天津市第八中学2021届高三上学期第三次统练数学试卷 Word版含解析 17页

- 1 - 2020—2021学年第一学期高三年级数学学科第三次统练 一､选择题((本大题共 10小题，共 50.0分)) 1. 在 ABC 中，若 2 2 sin cos cos sin a A B b A B  ，则 ABC 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件，结合正弦定理得 sin 2 sin 2A B ，有 A B 或 2 A B    ，即可知正确选项. 【详解】由 2 2 sin cos cos sin a A B b A B  知： 2 2 sin cossin sin cos sin  A B A A B B ，即 sin cos sin cosA A B B ， ∴ sin 2 sin 2A B ，即 2 2A B 或 2 2A B   ， ∴ A B 或 2 A B    ， 故选：D 2. 在△ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，若 2 6 3 b c a A    ， ， ，则△ABC 的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 2 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理可得b、 c的值，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】由余弦定理可得 2 2 2 2 2 212 cos 4 2 2 3 2 a b c bc A c c c c c          ， 所以 23 6c  ，所以 2c  ， 2 2 2b c  ， 所以 ABC 的面积为 1 1 3sin 2 2 2 3 2 2 2ABCS bc A     △ . 故选：D. - 2 - 【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3. 已知 tan 3  ，则 2 1cos sin 2 2   （ ） A. 2 5  B. 2 5 C. 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 用正弦的二倍角公式变形化化为关于 sin ,cos  二次齐次式，然后化为 tan 再代入求值． 【详解】∵ tan 3  ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin cos 1 tan 1 3 2cos sin 2 cos sin cos 2 sin cos tan 1 3 1 5                       ． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的求值，对于 sin ,cos  的齐次式一般可转化为关于 tan 的式子，然后计算．如一次齐次式： sin cos( ) sin cos a bf c d        ，二次齐次式： 2 2 2 2 sin sin cos cos( ) sin sin cos cos a b cf d e f              ， 另外二次式 2 2( ) sin sin cos cosf a b c       也可化为二次齐次式： 2 2 2 2 sin sin cos cos( ) sin cos a b cf           ． 4. 函数 ( ) 4sin ( 0) 3 f x x         的最小正周期是3 ，则其图象向左平移 6  个单位长度 后得到的函数的一条对称轴是（ ） A. 4 x   B. 3 x   C. 5 6 x   D. 19 12 x   【答案】D 【解析】 【分析】 - 3 - 由三角函数的周期可得 2 3   ，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为 2 44sin 3 9 y x       ，再求其对称轴方程即可. 【 详 解 】 解 ： 函 数 ( ) 4sin ( 0) 3 f x x         的 最 小 正 周 期 是 3 ， 则 函 数 2( ) 4sin 3 3 f x x       ， 经 过 平 移 后 得 到 函 数 解 析 式 为 2 2 44sin 4sin 3 6 3 3 9 y x x                   ，由 2 4 ( ) 3 9 2 x k k    Z ， 得 3 ( ) 2 12 x k k  Z ，当 1k  时， 19 12 x   . 故选 D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 5. 函数   1lg 2f x x x    的零点所在区间为（ ） A. ( )0,1 B.  3, C.  2,3 D. ( )1,2 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数解析式判断其定义域及其连续性，应用特殊值法 (1) 0f  ， (2) 0f  的值即可知零点 所在区间. 【详解】由解析式知：函数定义域为 0x  ，且 ( )f x 在定义域内连续， 而 (1) 1 lg1 2 1 0f       ， 1(2) 2 lg 2 lg 2 0 2 f      ， ∴ ( )f x 零点所在区间为( )1,2 ， 故选：D 6. 