数学卷·2018届天津市红桥区高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版） 15页

‎2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1‎ ‎2．已知点A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若直线a，平面α满足a⊄α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α平行 B．直线a一定与平面α相交 C．直线a一定与平面α平行或相交 D．直线a一定与平面α内所有直线异面 ‎4．已知向量是空间的一个基底，其中与向量，一定构成空间另一个基底的向量是（　　）‎ A． B．‎ C． D．都不可以 ‎5．“a，b不相交”是“a，b异面”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎6．若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α内所有直线平行 B．直线a一定与平面α内所有直线异面 C．直线a一定与平面α内唯一一条直线平行 D．直线a一定与平面α内一组平行直线平行 ‎7．设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）‎ A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α B．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c ‎8．以下四个命题中，正确命题是（　　）‎ A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．写出命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是　　．‎ ‎10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=x（++），则实数x=　　．‎ ‎11．已知直线l，m和平面β，若l⊥m，l⊥β，则m与β的位置关系是　　．‎ ‎12．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是D1B，B1C的中点，则PQ的长为　　．‎ ‎13．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎14．如图，棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，E分别是棱A1B1，A1D1，C1D1的中点．‎ ‎（1）过AM作一平面，使其与平面END平行（只写作法，不需要证明）；‎ ‎（2）在如图的空间直角坐标系中，求直线AM与平面BMND所成角的正弦值．‎ ‎15．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DE⊥平面A1AE；‎ ‎（2）证明：BM∥平面A1ED．‎ ‎16．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．试用空间向量知识解下列问题：‎ ‎（1）求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD；‎ ‎（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小．‎ ‎17．三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=AB=2，O为AC中点．‎ ‎（1）求证：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．‎ ‎【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”‎ ‎∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：‎ ‎∃x∈R，使x2+1＜1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．已知点A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】直接利用空间距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：点A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点间的距离为： =．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．若直线a，平面α满足a⊄α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α平行 B．直线a一定与平面α相交 C．直线a一定与平面α平行或相交 D．直线a一定与平面α内所有直线异面 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据线面关系的分类，可知，线不含于面，则线面平行或线面相交．‎ ‎【解答】解：∵直线a，平面α满足a⊄α，‎ 故直线a一定与平面α平行或相交，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．已知向量是空间的一个基底，其中与向量，一定构成空间另一个基底的向量是（　　）‎ A． B．‎ C． D．都不可以 ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论 ‎【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，‎ 结合+（）=2，‎ 得与、是共面向量，‎ 同理与、是共面向量 所以与、不能构成空间的一个基底；‎ 又与、不共面，‎ 所以与、能构成空间的一个基底．‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．“a，b不相交”是“a，b异面”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据直线的位置关系结合充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：若“a，b不相交”，则a，b平行或a，b异面，不是充分条件，‎ 若a，b异面，则a，b不相交，是必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α内所有直线平行 B．直线a一定与平面α内所有直线异面 C．直线a一定与平面α内唯一一条直线平行 D．直线a一定与平面α内一组平行直线平行 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】直线a与平面α内的直线平行或异面，由此能求除A和B；由线面平行的性质定理得：直线a一定与平面α内一组平行直线平行，由此能排除C．‎ ‎【解答】解：由直线a平行于平面α，知：‎ 在A中，直线a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；‎ 在B中，直线a与平面α内的直线平行或异面，故B错误；‎ 在C中，直线a与平面α内的无数条直线平行，故C错误；‎ 在D中，由线面平行的性质定理得：直线a一定与平面α内一组平行直线平行，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）‎ A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α B．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c ‎【考点】平面与平面垂直的判定；四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断A的逆命题正误；‎ 通过平面与平面平行的性质定理判断B的逆命题的正误；‎ 利用平面与平面垂直的性质定理判断C的逆命题的正误；‎ 利用直线与平面平行的判定定理判断命题D的逆命题的正误；‎ ‎【解答】解：对于A，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α的逆命题为：当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；‎ 对于B，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β的逆命题为：当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若α∥β，则a∥β，b∥β，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；‎ 对于C，当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然不正确，可能b与β不垂直，所以逆命题不正确；‎ 对于D，当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c的逆命题为：当b⊂α时，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α；满足直线与平面平行的判定定理，正确；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．以下四个命题中，正确命题是（　　）‎ A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据空间点，线，面的位置关系及几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题；‎ 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E可能不共面，故B为假命题；‎ 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，故C为假命题；‎ 依次首尾相接的四条线段可能不共面，故D为假命题；‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．写出命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是　若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等　．‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】根据逆否命题的写法，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等”．‎ 故答案为：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等．‎ ‎　‎ ‎10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=x（++），则实数x=　1　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据向量的加法可得， =++，利用=x（++），可得结论．‎ ‎【解答】解：根据向量的加法可得， =++，‎ ‎∵=x（++），‎ ‎∴x=1，‎ 故答案为1．‎ ‎　‎ ‎11．已知直线l，m和平面β，若l⊥m，l⊥β，则m与β的位置关系是　m⊂β或m∥β　．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1为载体，列举现所有的可能情况，由此能判断m与β的位置关系．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 取AA1为l，平面ABCD为β，则l⊥β，‎ 当m为AB时，l⊥m，l⊥β，m⊂β，‎ 当m为A1B1时，l⊥m，l⊥β，m∥．‎ ‎∴m与β的位置关系是m⊂β或m∥β．‎ 故答案为：m⊂β或m∥β．‎ ‎　‎ ‎12．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是D1B，B1C的中点，则PQ的长为　　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】连接B1D，则经过P，且为B1D的中点，利用三角形的中位线的性质，可得结论．‎ ‎【解答】解：连接B1D，则经过P，且为B1D的中点，‎ ‎∵Q是B1C的中点，‎ ‎∴PQ∥CD，PQ=CD，‎ ‎∴PQ=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎13．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为　（5，13，﹣3）　．‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【分析】由ABCD为平行四边形，结合平行四边形的性质，两条对角线互相平分，我们易得平行四边形的中心（即两条对角线的交点），即是AC的中点，也是BD的中点，根据中点坐标公式，我们不难得到A，C两点的坐标和等于B、D两点的坐标和，构造方程，解方程即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由平行四边形的两条对角线互相平分，得 A，C两点的坐标和等于B、D两点的坐标和 设D点坐标为（x，y，z）‎ 则 解得：‎ 故答案为：（5，13，﹣3）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎14．如图，棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，E分别是棱A1B1，A1D1，C1D1的中点．‎ ‎（1）过AM作一平面，使其与平面END平行（只写作法，不需要证明）；‎ ‎（2）在如图的空间直角坐标系中，求直线AM与平面BMND所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结AC、MC，平面AMC是所求平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求直线AM与平面BMND所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）连结AC、MC，平面AMC是所求平面﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）如图空间直角坐标系O﹣xyz 则A（0，0，0），M（a，0，a），B（a，0，0），D（0，a，0），N（0， a，a）‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（不全对，但对2个以上给1分）‎ ‎=（﹣a，0，a），=（﹣a，a，0），=（a，0，a）‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（不全对，但对2个给1分）‎ 设平面BMND得法向量n=（x，y，z）‎ 则⇒n=（2，2，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ cos＜，n＞==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设直线AM与平面BMND所成角为θ 则，sinθ=|cos＜，n＞|=‎ 直线AM与平面BMND所成角的正弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎15．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DE⊥平面A1AE；‎ ‎（2）证明：BM∥平面A1ED．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）欲证DE⊥平面A1AE，根据线面垂直的判定定理可知只需证AE⊥DE，A1A⊥DE，即可；‎ ‎（2）设AD的中点为N，连接MN、BN，由线线平行推出面面平行，再由平面BMN∥平面A1ED，可推出BM∥平面A1ED．‎ ‎【解答】证明：（1）在△AED中，AE=DE=，AD=2，‎ ‎∴AE⊥DE．‎ ‎∵A1A⊥平面ABCD，‎ ‎∴A1A⊥DE，‎ ‎∴DE⊥平面A1AE．‎ ‎（2）设AD的中点为N，连接MN、BN．‎ 在△A1AD中，AM=MA1，AN=ND，∴MN∥A1D，‎ ‎∵BE∥ND且BE=ND，‎ ‎∴四边形BEDN是平行四边形，‎ ‎∴BN∥ED，‎ ‎∴平面BMN∥平面A1ED，‎ ‎∴BM∥平面A1ED．‎ ‎　‎ ‎16．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．试用空间向量知识解下列问题：‎ ‎（1）求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD；‎ ‎（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）取BC中点O，连AO，利用正三角形三线合一，及面面垂直的性质可得AO⊥平面BCB1C1，取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出AB1的方向向量，利用向量垂直的充要条件及线面垂直的判定定理可得AB1⊥平面A1BD，即可证明平面ABB1A1⊥平面A1BD；‎ ‎（2）分别求出平面A1AD的法向量和平面A1AD的一个法向量代入向量夹角公式，可得二面角A﹣A1D﹣B的余弦值大小．‎ ‎【解答】（1）证明：取BC中点O，连AO，∵△ABC为正三角形，‎ ‎∴AO⊥BC，‎ ‎∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，‎ 平面ABC⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴AD⊥平面BCC1B1，‎ 取B1C1中点为O1，以O为原点，‎ ‎，，的方向为x，y，z轴的正方向，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则．‎ ‎∴，‎ ‎∵，．‎ ‎∴，，∴AB1⊥面A1BD．…‎ AA1⊂面A1BD 所以 平面ABB1A1⊥面A1BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）解：设平面A1AD的法向量为，．‎ ‎，∴，∴⇒，‎ 令z=1，得为平面A1AD的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由（1）知AB1⊥面A1BD，‎ ‎∴为平面A1AD的法向量，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为=．…‎ ‎　‎ ‎17．三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=AB=2，O为AC中点．‎ ‎（1）求证：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）直线垂直平面，只需要证明直线垂直平面内的两条相交直线即可．由题意，因为PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，连接OP，OB，易得：OP⊥AC，同理可证△ABC为Rt△，OP⊥OB，AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC可得OP⊥平面ABC．‎ ‎（2）利用O为AC中点，分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角．放在等腰三角形EOF即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由题意，∵PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，‎ 连接OP，OB，易得：OP⊥AC；‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴AC2=AB2+BC2，‎ 故得△ABC为Rt△，‎ ‎∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，‎ ‎∴OP⊥OB．‎ 又∵AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC，‎ ‎∴OP⊥平面ABC；‎ ‎（2）分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，‎ 则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角（或补角）‎ 由（Ⅰ）知在直角三角形POB中，，‎ 又，；‎ 在等腰三角形EOF中，．‎ 所以，异面直线AB与PC所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎2016年12月3日