数学卷·2018届辽宁省大连市第二十高级中学高二上学期期中考试理数试题（解析版） 13页

辽宁省大连市第二十高级中学2016-2017学年高二上学期期中考试 理数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.下列所给点中，在方程表示的曲线上的是 ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：将各点坐标代入曲线方程，只有成立，因此在方程表示的曲线上 考点：曲线方程 ‎ ‎2.椭圆的短轴长为 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，短轴长为4‎ 考点：椭圆方程及性质 ‎3.已知命题：“，”，则是 ‎（A）， (B) ， ‎ ‎ (C) ， (D) ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以是：，‎ 考点：全称命题与特称命题 ‎4.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 ‎（A）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 (D) 不充分不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：方程的曲线是椭圆，则有，所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件 考点：椭圆方程及充分条件必要条件 ‎5.已知 为等比数列，则 ‎（A）或 (B) （C） (D) 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，解方程得 考点：等比数列 ‎6.命题“数列前项和是的形式，则数列为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为 ‎ ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：原命题只有在是真命题，所以原命题与逆否命题都是假命题，逆命题：若数列为等差数列，则数列前项和是的形式，是真命题，所以否命题是真命题 考点：四种命题与等差数列 ‎7.设定点，动点满足条件（其中常数），则点的轨迹是 ‎（A）椭圆 (B) 线段 (C) 不存在 (D) 椭圆或线段 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为6‎ ‎，动点的轨迹为椭圆或线段 考点：动点的轨迹方程 ‎8.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】A 考点：不等式表示平面区域 ‎9.已知点满足不等式组，则的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的区域，直线的交点为，看作 连线的斜率，结合图像可知过点时取得最大值 考点：线性规划问题 ‎10.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 ‎ ‎（A） (B) (C) 或 (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆方程可知a=4，b=，c=3，‎ 第一种情况，两焦点连线段为直角边，则P点横坐标为±3，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为；‎ 第二种情况，两焦点连线为斜边，设P（x，y），则||=4-x，||=4+x ‎∵||=6，∴（4-x）2+（4+x）2=36，∴P点横坐标为±，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为 考点：椭圆的简单性质 ‎ ‎11.椭圆的离心率的最小值为 ‎ ‎(A) （B） (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆方程可知 ‎ ‎ ，离心率最小值为 考点：椭圆方程及性质 ‎12.关于的方程的两个实根分别在区间和上，则的取值范围为 ‎ ‎(A） (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得f(0)＝3a+b+1＜0…①，f(1)＝4a+3b+2＞0…②，f(−1)＝2a−b+2＞0…③．‎ 画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：‎ 由求得点A ，‎ 由，求得点C ．‎ 当直线z=a+b经过点A时，z=a+b= ；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=，‎ 故z=a+b的范围为 考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.椭圆的焦点坐标为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，焦点坐标为 考点：椭圆方程及性质 ‎14.设实数满足约束条件目标函数仅在点取最大值，则实数的取值范围为________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，直线的交点为，变形为，结合可行域可知当直线斜率时满足题意要求，所以实数的取值范围为 考点：线性规划问题 ‎15.已知数列满足（），则取最小值时 ‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：，累和得 结合对勾函数性质可知当或时取得最小值 考点：数列求通项公式及函数求最值 ‎16.设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则| |＋||的最大值为_____ ___‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆方程可知，两焦点坐标，由椭圆定义可得 ‎，结合三角形三边关系可知，所以，最大值为15‎ 考点：椭圆方程及定义的应用 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.(本小题满分10分) ‎ ‎(Ⅰ)已知某椭圆的左右焦点分别为，且经过点，求该椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 已知某椭圆过点，求该椭圆的标准方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求椭圆方程可采用待定系数法，首先根据焦点位置设出椭圆方程，将已知条件代入方程求得参数值，从而确定椭圆方程 试题解析：(Ⅰ)，又椭圆焦点为，所以椭圆方程为.……………………5分 ‎(Ⅱ)设椭圆方程为，则有，解得，所以椭圆方程为.……………………10分 考点：椭圆方程与性质 ‎18.(本小题满分12分) ‎ 已知命题“是焦点在轴上的椭圆的标准方程”，命题“不等式组所表示的区域是三角形”.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别求解命题p,q为真命题时对应的m的取值范围，由为真命题，为假命题可知两命题为一真一假，分两种情况讨论可得到的取值范围 试题解析：如果为真命题，则有，即；……………………3分 若果为真命题，则由图可得或.……………………7分 因为为真命题，为假命题，所以和一真一假，‎ 所以实数的取值范围为……………………12分 考点：复合命题真假的判定 ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知正数满足．‎ ‎(Ⅰ)求的最小值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ 考点：均值不等式求最值 ‎20.(本小题满分12分) ‎ 已知数列满足，.‎ ‎(Ⅰ)求证为等比数列，并数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)将递推公式变形得，从而证明为等比数列，得到数列的通项公式；(Ⅱ)整理数列的的通项公式，结合特点采用错位相减法和分组求和法求和 试题解析：(Ⅰ)由题可得，又，所以为等比数列，……………2分【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 且，所以；……………………4分 ‎(Ⅱ) ，设的前项和为，‎ 所以 ‎…………………6分 所以,……………………10分 所以.……………………12分 考点：数列求通项公式及数列求和 ‎ ‎21.(本小题满分12分) ‎ 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率．已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先设椭圆方程为 (a＞b＞0)，M（x，y）为椭圆上的点，由离心率得a=2b，利用两点间的距离公式表示出若，则当y=-b时|PM|2最大，这种情况不可能；若时，时4b2+3=7，从而求出b值，最后求得所求方程 试题解析：设椭圆方程为，由，所以 ‎，所以 椭圆方程可以化简为，…………………… 2分 设该椭圆上一点 则.………………4分 ‎（1）当，即时，，解得（舍）；……………………8分 ‎（2）当，即时，，解得符合题意.‎ 综上：椭圆方程为.……………………12分 考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义；椭圆的标准方程 ‎22.(本小题满分12分)‎ 设，集合，， .‎ ‎(Ⅰ)求集合（用区间表示）；‎ ‎(Ⅱ)求函数在内的零点.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ①时，零点为与；时，零点为；时，零点为；时，无零点. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)首先解不等式得到集合B，从而与A求交集求得集合D；(Ⅱ)二次函数的零点个数确定时对a分情况讨论，讨论函数与x轴的交点个数及交点横坐标的大小关系 试题解析：(Ⅰ)对于方程 判别式 因为，所以 ‎①当时，，此时，所以；‎ ‎②当时，，此时，所以；‎ 当时，，设方程的两根为且，则 ‎ ‎，‎ ‎③当时，，，所以 此时，；‎ ‎④当时，，所以 此时，. ……………………6分 ‎(Ⅱ)，‎ ‎①当时，函数的零点为与；‎ ‎②当时，函数的零点为；‎ ‎③当时，因为，所以函数零点为；‎ ‎④，因为，所以函数无零点. ‎ 考点：集合运算及函数零点 ‎