函数 2ln xy x  的图象大致是（ ） - 4 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数解析式，函数为奇函数且存在零点，即可知大致图象. 【详解】由 2 2ln( ) lnx x x x     知：函数为奇函数，排除 A、B； 令 2ln 0xy x   ，得 1x   ，即函数存在零点，排除 C； 故选：D 【点睛】关键点点睛：由函数解析式判断其奇偶性，令 0y  确定是否存在零点，便可确定函 数的大致图象. 7. 已知函数   3 22f x x x  ，  1 3,x  ，则下列说法不正确．．．的是（ ） A. 最大值为9 B. 最小值为 3 C. 函数  f x 在区间 1,3 上单调递增 D. 0x  是它的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数分析函数  y f x 在区间 1,3 上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判 断各选项的正误. - 5 - 【详解】   3 22f x x x  ，则    23 4 3 4f x x x x x     . 令   0f x  ，可得 0x  或 4 3 x  ；令   0f x  ，可得 40 3 x  . 当  1 3,x  时，函数  y f x 在区间 1,0 , 4 ,3 3      上均为增函数， 在区间 40, 3      上为减函数，C 选项错误； 所以 0x  是函数  y f x 的极大值点，D 选项正确； 因为  0 0f  ，  3 27 2 9 9f     ，  1 1 2 1 3f        ， 4 64 16 322 3 27 9 27 f           ， 所以，函数  y f x 在区间  1,3 上的最大值为9， 最小值为 3 ，A、B 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考 查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8. 曲线 3 1y x  在点 ( 1,0) 处的切线方程为（ ） A. 3 3 0x y   B. 3 3 0x y   C. 3 0x y  D. 3 3 0x y   【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： 2' 3y x ,  2 1' | 3 1 3xy      . 由导数的几何意义可得所求切线的斜率 3k  , 所以所求切线方程为  3 1y x  ,即3 3 0x y   .故 D 正确. 考点：导数的几何意义. - 6 - 9. 已知 f（x） 21 4 x  cosx， ( )f x 为 f（x）的导函数，则 ( )f x 的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出导函数，利用导函数的解析式，判断函数的奇偶性，再应用特殊点的函数值来判断函数 的图象． 【详解】解： 21( ) cos 4 f x x x  ，  ' 1 sin 2 f x x x   ， ( )f x 是奇函数，排除 B，D． 当 x 4   时， 2( ) 8 2 f x     0，排除 C． 故选：A 【点睛】本题考查了函数求导，考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合 运用，属于中档题. 10. 若函数   lnf x kx x  在区间  1, 上单调递增，则实数 k的取值范围是（ ） A.  , 2  B.  , 1  C.  2, D.  1, 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： ，∵函数   lnf x kx x  在区间  1, 单调递增， ∴ 在区间  1, 上恒成立．∴ ，而 在区间  1, 上单调递减， ∴ ．∴ 的取值范围是  1, ．故选 D． 考点：利用导数研究函数的单调性. - 7 - 二､填空题(本大题共 6小题，共 30.0分) 11. 曲线 2e 2 1xy x x   在点（0,1）处的切线方程为________. 【答案】 1y x  【解析】 【分析】 求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程． 【详解】解：求导函数可得，y′＝（1+x）ex 4x 当 x＝0 时，y′＝1 ∴曲线 22 1xy xe x   在点（0，1）处的切线方程为 y﹣1＝x，即 1y x  ． 故答案为 1y x  ． 【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题 12. 在 ABC 中， 2AB  ， 3BC  ， 60B  ，则 AC  __． 【答案】 7 【解析】 【分析】 运用三角形的余弦定理 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B     ，代入计算可得所求值． 【详解】解：在 ABC 中， 2AB  ， 3BC  ， 60B  ， 由余弦定理可得 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B     14 9 2 2 3 7 2        ， 解得 7AC  ， 故答案为： 7 ． 【点评】本题考查三角形的余弦定理的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题. 13. 