高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 第68课 课时分层训练12 6页

课时分层训练(十二)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·如皋市高三调研一)用数学归纳法证明等式：‎ ‎12－22＋32＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋). 【导学号：62172360】‎ ‎[证明]　n＝1时，1－22＝－3，左边等于右边；‎ 假设n＝k时，有 ‎12－22＋32－…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，‎ 则n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－…＋(2k＋1)2－(2k＋2)2‎ ‎＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2‎ ‎＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]得证．‎ 所以12－22＋32－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)成立．‎ ‎2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2)．‎ ‎[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．‎ ‎(2)假设n＝k时命题成立，即 ‎1＋＋＋…＋<2－.‎ 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－ ‎＝2－命题成立．‎ 由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立．‎ ‎3．(2017·镇江期中)已知数列{an}满足an＋1＝，n∈N＋，a1＝.‎ ‎(1)计算a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想数列的通项an，并用数学归纳法证明．‎ ‎[解]　(1)由递推公式，得a2＝＝＝，‎ a3＝，a4＝.‎ ‎(2)猜想：an＝.‎ 证明：①n＝1时，由已知，等式成立．‎ ‎②设n＝k(k∈N＋)时，等式成立．即ak＝.‎ 所以ak＋1＝＝＝＝＝，‎ 所以n＝k＋1时，等式成立．‎ 根据①②可知，对任意n∈N＋，等式成立．‎ 即通项an＝.‎ ‎4．(2017·盐城三模)记f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈N＋)．‎ ‎(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；‎ ‎(2)当n≥2，n∈N＋时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明. ‎ ‎【导学号：62172361】‎ ‎[解]　(1)因为f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C，‎ 所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.‎ ‎(2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.‎ 下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．‎ ‎(ⅰ)当n＝2时，f(2)＝8能被4整数，结论成立；‎ ‎(ⅱ)假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除，‎ 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C ‎＝(3k＋2)C＋3C ‎＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C ‎＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C ‎＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C，此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．‎ 综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋，λ>0)．‎ ‎(1)求a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．‎ ‎[解]　(1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，‎ a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，‎ a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.‎ ‎(2)由(1)可猜想数列通项公式为：‎ an＝(n－1)λn＋2n.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，‎ ‎②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时等式成立，‎ 即ak＝(k－1)λk＋2k，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k ‎＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k ‎＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1‎ ‎＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，‎ 所以当n＝k＋1时，猜想成立，‎ 由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N＋，λ>0)．‎ ‎2．(2017·扬州期中)已知Fn(x)＝(－1)kCfk(x)](n∈N)．‎ ‎(1)若fk(x)＝xk，求F2015(2)的值；‎ ‎(2)若fk(x)＝(x∉{0，－1，…，－n})，求证：Fn(x)＝.‎ ‎[解]　(1)Fn(x)＝(－1)kCfk(x)]＝(－x)kC]＝(1－x)n，∴F2015(2)＝－1.‎ ‎(2)①n＝1时，左边＝1－＝＝右边，‎ ‎②设n＝m时，对一切实数x(x≠0，－1，…，－m)，‎ 有(－1)kC＝，‎ 那么，当n＝m＋1时，对一切实数x(x≠0，－1，…，－(m＋1))，有 (－1)kC＝1＋(－1)k[C＋C]＋(－1)m＋1 ‎＝(－1)kC＋(－1)kC＝(－1)kC－· ‎＝－· ‎＝＝.‎ 即n＝m＋1时，等式成立．‎ 故对一切正整数n及一切实数x(x≠0，－1，…，－n)，有 (－1)kC＝.‎ ‎3．(2017·南通调研一)已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设fn(x)是fn－1(x)的导数，n∈N＋.‎ ‎(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；‎ ‎(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎[解]　(1)因为fn(x)为fn－1(x)的导数，‎ 所以f1(x)＝f′0(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)‎ ‎＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，‎ 同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.‎ ‎(2)由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，‎ 把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为 f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，‎ f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos，‎ f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)cos，‎ 猜测fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos(*)．‎ 下面用数学归纳法证明上述等式．‎ ‎(ⅰ)当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；‎ ‎(ⅱ)假设当n＝k时，等式(*)成立，即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.‎ 则当n＝k＋1时，‎ fk＋1(x)＝f′k(x)‎ ‎＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k) ‎＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)] ‎＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]cos，‎ 即n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(ⅰ)(ⅱ)可知，对∀n∈N＋，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos.‎ ‎4．(2017·苏北四市期末)已知数列{an}满足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N＋.‎ ‎(1)求证：g(2)>；‎ ‎(2)求证：当n≥3时，g(n)>.‎ ‎[证明]　(1)由条件an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋，‎ 当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝>.‎ ‎(2)用数学归纳法加以证明：‎ ‎①当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋ ‎>＋＋＝＋＋>＋＋>，‎ 所以当n＝3时，结论成立．‎ ‎②假设当n＝k时，结论成立，即g(k)>，‎ 则n＝k＋1时，‎ g(k＋1)＝g(k)＋ ‎>＋>＋－ ‎＝＋＝＋，‎ 由k≥3可知，3k2－7k－3>0，即g(k＋1)>.‎ 所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 综合①②可得，当n≥3时，g(n)>.‎