2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷一 15页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一 数学Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据的方差，其中 柱体的体积，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．‎ 锥体的体积，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高．‎ 一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1．已知集合，则A∩B=________．‎ ‎2．已知复数z满足（i为虚数单位），则z=________．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为________．‎ ‎4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．‎ ‎5．直线x+y+a=0是圆x2+y2-4y=0的一条对称轴，则a=________．‎ ‎6．函数的定义域________．‎ ‎7．已知存在恒成立，则实数a的取值范围是 ‎________．‎ ‎8．在区间上随机取两个数x，y，则事件“x2+y2≤4”发生的概率为________．‎ ‎9．等差数列的前n项和Sn，若S2=4，S6=10，则S10=________．‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为F，直线与C交于A，B两点，AF，BF的中点分别为M，N，若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线C的离心率为________．‎ ‎11．已知函数的定义域为R，其导函数既是R上增函数，又是奇函数，则满足不等式的实数m的取值范围为________．‎ ‎12．已知球O与棱长为8的正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱都相切，点P是球O上一点，点Q是△A1C1B的外接圆上的一点，则线段PQ的取值范围是________．‎ ‎13．已知正数ab满足a+b=1，则的最小值为________．‎ ‎14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则________．‎ 二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．已知．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎16．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，BC=CD=PD=2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PDC；‎ ‎（Ⅱ）求证：AE⊥BC．‎ ‎17．如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为弧EF的中点，其所在圆O的半径为8dm（圆心O在弓形EMF内），．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗），，且点A，D在上，设．‎ ‎（Ⅰ）求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式 ‎（Ⅱ）当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求的值．‎ ‎18．已知点在椭圆上，分别为E的左、右顶点，直线A1M与A2M的斜率之积为，F为椭圆的右焦点，直线．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线m过点F且与椭圆E交于B，C两点，直线BA2，CA2分别与直线l交于P，Q两点，以PQ为直径的圆过定点，求直线m的方程．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当x>1时，恒成立，求a的取值范围．‎ ‎20．在数列中，若，且，则称为“J数列”．设为“J数列”，记的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）若a1=10，求S3n的值；‎ ‎（Ⅱ）若S3=17，求a1的值；‎ ‎（Ⅲ）证明：中总有一项为1或3．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21【选做题】：本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 给定矩阵．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵A的特征值；‎ ‎（Ⅱ）证明：和是矩阵A的特征向量．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中，直线l的方程，曲线C的方程为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．‎ C．[选修4-5：不等式选讲]‎ 若m，n都是正数，且存在实数x使得成立，求m+n的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．设，求下列各式的值：‎ ‎（Ⅰ）求a的值（用指数表示）；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．‎ ‎（Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：‎ 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z服从正态分布，其中近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例；‎ ‎（Ⅱ）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立．现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n（12时，，得．‎ 此时，的单调递增区间，；‎ 单调递减区间；‎ 综上所述，a≤2时，的单调递增区间，无单调递减区间；‎ a>2时，的单调递增区间，；‎ 单调递减区间； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎（1）a≤2时，在单调递增．‎ ‎∵x≥1时，∴，符合题意．‎ ‎（2）a>2时，‎ 在单调递减，单调递增．‎ ‎∴，不符合题意．（15分）‎ ‎∴实数a的取值范围．‎ ‎20．解：（Ⅰ）当a1=10时，{an}中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…，‎ 所以S3n=7n+16．‎ ‎（Ⅱ）（1）若a1是奇数，则a2=a1+3是偶数，，‎ 由S3=17，得，解得a1=5，适合题意． ‎ ‎（2）若a1是偶数，不妨设，则．‎ 若k是偶数，则，‎ 由S3=17，得，此方程无整数解；‎ 若k是奇数，则a3=k+3，‎ 由S3=17，得2k+k+k+3=17，此方程无整数解．‎ 综上，．‎ ‎（Ⅲ）首先证明：一定存在某个，使得成立．‎ 否则，对每一个，都有，‎ 则在为奇数时，必有；‎ 在为偶数时，有，或．‎ 因此，若对每一个，都有，则单调递减，‎ 注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，‎ 所以必定存在某个，使得成立．‎ 经检验，当，或，或时，中出现1；‎ 当时，中出现3，‎ 综上，中总有一项为1或3．‎ ‎21【选做题】‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 解：（Ⅰ）的特征多项式为 所以的特征值为，．‎ ‎（Ⅱ）证明：在矩阵的作用下，其像与其保持共线，即 ‎．‎ 在矩阵的作用下，其像与其保持共线，即 成立．‎ 所以和是矩阵的特征向量．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 解：由题意知，直线l过点，且倾斜角，‎ 直线l的参数方程：（t是参数）；‎ 由 将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，‎ 得，整理，‎ 得，由韦达定理得：‎ ‎∴‎ ‎．‎ C．[选修4-5：不等式选讲]‎ 解：设 当，． ‎ 由题意，，即，．‎ ‎．‎ ‎.‎ 当且仅当m=n时，m+n的最小值．‎ ‎【必做题】‎ ‎22．解：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）令x=1，得；‎ 令x=-1，得；‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎23．解：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎．‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为，‎ n的可能取值为2，4，5，10．‎ 当时，‎ 对于某组n个人，化验次数Y的可能值为：1，n+1‎ ‎，‎ ‎．‎ 则20人的化验总次数为 经计算 当n=4时符合题意，按4人一组检测，可使化验总次数最少．‎