已知 sin cos 2   ，则 sin cos   ________. 【答案】0 【解析】 - 8 - 【分析】 将已知等式两边平方，得到 2sinαcosα的值，将 sinα+cosα平方整理可得结果. 【详解】将sin cos 2   两边平方得：（sinα-cosα）2＝2，即 1-2sinαcosα＝2， ∴2sinαcosα＝-1， ∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝0，即 sinα+cosα＝0， 故答案为 0． 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，属于基础题． 14. 若点 (cos ,sin )P   在直线 2y x 上，则 cos(2 ) 2   的值等于______________ . 【答案】 4 5  【解析】 【分析】 根据题意可得 sin 2cos  ，再由 2 2sin cos 1   ，即可得到结论. 【详解】由题意，得sin 2cos  ，又 2 2sin cos 1   ，解得 5cos 5    ， 当 5cos 5   时，则 2 5sin 5   ， 此时 5 2 5 4cos 2 sin 2 2 2 5 5 5               ； 当 5cos 5    时，则 2 5sin 5    ， 此时 5 2 5 4cos 2 sin 2 2 2 5 5 5                               ， 综上， 4cos 2 2 5        . 故答案为： 4 5  . 【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题 . 15. 若 3cos 4 5        ， 12sin 4 13        ， 3, 4 4       ， 0, 4       ，则  cos   等 - 9 - 于___________. 【答案】 33 65  【解析】 【分析】 已知角的范围及对应函数值求 sin 4       ， cos 4       ，根据 ( ) 4 4          ， 应用两角差余弦公式即可求  cos   . 【详解】由 3, 4 4       ， 0, 4       知： ,0 4 2          ， , 4 4 2          ， 又∵ 3cos 4 5        ， 12sin 4 13        ， ∴ 4sin 4 5         ， 5cos 4 13        ， 而 ( ) 4 4          ， ∴   33cos cos cos sin sin 4 4 4 4 65                                        ， 故答案为： 33 65  16. 已知函数    sin ( 0, 0, ) 2 f x A x A         的部分图象如图所示：则函数  f x 的解析式为______． 【答案】   2sin 8 4 f x x       【解析】 【分析】 由函数图象的最值和周期可得 A 和，然后将点  2, 2 代入解析式，利用的范围即可得到 - 10 - 值，从而得到函数解析式． 【详解】由图象得到  f x 的最大值为 2 ，周期为 16，且过点  2, 2 所以 2A  ， 又 2 16T     ， 所以 8   ， 将点  2, 2 代入  f x ， 2   ． 得到 4   ， 所以   2sin 8 4 f x x       故答案为   2sin 8 4 f x x       ： ． 【点睛】本题考查由  siny A x   的部分图象确定其解析式，注意函数周期的求法，考 查计算能力，属于常考题型． 三､解答题((本大题共 6小题，共 70.0分)) 17. 在 ABC 中， , ,a b c分别是三个内角 , ,A B C的对边，若 3, 4, 2b c C B   ，且 a b¹ . （1）求 cosB及 a的值； （2）求 cos 2 3 B      的值. 【答案】（1） 2cos 3 B  ， 7 3 a  ;（2） 1 4 15 18   . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理可得 3 4 sin sin 2B B  ，再利用二倍角的正弦公式可得 2cos 3 B  ，从而根据 余弦定理可得 7 3 a  ； （2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得 sin 2 ,cos 2B B的值，再由两角和的余 弦公式可得结果. - 11 - 【详解】（1）在 ABC 中，由正弦定理 sin sin sin b a c B A C   ， 得 3 4 sin sinB C  ， 2C B ， 3 4 sin sin 2B B   ，即 3 4 sin 2sin cosB B B  ， 解得 2cos 3 B  ， 在 ABC 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 得 2 16 7 0 3 a a   ，解得 3a  或 7 3 a  ． a b¹ ， 7 3 a  ． （2） 2 5cos ,sin 3 3 B B  ， 4 1cos 2 2 1 9 9 B      ， 2 5 4 5sin 2 2 3 3 9 B     ， 1 1 4 5 3cos 2 3 2 9 9 2 B                 1 4 15 18    . 