2019-2020学年江西省赣州市寻乌中学高二上学期第一次段考数学（理）试题 Word版 10页

江西省赣州市寻乌中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学（理科）试题 ‎（考试时间：120分钟，试卷满分：150分。）‎ 注意事项：‎ 1． 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; ‎ ‎2．请将答案正确填写在答题卡上。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )‎ A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29‎ C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116‎ ‎5．在空间中，有三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，下列判断正确的是( )‎ A．若∥，∥，则∥ B．若，，则∥‎ C．若，∥，则 D．若，，∥，则∥‎ ‎6．已知都是正数,且，则的最小值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于(　　)‎ A.AC B.BD C.A1D D.A1D1‎ ‎8．已知P是圆O:x2+y2=1上的动点,则点P到直线l:x+y-2=0的距离的最小值为(　　)‎ A.1 B. C.2 D.2‎ ‎9．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）‎ A． B．72 C． D．32‎ ‎10．已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎11．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎12．已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝kx﹣2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[0，2）∪（2，+∞） B．[2] ‎ C．（﹣∞，0） D．[0，+∞）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13．空间两点间的距离为_______． ‎ ‎14．在中，角所对的边分别为，已知，则_______.‎ ‎15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:‎ ‎①AC⊥BD; ②△ACD是等边三角形;‎ ‎③AB与平面BCD成60°角; ④AB与CD所成的角是60°.‎ 其中正确结论的序号是　　　　　. ‎ ‎16．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（本题10分）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．‎ ‎（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；‎ ‎（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.‎ ‎18.（本题12分）已知.‎ ‎(1)求函数最小正周期及其图象的对称轴方程;‎ ‎(2)已知锐角的内角的对边分别为,且,求周长的最大值．‎ ‎19．（本题12分）如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.‎ ‎(1)求圆A的方程;‎ ‎(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.‎ ‎20．（本题12分）等差数列前项和为，且，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）数列满足且，求的前项和．‎ ‎21．（本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．‎ ‎（1）求证：平面PAB∥平面EFG；‎ ‎（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．‎ ‎22．（本题12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。‎ ‎（1）求证：DE//平面ABC；‎ ‎（2）求二面角E—BC—A的余弦；‎ ‎（3）求多面体ABCDE的体积。‎ ‎ ‎ 数学（理科）试题参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B B C C B A A B A D ‎13．3 14．3 15．①②④ 16．‎ ‎17．解:⑴设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为 球的体积；圆柱的体积 球与圆柱的体积比为： ……5分 ‎（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为 圆锥的母线长：‎ 圆锥体积：‎ 圆锥表面积： ……10分 ‎18．解:(1) === = ……4分 所以,‎ 令,解得, ‎ 所以函数图象的对称轴方程为. ……6分 ‎(2)由(1)可得,即,‎ 因为,所以,‎ 所以, 所以． ……8分 由余弦定理可知 ‎== ==,‎ 当且仅当时等号成立.‎ 于是.故周长的最大值为. ……12分 ‎19．解：(1)设圆A的半径为R,‎ 由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,‎ ‎∴R==2. ……3分 ‎∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. ……5分 ‎(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意; ……7分 ‎②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.‎ 如图,连接AQ,则AQ⊥MN.‎ ‎∵|MN|=2,∴|AQ|==1.‎ 则由|AQ|==1, 得k=, ……10分 ‎∴直线l为3x-4y+6=0. ‎ 故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0. ……12分 ‎20．解：（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，．‎ 可得，， ……2分 解得，， ……4分 ‎ ‎ 可得； ……6分 ‎（2）由，‎ 可得 ‎， ……8分 ‎， ……9分 则前项和 ‎． ……12分 ‎21．解：（1）∵△PCD中，E、F分别是线段PC、PD的中点，∴EF∥CD，‎ 又∵四边形ABCD为正方形，得AB∥CD，∴EF∥AB，‎ ‎∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．……3分 同理可证：EG∥平面PAB， ……5分 ‎∵EF∩EG＝E， ∴平面PAB∥平面EFG； ……6分 ‎（2）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．证明如下 ……7分 取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ，‎ 由于EQ∥BC∥AD，且AD、QE不相等，所以ADEQ为梯形，‎ 由PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，得AD⊥PD，‎ ‎∵AD⊥CD，PD∩CD＝D， ∴AD⊥平面PDC，‎ ‎∵PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC， ……10分 ‎∵△PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，∴DE⊥PC，‎ ‎∵AD、DE是平面ADQ内的相交直线， ∴PC⊥平面ADQ． ……12分 ‎22．解：（1）由题意知， 都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则 ‎ ‎ 平面ACD平面ABC ‎ 平面ABC，作EF平面ABC，‎ ‎ 那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，‎ ‎ ，易求得 ‎ 所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；‎ ‎ 平面ABC，平面ABC，‎ ‎ 平面ABC ……4分 ‎ （2）作FGBC，垂足为G，连接FG；‎ ‎ 平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC ‎ 就是二面角E—BC—A的平面角 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即二面角E—BC—A的余弦值为 ……8分 ‎ （3）平面ACD平面ABC，OBAC ‎ 平面ACD；又 ‎ 平面DAC，三棱锥E—DAC的体积 ‎ ‎ ‎ 又三棱锥E—ABC的体积 ‎ 多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2= ……12分