.‎ C.[选修4-5:不等式选讲]‎ 若m,n都是正数,且存在实数x使得成立,求m+n的最小值.‎ ‎【必做题】第22题、第23题.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.设,求下列各式的值:‎ ‎(Ⅰ)求a的值(用指数表示);‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎23.2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,某省由于人员流动性较大,成为湖北省外疫情最严重的省份之一,截至2月29日,该省已累计确诊1349例患者(无境外输入病例).‎ ‎(Ⅰ)为了解新冠肺炎的相关特征,研究人员从该省随机抽取100名确诊患者,统计他们的年龄数据,得下面的频数分布表:‎ 由频数分布表可以大致认为,该省新冠肺炎患者的年龄Z服从正态分布,其中近似为这100名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上(≥70)的患者比例;‎ ‎(Ⅱ)截至2月29日,该省新冠肺炎的密切接触者(均已接受检测)中确诊患者约占10%,以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率,每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人,为检测出所有患者,设计了如下方案:将这20名密切接触者随机地按n(12时,,得.‎ 此时,的单调递增区间,;‎ 单调递减区间;‎ 综上所述,a≤2时,的单调递增区间,无单调递减区间;‎ a>2时,的单调递增区间,;‎ 单调递减区间; ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎(1)a≤2时,在单调递增.‎ ‎∵x≥1时,∴,符合题意.‎ ‎(2)a>2时,‎ 在单调递减,单调递增.‎ ‎∴,不符合题意.(15分)‎ ‎∴实数a的取值范围.‎ ‎20.解:(Ⅰ)当a1=10时,{an}中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,…,‎ 所以S3n=7n+16.‎ ‎(Ⅱ)(1)若a1是奇数,则a2=a1+3是偶数,,‎ 由S3=17,得,解得a1=5,适合题意. ‎ ‎(2)若a1是偶数,不妨设,则.‎ 若k是偶数,则,‎ 由S3=17,得,此方程无整数解;‎ 若k是奇数,则a3=k+3,‎ 由S3=17,得2k+k+k+3=17,此方程无整数解.‎ 综上,.‎ ‎(Ⅲ)首先证明:一定存在某个,使得成立.‎ 否则,对每一个,都有,‎ 则在为奇数时,必有;‎ 在为偶数时,有,或.‎ 因此,若对每一个,都有,则单调递减,‎ 注意到,显然这一过程不可能无限进行下去,‎ 所以必定存在某个,使得成立.‎ 经检验,当,或,或时,中出现1;‎ 当时,中出现3,‎ 综上,中总有一项为1或3.‎ ‎21【选做题】‎ A.[选修4-2:矩阵与变换]‎ 解:(Ⅰ)的特征多项式为 所以的特征值为,.‎ ‎(Ⅱ)证明:在矩阵的作用下,其像与其保持共线,即 ‎.‎ 在矩阵的作用下,其像与其保持共线,即 成立.‎ 所以和是矩阵的特征向量.‎ B.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 解:由题意知,直线l过点,且倾斜角,‎ 直线l的参数方程:(t是参数);‎ 由 将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程,‎ 得,整理,‎ 得,由韦达定理得:‎ ‎∴‎ ‎.‎ C.[选修4-5:不等式选讲]‎ 解:设 当,. ‎ 由题意,,即,.‎ ‎.‎ ‎.‎ 当且仅当m=n时,m+n的最小值.‎ ‎【必做题】‎ ‎22.解:(Ⅰ).‎ ‎(Ⅱ)令x=1,得;‎ 令x=-1,得;‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎23.解:‎ ‎(Ⅰ);‎ ‎.‎ 故.‎ ‎(Ⅱ)由题意,每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为,‎ n的可能取值为2,4,5,10.‎ 当时,‎ 对于某组n个人,化验次数Y的可能值为:1,n+1‎ ‎,‎ ‎.‎ 则20人的化验总次数为 经计算 当n=4时符合题意,按4人一组检测,可使化验总次数最少.‎

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