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解 三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角 （一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证 明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 18. 已知函数 2( ) ( ) xf x x ax b e    （ e为自然对数的底数， 2.71828e  ），曲线 ( )y f x 在 0x  处的切线方程为 2 1y x   . （1）求实数 ,a b的值； （2）求函数 ( )f x 在区间[ 2,3] 上的最大值. 【答案】（1） 3a   , 1b  （2） 3 max( )f x e - 12 - 【解析】 试题分析：（1）根据导数的几何意义 0 1be  ，  ' 0 2f   ，解出方程即可；（2）对函数    2 3 1 xf x x x e    求导，研究函数的单调性，进而得到函数的最值． 解析： （1）∵    2 xf x x ax b e    在 0x  处的切线方程为 2 1y x   ， ∴  f x 过  0,1 点，∴ 0 1, 1be b  ， ∴    2 1 xf x x ax e    . 又    2' 2 1 xf x x a x a e        ，∴  ' 0 2f   即 1 2, 3a a     （2）由（1）知    2 3 1 xf x x x e    ，        2' 2 2 1x xf x x x e x x e        由  ' 0f x  得 2x  或 1x   ，又  2,3x  ∴由  ' 0f x  得 2 3x  或 2 1x    ， 由  ' 0f x  得 1 2x   ， ∴  f x 在  2, 1  上单调递增，在  1,2 上单调递减，在  2,3 上单调递增， ∴  f x 极大值   51f e    . 又   33f e ，∴     3 max 3f x f e  . 19. 函数     π πsin 0 0 2 2               ， ，f x A x A 的部分图象如图所示. （1）求函数 ( )f x 的解析式； - 13 - （2）若 2 6( ) 3 f x  ，且 3 2 4 x    ，求 cos 2x . 【答案】（1） ( ) 2sin 2 3 f x x       （2） 3 3 2 6   【解析】 【分析】 （1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式. （2）利用两角和与差公式求解. 【详解】解：（1）由图像可知 2, 2A   ,则 ( ) 2sin(2 )f x x   ，代入点 5 , 2 12       ， 得 5 2 , 6 2 k k Z      ，得 2 , 3 k k Z    ，由 π π 2 2    ， 得 3    ，故 ( ) 2sin 2 3 f x x       . （2）由题意知 ( ) 2sin 2 3 f x x       2 6 3  ,得 sin 2 3 x      6 3  ， 由 3 2 4 x    ，则 2 72 3 3 6 x      ，则 cos 2 3 x      3 3   ， cos 2 cos 2 3 3 x x         1 3cos 2 sin 2 2 3 2 3 x x               3 3 2 6    . 【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换 技巧. 20. 已知函数 ( ) 2( 3 cos sin )sinf x x x x  , xR . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最大正周期与单调增区间值; （Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间 π[0, ] 4 上的最大值与最小值. 【答案】（Ⅰ）最小正周期是: πT  , π π[ π , π ]( ) 3 6 k k k Z   ；（Ⅱ）最小值为 0，最大值为 1. 【解析】 - 14 - 试题分析：（Ⅰ）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为  f x π2sin 2 1 6 x       ， 故而可得周期，解不等式 π π π2 π 2 2 π , 2 6 2 k x k k Z      可得单调增区间；（Ⅱ）根据 x的 范围，计算出 π2 6 x  的范围，结合正弦函数的性质可得其最值. 试题解析：（Ⅰ）   22 3sin cos 2sinf x x x x  3sin2 cos2 1x x   3 12 sin2 cos2 ) 1 2 2 x x  （ π2sin 2 1 6 x        f x 的最小正周期是: 2π π 2 T   , 令 π π π2 π 2 2 π , 2 6 2 k x k k Z      得, π ππ π , 3 6 k x k k Z     , 所以  f x 单调增区间为  π ππ , π 3 6 k k k Z      ; （Ⅱ）因为 π0 4 x  ,所以 π π 2π2 6 6 3 x   , 所以 1 π2sin 2 1 2 6 x       ,即 π0 2sin 2 1 1 6 x        , 所以  0 1f x  , 当且仅当 0x  时,  f x 取最小值,    min 0 0f x f  , 当且仅当 π π2 + 6 2 x  时,即 π 6 x  时  f x 取最大值,  max π 1 6 f x f       . 