数学文卷·2018届四川省成都市龙泉驿中学高三1月月考（2018 12页

成都龙泉中学2015级高三上学期1月月考试题 数 学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ ‎1.设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)等于(　　)‎ A.{1，2，5，6} B.{1}‎ C.{2} D.{1，2，3，4}‎ ‎2. 若向量、满足||＝，＝(1，－3)，·＝5，则与的夹角为（ ）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎3.已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）‎ A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc ‎4.欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出了欧拉公式：．被后人称为“最引人注目的数学公式”．若，则复数对应复平面内的点所在的象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎5.已知α∈，cos＝－， 则tan等于( )‎ A. B.7 C.－ D.－7‎ ‎6．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为T，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域T中芝麻数约为（　　）‎ ‎ A．114 B．10 C．150 D．50‎ ‎7. 已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎9.要得到函数的图象，可由函数（ ）‎ A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 ‎ C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 ‎ ‎10. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，连接并延长交抛物线于点，若，则（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6 ‎ ‎12．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率…（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量的夹角为，且，则 . ‎ ‎14.已知正项等比数列中，，其前项和为，且，则 ． ‎ ‎15.若直线l1：y＝－x关于直线l的对称直线为l2：x＋y－2＝0，则直线l的方程为_________．‎ ‎16. 已知在直角梯形中，，，，将直角梯形沿折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，满足．‎ ‎（I）求角的大小 ‎(II)若，求的周长最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)设F1、F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，，‎ ‎（1）当时，函数f(x)为递减函数，求的取值范围；‎ ‎（2）设是函数的导函数，是函数的两个零点，且,‎ 求证 ‎（3）证明当时，‎ 请考生从22、23、题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程.‎ ‎(Ⅰ)当时，判断直线与的关系；‎ ‎(Ⅱ)当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若解不等式；‎ ‎（Ⅱ）如果关于的不等式有解,求的取值范围.‎ 成都龙泉中学2015级高三上学期1月月考试题 数 学（文科）参考答案 ‎1—5 BCABA 6—10 ABDCB 11—12 CD ‎13. 14. 15.x＋y－1＝0 ‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示，由条件可得在底面中，。取AB的中点O，AC的中点E，连OC,OE。则.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵平面平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∴.‎ 又.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴点O为三棱锥外接球的球心，球半径为2.‎ ‎∴。答案：。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（I）解: 法一：由及正弦定理，得 ‎………3分 ‎ ‎ ‎………6分 法二：由及余弦定理，得 ‎……3分 整理，得：‎ ‎．……6分 ‎(II)解：由（I）得，由正弦定理得 所以 的周长 ……9分 当时，的周长取得最大值为9．…12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ 4分 ‎， 6分 所以的最小正周期,‎ 解得． 7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．‎ 因为，所以． 9分 所以，当，即时，取得最大值为1； 11分 当，即时，取得最小值为． 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解析：（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，‎ 所以，又，所以，‎ 又因为，而，且，‎ 所以平面，又因为，‎ 所以． ‎ ‎（2）解：如图，因为是的中点，‎ 所以．‎ ‎ ‎ ‎20.【解析】(Ⅰ)∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，‎ ‎∴依题意解得a＝2，b＝，c＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为：＋＝1. 4分 ‎(Ⅱ)设过椭圆右焦点F2的直线l：x＝ty＋1与椭圆交于A，B两点，‎ 则整理，得：(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，‎ 由韦达定理，得：y1＋y2＝，y1y2＝， 6分 ‎∴|y1－y2|＝＝＝，‎ ‎∴S△OAB＝S△OF2A＋S△OF2B＝×|OF2|×|y1－y2|＝，‎ 椭圆C的内接平行四边形面积为S＝4S△OAB＝， 10分 令m＝≥1，则S＝f(m)＝，‎ 注意到S＝f(m)在[1，＋∞)上单调递减，∴Smax＝f(1)＝6，‎ 当且仅当m＝1，即t＝0时等号成立．‎ 故这个平行四边形面积的最大值为6. 12分 ‎21．解析：（1）‎ ‎（2）由于是函数的两个零点，且 所以，‎ 两式相减得：，‎ 要证明，只需证，即只需证 设，构造函数 在单调递增，‎ ‎，‎ ‎(3)由（1）可知，a=1时，x>1,‎ ‎,‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)圆C的普通方程为：(x-1)2+(y-1) 2=2， 1分 ‎ 直线l的直角坐标方程为：x+y-3=0, 2分 圆心(1,1)到直线l的距离为 4分 所以直线l与C相交. 5分 ‎(Ⅱ)C上有且只有一点到直线l的距离等于，即圆心到直线l的距离为2. 7分 过圆心与l平行的直线方程式为：x+y-2=0 8分 联立方程组解得 9分 故所求点为(2,0)和(0,2). 10分 ‎23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ） （Ⅱ）的取值范围为 ‎ ‎【解析】本试题主要是考查了绝对值不等式的求解，以及关系与参数的取值范围 的问题的综合运用。‎ 解：（1）因为当时，‎ ‎ 由，得，‎ 然后分为三段论求解得到解集。‎ ‎（2）因为关于的不等式有解，所以，，进而得到参数范 围。‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎ 由，得，‎ ‎① 当时，不等式化为即 ‎ 所以，原不等式的解为 ----------------1分 ‎② 当时，不等式化为即 ‎ 所以，原不等式无解. ----------------2分 ‎③ 当时，不等式化为即 ‎ 所以，原不等式的解为 --------3分 综上，原不等式的解为 ---------4分 ‎（说明：若考生按其它解法解答正确，相应给分）‎ ‎（Ⅱ）因为关于的不等式有解，所以， -----5分 因为表示数轴上的点到与两点的距离之和，‎ 所以， ----------------6分 ‎ ‎ 解得， -------------8分 所以，的取值范围为 ----------------10分