21. 已知函数   ln af x x x   ，其中 Ra ， （1）当 2a  时，求函数  f x 的图象在点   1, 1f 处的切线方程； （2）如果对于任意  1, x ，都有   2f x x   ，求 a的取值范围． 【答案】（1）3 5 0x y   ；（2） 1a   ． 【解析】 【分析】 （1）当 2a  时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数  f x 的图象在点   1, 1f - 15 - 处的切线方程； （2）对于任意  1, x ，都有   2f x x   ，等价于 2ln 2a x x x x   恒成立，构造 函数   2ln 2g x x x x x   ，利用导数求出其最小值即可 【详解】(1)解：当 2a  时，由己知得   2lnf x x x   ，故   2 1 2f x x x    ， 所以  1 1 2 3f     ，又因为   21 ln1 2 1 f     ，所以函数  f x 的图象在点   1, 1f 处 的切线方程为  2 3 1y x   ，即3 5 0x y   ； （2）解：由   2f x x   ，得 ln 2ax x x     ，又  1, x ， 故 2ln 2a x x x x   ． 设函数   2ln 2g x x x x x   ， 则   1ln 2 2 ln 2 1g x x x x x x x          ． 因为  1, x ，所以 ln 0x  ， 2 1 0x - > ， 所以当  1, x 时，   ln 2 1 0g x x x     ， 故函数  g x 在( )1,+¥ 上单调递增． 所以当  1, x 时，    1 1 ln1 1 2 1 1g x g        ． 因为对于任意  1, x ，都有   2f x x   成立， 所以对于任意  1, x ，都有  a g x 成立．所以 1a   ． 【点睛】此题考查导数的应用，考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，将不等式恒成 立转化为求函数的最值是解此题的关键，属于中档题 22. 已知函数 2( ) 2( 1) 2 ln ( 0)f x x a x a x a     （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （2）求 ( )f x 的单调区间； （3）若 ( ) 0f x „ 在区间[1,e]上恒成立，求实数 a 的取值范围． - 16 - 【答案】（1）切线方程为 3y   . （2）当0 1a  时， ( )f x 的单调增区间是 (0, )a 和 (1, ) ，单调减区间是 ( ,1)a ； 当 1a  时， ( )f x 的单调增区间是 (0, ) ； 当 1a  时， ( )f x 的单调增区间是 (0,1)和 ( , )a  ，单调减区间是 (1, )a . （3） 2e 2e 2e 2 a    . 【解析】 试题分析：（1）求出 a=1 时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可；（2） 对于含参数的单调性问题的关键时如何分类讨论，常以导数等于零时的根与区间端点的位置 关系作为分类的标准，然后分别求每一种情况时的单调性；（3）恒成立问题常转化为最值计 算问题，结合本题实际并由第二问可知，函数在区间[1，e]上只可能有极小值点，所以只需令 区间端点对应的函数值小于等于零求解即可． 试题解析：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x2－4x＋2lnx， ∴f ′（x）＝ （x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切线方程为 y＝－3． （2）f ′（x）＝ （x>0）， 令 f ′（x）＝0 得 x1＝a，x2＝1， 当 00，在 x∈（a，1）时，f ′（x）<0， ∴f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，＋∞），单调递减区间为（a，1）；当 a＝1 时，f ′ （x）＝ ≥0，∴f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；当 a>1 时，在 x∈（0，1）或 x∈ （a，＋∞）时，f ′（x）>0，在 x∈（1，a）时，f ′（x）<0，∴f（x）的单调增区间为（0，1） 和（a，＋∞），单调递减区间为（1，a）． （3）由（2）可知，f（x）在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f（x）在区间[1，e]上的最大 值必在区间端点取到，∴f（1）＝1－2（a＋1）≤0 且 f（e）＝e2－2（a＋1）e＋2a≤0，解得 a≥ ． 考点： 导数法求切线方程；‚求含参数的函数的单调性问题；ƒ恒成立问题求参数范围． 【方法点睛】恒成立问题求参数范围常常将参数移到一边转化为函数最值问题即 恒成立，即等价于 ．该解法的优点是不用 - 17 - 讨论，但是当参数不易移到一边，或移到一边后另一边的函数值域不易求时，就不要移，而 是将不等式的一边化为零即 ，由于此时函数 含有参数，所以应讨 论并求最值 ，从而求解．